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 Streichholzgraphen 4-regulär und 4/n-regulär (n>4) und 2/5 |
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Slash
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Hi,
bekanntlich existieren keine endlichen regulären Streichholzgraphen mit größerem Grad als 4. Hier der Beweis für den Grad 5. Ich beschäftige mich gerade mit Streichholzgraphen, deren Knoten nur die Grade 5 und 2 besitzen.
Als Kurznotation für diese Art Graphen schreibe ich "x(y,z)". Das steht für Streichholzgraph mit x Knoten, davon y vom Grad 5 und z vom Grad 2. Einen Knoten vom "Grad x" werde ich kurz "Kx" schreiben.
Ich habe diesen kleinsten(?) Graphen konstruiert: 18(10,8).
http://www.matheplanet.de/matheplanet/nuke/html/uploads/9/8038_matchstick_5_2_a_neu.png
Der 18(10,8) lässt sich jetzt beliebig mit 8 K5 und 4 K2 erweiter bzw. verbreitern. Das Prinzip erschließt sich eigentlich sofort. Hier der 30(18,12) und 42(26,16).
http://www.matheplanet.de/matheplanet/nuke/html/uploads/9/8038_matchstick_5_2_b2.png
Die äußeren K2 (Dreiecke) können beliebig durch Quadrate ersetzt werden. Die Anzahl der K2 verdoppelt sich dann.
Nun meine Frage und Aufforderung zum Mitmachen. Welche anderen Konstruktionstypen (Symmetrien) gibt es noch um größere solcher Graphen zu konstruieren? Können sich die K2 nur am äußeren Kreis des Graphen befinden oder auch in einem inneren Kreis?
Ich habe für die Graphenbilder GeoGebra und Paint benutzt.
Hier noch ein Link um einen Eindruck von der möglichen Kompliziertheit von Streichholzgraphen zu bekommen.
Gruß, Slash
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Slash
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| Beitrag No.1, vom Themenstarter, eingetragen 2016-02-17
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Da verlinke ich eine Seite, ohne selbst von deren Inhalt Gebrauch zu machen. ;-)
Also der kleinste ist dieser 8(2,6).
http://www.matheplanet.de/matheplanet/nuke/html/uploads/9/8038_matchstick_5_2_smallest_c.png
Mit dieser Minimalkonstruktion aus nur vier Dreiecken ist schon eine ganze Menge möglich. Zum Beispiel ein Graph mit innerem nicht-trivialen Kreis wie bei diesem 26(12,14).
http://www.matheplanet.de/matheplanet/nuke/html/uploads/9/8038_matchstick_5_2_kreis_a.png
An diesen beiden Graphen wird auch deutlich, dass jeder K3 mit einem Dreieck zum K5 und zwei K2 erweitert werden kann. Dass bei diesen angesetzten Dreiecken der Winkel mit der Spitze frei wählbar ist, das Dreieck also gedreht werden kann, ist ein enormer Konstruktionsvorteil.
Hier eine andere Symmetrie mit Dreiecken und Rauten, ein 21(12,9).
http://www.matheplanet.de/matheplanet/nuke/html/uploads/9/8038_matchstick_5_2_d.png
Man kann bei diesen Graphen also zwischen folgenden Konstruktions-Typen bzw. Merkmalen unterscheiden:
* besteht nur aus Dreiecken
* besteht nur aus Dreiecken und Quadraten
* besteht nur aus Dreiecken und Rauten
* besteht nur aus Dreiecken, Quadraten und Rauten
* besitzt einen trivialen inneren Kreis (nur ein Dreieck oder Quadrat)
* besitzt einen nicht-trivialen inneren Kreis
* ist im Inneren komplett 5-regulär (K2 nur am äußeren Kreis)
* besitzt einen bestimmten Symmetrie-Grad
* ist aus bestimmten Untergraphen aufgebaut
* ist beweglich oder unbeweglich (Winkel lassen sich nicht verändern)
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viertel
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 | Beitrag No.2, eingetragen 2016-02-18
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Schade nur, daß dein 11(6,5) gar kein SHG ist :-?
