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Mathematik » Stochastik und Statistik » Erweiterung des Ziegenproblems
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Kein bestimmter Bereich J Erweiterung des Ziegenproblems
Gerhardus
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  Themenstart: 2015-11-11

Das klassische Ziegenproblem wird erweitert: 2 Autos und 3 Ziegen werden zufällig hinter 5 verschlossenen Türen verteilt. Der Kandidat kennt die Verteilung nicht. Der Kandidat wählt eine Tür, die bis zu seiner 2. Wahlmöglichkeit geschlossen bleibt. Danach wird zufällig (Losverfahren) eine der anderen Türen geöffnet. Abhängig davon öffnet der Moderator eine weitere Tür, so dass insgesamt 1 Tür mit Auto und 1 Tür mit Ziege geöffnet werden. Danach darf der Kandidat zu einer anderen geschlossenen Tür wechseln oder bei der 1. Wahl bleiben. Diese Wahl entscheidet über seinen Gewinn. Wie muss sich der Kandidat bei der 2. Wahl entscheiden, damit sein Erwartungswert für den Gewinn eines Autos möglichst hoch ist? Wie hoch ist der Erwartungswert? Begründung?


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Buri
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  Beitrag No.1, eingetragen 2015-11-11

Hi Gerhardus, ich kriege Folgendes heraus: Wenn die Zufallswahl ein Auto ergab, ist es egal, ob der Kandidat wechselt oder nicht. Die Gewinnchance ist 1/3. Wenn die Zufallswahl eine Ziege ergab, ist die Gewinnchance bei der sturen Strategie 1/2 und bei der Wechsel-Strategie 1/4. Also sollte der Kandidat bei seiner Auswahl bleiben. //EDIT: Das ist leider alles falsch. Gruß Buri


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Monkfish
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  Beitrag No.2, eingetragen 2015-11-11

Hallo