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Slash
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| Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2016-02-18
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\quoteon(2016-02-18 03:28 - viertel in Beitrag No. 2)
Schade nur, daß dein 11(6,5) gar kein SHG ist :-?
\quoteoff
Oh mann, da hab ich mir ja was geleistet!
Edit: Ist jetzt korrigiert. Da war ein regelmäßiges Fünfeck mit Mittelpunkt zu sehen. Autsch!
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Slash
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| Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2016-02-18
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Hier noch ein 16(8,8), der kleinste mit gleich vielen K2 und K5, und den wohl zweit kleinsten, einen 10(2,8).
http://www.matheplanet.de/matheplanet/nuke/html/uploads/9/8038_matchstick_5_2_smallest_d.png
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haribo
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 | Beitrag No.5, eingetragen 2016-02-18
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moin slash, so ist der 8(2,6) noch etwas kleiner, also er braucht weniger fläche
http://www.matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/9/35059_st52.png
[Die Antwort wurde nach Beitrag No.3 begonnen.]
wenn es 2,6 gibt muss es auch 2-7 geben
http://www.matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/9/35059_st52_2-7_.png
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haribo
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| Beitrag No.6, eingetragen 2016-02-18
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(2,9) der äussere weg ist so angelegt das er einen rechten winkel enthält, das sorgt dafür das die inneren wege ohne überschneidung laufen können
http://www.matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/9/35059_st52_2-9_.png
es führt zu der frage ob es möglich ist öfters als vier mal zwei punkte mit der weglänge 3 zu verbinden ?
kann es sein das man unendlich viele wege mit der weglänge 3 zwischen zwei punkten anordnen kann, bei geschickter auffächerung?
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Slash
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| Beitrag No.7, vom Themenstarter, eingetragen 2016-02-18
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Wow! Tolle Lösungen, haribo. Das zeigt mal wieder (jedenfalls mir) was bei Streichholzgraphen* durch ihre Beweglichkeit doch alles möglich ist.
*im Folgenden (nach Viertels Beitrag #2) mit SHG abgekürzt
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haribo
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| Beitrag No.8, eingetragen 2016-02-19
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neuer 2-6er mit weniger hölzern gefunden !!!!
das eröffnet ganz neue möglichkeiten, und ruft bestimmt widerspruch hervor, aber wo steht geschrieben das knoten nur am ende der hölzer sein dürfen ?
http://www.matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/9/35059_st2-6-10.png
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Slash
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| Beitrag No.9, vom Themenstarter, eingetragen 2016-02-19
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\quoteon(2016-02-19 05:20 - haribo in Beitrag No. 8)
...aber wo steht geschrieben das knoten nur am ende der hölzer sein dürfen ?
\quoteoff
Das sind die Spielregeln bei Streichholzgraphen. Die Kantenenden grenzen an den Knoten. Oder wie es Wikipedia sagt:
"Ein Streichholzgraph ist in der geometrischen Graphentheorie ein in der Ebene gezeichneter Graph, bei dem alle Kanten dieselbe Länge haben und sich nicht überschneiden."
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haribo
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| Beitrag No.10, eingetragen 2016-02-19
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eben, think outside the matchbox ist doch genau der klassiker
-alle hölzer haben die selbe länge und überschneiden sich nicht !
-man kann diesen graphen auf einer ebenen fläche mit streichhölzern nachbilden
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viertel
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| Beitrag No.11, eingetragen 2016-02-19
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Aber es zählen nicht die Streichhölzer, sondern die Kanten zwischen den Knoten. Und die schmalen Dreiecke sind definitiv nicht gleichseitig.
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haribo
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| Beitrag No.12, eingetragen 2016-02-19
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ich weiss schon, aber welche definition verletzt es genau ?
laut wikipedia muss ein streichholz graph folgende eigenschaften gleichzeitig aufweisen:
-aus streichhölzern in einer ebene legbar, ohne überschneidung
-einheitsdistanzen graph
-planarer graph
aus streichhölzern legbar ist er genau wie jeder andere streichholzgraph, und diese regel erscheint mir eigendlich als die wichtigste
ein beispiel eines "einheitsdistanzen graphs" wäre dieser Q4, der zeigt das ein solcher graph aus lauter gleichlangen linien gebildet sein soll
jede linie hat am ihrem ende jeweils einen knoten,
es gibt aber zusätzlich auch andere knoten, so wie dieser graph aufgebaut ist kann man ihn natürlich nicht nicht aus streichhölzern legen,
verletzt mein graph irgend eine andere "einheitsdistanzen graphen" regel?
https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/f/f8/Hypercubestar.svg/150px-Hypercubestar.svg.png
"planarer graph" verlangt gemeinsame endpunkte, jedes kantenende/streichholzende mündet in einem knoten, das ist hier gegeben
verletzt mein graph eine andere definition des planaren graphen?
interessanter weise verletzen alle m=1 beispiele aus den in #1 verlinkten streichholz graphen die anforderung des "planaren graphen", sie haben alle offene enden...?
insofern kann natürlich auch die definition in wikipedia unzulänglich sein... aber explizit wird nirgends gleichseitige dreiecke oder ähnliches gefordert,
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viertel
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| Beitrag No.13, eingetragen 2016-02-19
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\quoteon(2016-02-19 11:39 - haribo in Beitrag No. 12)
ich weiss schon, aber welche definition verletzt es genau ?
laut wikipedia muss ein streichholz graph folgende eigenschaften gleichzeitig aufweisen:
-aus streichhölzern in einer ebene legbar, ohne überschneidung
-einheitsdistanzen graph
-planarer graph
\quoteoff
ok
\quoteon(haribo)
aus streichhölzern legbar ist er genau wie jeder andere streichholzgraph, und diese regel erscheint mir eigendlich als die wichtigste
\quoteoff
Es gibt keine „wichtigste“ Regel. Ist eine verletzt, ist der Graph ungültig.
\quoteon(haribo)
ein beispiel eines "einheitsdistanzen graphs" wäre dieser Q4, der zeigt das ein solcher graph aus lauter gleichlangen linien gebildet sein soll
\quoteoff
Was meinst du mit Q4? Den Hypercube?
\quoteon(haribo)
jede linie hat am ihrem ende jeweils einen knoten,
\quoteoff
Sonst wäre sie ja auch nicht am Ende ;)
\quoteon(haribo)
es gibt aber zusätzlich auch andere knoten, so wie dieser graph aufgebaut ist kann man ihn natürlich nicht nicht aus streichhölzern legen,
\quoteoff
Welcher „dieser“?
\quoteon(haribo)
verletzt mein graph irgend eine andere "einheitsdistanzen graphen" regel?
\quoteoff
Ja, eben die Einheitlänge der Kanten.
JedesZusammentreffen von Steichhölzern, an den Ende oder mittig, bildet einen Knoten. Und damit sind die kurzen Seiten der gleichschnkligen Dreiecke eben kürzer als die beiden anderen Schenkel.
\quoteon(haribo)
https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/f/f8/Hypercubestar.svg/150px-Hypercubestar.svg.png
\quoteoff
Das Ding ist nicht überschneidungsfrei.
\quoteon(haribo)
"planarer graph" verlangt gemeinsame endpunkte, jedes kantenende/streichholzende mündet in einem knoten, das ist hier gegeben
\quoteoff
Richtig.
\quoteon(haribo)
verletzt mein graph eine andere definition des planaren graphen?
\quoteoff
Wie gesagt: die Einheitslänge der Kanten ist verletzt.
\quoteon(haribo)
interessanter weise verletzen alle m=1 beispiele aus den in #1 verlinkten streichholz graphen die anforderung des "planaren graphen", sie haben alle offene enden...?
\quoteoff
Nun, das ist halt bei Knoten vom Grad so :-D
\quoteon(haribo)
insofern kann natürlich auch die definition in wikipedia unzulänglich sein... aber explizit wird nirgends gleichseitige dreiecke oder ähnliches gefordert,
\quoteoff
Wenn schon Dreieck, dann muß es zangsläufig gleichseitig sein. Ich wiederhole mich: einheitliche Kantenlänge.
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ochen
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| Beitrag No.14, eingetragen 2016-02-19
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Hallo,
entschuldigt, dass ich auch meinen Senf dazu geben will, aber ich bin der gleichen Meinung wie viertel. Dein gezeigter Graph verletzt die Einheitsdistanzeigenschaft.
Ausserdem steht es bei Wikipedia ein klein wenig anders. Es muss eine Einbettung geben, die gleichzeitig ein Einheitsdistanzgraph darstellt und planar ist. Das ist im Allgemeinen nicht das gleiche wie nur ein planarer Graph und ein Einheitsdistanzgraph zu sein.
Die Bezeichnung des Netz des Hyperwuerfel als $Q_4$ ist durchaus ueblich. Es ist tatsaechlich nicht planar.
Liebe Gruesse
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viertel
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| Beitrag No.15, eingetragen 2016-02-19
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\quoteon(2016-02-19 15:30 - ochen in Beitrag No. 14)
Die Bezeichnung des Netz des Hyperwuerfel als $Q_4$ ist durchaus ueblich. Es ist tatsaechlich nicht planar.
\quoteoff
Ich bin nur Hobby-Mathematiker. Deshalb sind mir viele Begriffe/Bezeichnungen nicht geläufig.
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haribo
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| Beitrag No.16, eingetragen 2016-02-19
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vielen dank für eure rückmeldungen,
der Q4 ist von der wikipediaseite "Einheitsdistanz-Graph" wiso verletzt der nicht seine eigenen regeln? wiso darf bei dem ein knoten innerhalb der einheitslänge anschliessen, (das er aus anderen gründen nicht streichholztauglich ist hatte ich erwähnt...)
salut haribo
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Slash
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| Beitrag No.17, vom Themenstarter, eingetragen 2016-02-19
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Tut er doch gar nicht. Ein Einheitsdistanz-Graph ohne Überschneidungen wird Streichholzgraph genannt. Und der Q4 hat nur Überschneidungen. Seine Kanten sind alle gleich lang und jeweils vier enden an einem Knoten.
Der "kleinste" 4-reguläre ebene Einheitsgraph ohne Überschneidungen, also ein Streichholzgraph, ist der Harborth-Graph.
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haribo
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| Beitrag No.18, eingetragen 2016-02-20
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OK, jetzt nach dem ausflug in die streichholz-graphen-definition hab auch ichs verstanden
dann war mein graph ein: planarer-einheits-graph dem es erlaubt ist in jedem knoten genau eine überschneidung zu haben, der darum auch mit streichhölzern legbar ist, der aber wegen verwechslungsgefahr nicht streichholzgraph genannt werden soll.... also hm .... dann ist es wohl ein "haribo-graph" ?
der linke graph in #8 hatte dann also nicht 2x5er + 6x2er knoten sondern 1x5er; 1x3er + 6x2er knoten sowie 1 überschneidung
(und weil aus jeder erkenntnis bekanntlich neue fragen erwachen... gibt es einen haribo-graphen bestehend aus grad 5 und 2 ?)
damit es hier aber mit streicholzgraphen weitergeht zerteile ich jedes holz in der mitte ---> 2-15er
http://www.matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/9/35059_st2-15.png
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viertel
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| Beitrag No.19, eingetragen 2016-02-20
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\quoteon(2016-02-20 11:12 - haribo in Beitrag No. 18)
damit es hier aber mit streicholzgraphen weitergeht zerteile ich jedes holz in der mitte ---> 2-15er
http://www.matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/9/35059_st2-15.png
\quoteoff
Aber der ist ja langweilig 
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haribo
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| Beitrag No.20, eingetragen 2016-02-20
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dann reduzier doch den 4-10 ein bischen
http://www.matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/9/35059_st4-10.PNG
17 hölzer reichen aus!
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haribo
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| Beitrag No.21, eingetragen 2016-02-21
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preisfrage 156-145 oder 154-150 oder 162-114 oder how-much?
http://www.matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/9/35059_St156-145.png
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| Beitrag No.22, vom Themenstarter, eingetragen 2016-02-21
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Ich habe ein paar nicht ganz simple ringfömige 6-Symmetrien mit Dreiecken, Quadraten und Rauten gefunden, muss sie aber noch mal sauber aufzeichnen. Existiert auch eine unendliche "aperiodische" Parkettierung?
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haribo
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| Beitrag No.23, eingetragen 2016-02-21
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mein bild kann man aussen immer spiegeln (und ein paar doppellinien zwischensetzen) oder auch jeweils sechs spalten zusätzlich dazwischen setzen, und dabei die nur aus waagerechten strichen bestehenden spalten noch schräg verschieben... schätze damit kann man also unendliche+ variantenreiche flächen parkettieren. reicht das als aperiodische parkettierung?
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| Beitrag No.24, vom Themenstarter, eingetragen 2016-02-21
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\quoteon(2016-02-21 18:38 - haribo in Beitrag No. 23)
... reicht das als aperiodische parkettierung?
\quoteoff
Nein, denn das ist ja eine Periodizität.
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haribo
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| Beitrag No.25, eingetragen 2016-02-21
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http://www.matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/9/35059_st-aperiodisch.png
nachtrag noch als bild, ist ein kunschtwerk geworden
periode ist jeweils eine spalte?
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| Beitrag No.26, vom Themenstarter, eingetragen 2016-02-21
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Ein Musterbeispiel für eine aperiodische (5,4)-Parkettierung ist die Penrose-Parkettierung.
Siehe hier mit der "2. Kombination". Da besitzen die Kachelkanten Einheitslänge.
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| Beitrag No.27, eingetragen 2016-02-22
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hat die 2. kombination nicht eine (5,4,3) knotenwertigkeit?
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| Beitrag No.28, vom Themenstarter, eingetragen 2016-02-22
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Ja, hat sie. Danke für die Korrektur. Sogar (3,4,5,6,7), da war ich wohl etwas...
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haribo
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| Beitrag No.29, eingetragen 2016-02-22
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ich hab möglicherweise (noch) nicht verstanden was eine "aperiodische erweiterung" auszeichnet, aber unregelmässig kann man wohl sogar jeden teilausschnitt eines vorhandenen grad 5+2 graphen in jede richtung beliebig erweitern
hier habe ich jedem offenen ende des zufällig rauskopierten blauen teil-graphen in einen grad 5 knoten verwandelt und jeweils mit grad 2 knoten geschlossen (hellblau), sieht wild aus aber lässt sich evtl ewig fortsetzen
ein aussenligendes streichholz welches beidseitig mit grad 2 angeschlossen ist kann man ja sowiso durch einen beliebig langen polygon egsetzen
http://www.matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/9/35059_sterweiterung.png
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| Beitrag No.30, vom Themenstarter, eingetragen 2016-02-22
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Mit ging es dabei um gleiche Flächen (egal wie viele), die sich aperiodisch wiederholen. War aber auch nur so Gedanke wegen der Dreiecke, Quadrate und Rauten aus je vier Kanten. Dein Vorschlag wäre wie du selbst sagst unregelmässig statt aperiodisch, da die Periode fehlt.
Da viele meiner anfänglichen Fragen bereits beantwortet sind, beschäftige ich mich jetzt gerade wieder mit 4-regulären Streichholzgraphen. Vielleicht hast du auch dazu Lust? Bisher fehlt immer noch ein Beweis für die Minimalität des Harborth-Graphen.
Auch noch interessant: Gibt es einen (4,5)-SHG mit weniger Knoten/Kanten als auf der verlinkten Seite vom Themenstart zu sehen?
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haribo
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| Beitrag No.31, eingetragen 2016-02-22
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ich wäre ja schon froh wenn ich den harborth exakt nach-konstruieren könnte...
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| Beitrag No.32, vom Themenstarter, eingetragen 2016-02-22
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Ich arbeite mit der gratis Software Solid Edge 2D-Drafting ST8, ein CAD-System. Damit kann man gut und genau experimentieren. Besser wäre ein sehr genaues Real-System um grob Ideen zu entwickeln. Meins aus Schrauben und Heftstreifen hat leider keine gute Steifigkeit, zu viel Spielraum.
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haribo
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| Beitrag No.33, eingetragen 2016-02-23
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meine zeichnung ist mit cad erstellt, das ist geometrisch auch exakt
es gibt aber so probleme für die es meines wissens keine geometrischen lösungen gibt... (ein sipmles beispiel ist das box-ladder problem, in echt kann jeder eine leiter an eine kiste schieben das sie mit drei punkten berührt also boden kiste und wand, zeichnerisch geht es eben wohl nur näherungsweise... )
bei harboth müsste man den unteren winkel herausbekommen, dann die figur herstellen und so in einen rechten winkel schieben das die figur an 4 stellen berührt... 4,5grad passt fast aber eben nicht ganz exakt
man bräuchte also ein zeichenprogram bei dem man nacheinander die gleichen befehle automatisch ausführt, also den anfangswinkel variiert bis rechts beide berührpunkte exakt übereinander liegen
oder eben ein modell mit guten gelenken, evtl geht es mit so nem magnetspielzeug mit kugeln und stäben ???
http://www.matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/9/35059_st4-ecke.png
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| Beitrag No.34, vom Themenstarter, eingetragen 2016-02-24
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\quoteon(2016-02-23 20:02 - haribo in Beitrag No. 33)
...oder eben ein modell mit guten gelenken, evtl geht es mit so nem magnetspielzeug mit kugeln und stäben ???
\quoteoff
Habe ich auch schon dran gedacht, ist aber viel zu klobig. Die Kanten können nicht sehr nahe am selben Knoten sitzen, und die Knoten bzw. Kanten können ihresgleichen auch nicht sehr nahe kommen.
Edit: Habe gerade das hier gegoogelt. Das wäre ideal. Mann bräuchte aber 11 Sets für über 100 Kanten mit gleicher Länge. Leider nur in China bestellbar, Mindestmenge 2000 Sets. :-(
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viertel
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| Beitrag No.35, eingetragen 2016-02-24
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Das China-Set ist auch zu grob 
http://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/9/1781_Streichholzgraphen_nur_mit_Knoten_vom_Grad_5_und_2_Harborth_216644.PNG
Erstellt mit DynaGeo-Euklid
Die Neigung der gestrichelten Geraden kann extrem fein verändert werden. Die ganze Figur paßt sich entsprechend an.
Die graue Gerade durch P ist parallel zur x-Achse. Der Term links oben gibt den Abstand zwischen dieser Geraden und Q an. Wenn der exakt =0 ist, dann ist die Figur perfekt.
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| Beitrag No.36, vom Themenstarter, eingetragen 2016-02-24
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Danke für den Software-Tipp Viertel! Ich werde das Programm heute mal testen. Ob mein erwähntes CAD-Programm auch "dynamisch" arbeiten kann, weiß ich nicht.
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haribo
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| Beitrag No.37, eingetragen 2016-02-24
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direkt streichhölzer zum spielen verwenden ist auch nicht schlecht, grrr
harboth benötigt 104 hölzer, nachdem ich ihn gesehen hatte habe ich vor einigen tagen ziemlich schnell, ohne weitere hilfe, 126 geschafft
paar tage später 120, bei dem bin ich mir aber nicht 100% sicher ob er exakt ist
beide sind natürlich keine welt-neuerfindungen, ich kannte sie aber nicht
http://www.matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/9/35059_st126_120.png
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| Beitrag No.38, vom Themenstarter, eingetragen 2016-02-24
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Ja, das sind die "einfachen" kleinsten Standardlösungen mit gleichseitigen Dreiecken und Quadraten. Versuche einen mit 108 Kanten zu legen. Das wäre schon was. Für einen minimalen Graphen muss die äußere "Hülle" auf jeden Fall aus gleichseitigen Dreiecken (je 3 Kanten) bestehen. Daran führt kein Weg vorbei.
\quoteon(2016-02-24 04:04 - viertel in Beitrag No. 35)
Das China-Set ist auch zu grob.
\quoteoff
So ein Set wäre aber gut um Ideen zu entwickeln und schnell umzusetzen. Ich denke da an bewegliche Teilgraphen. Hat man so etwas brauchbares, erfolgversprechendes gefunden, dann kann man mit dem PC die Geometrie testen. Naja, jedenfalls kann ich so am effektivsten arbeiten und forschen. :-)
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haribo
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| Beitrag No.39, eingetragen 2016-02-24
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märklin metalbaukasten hatte auch solch loch-flach-bänder
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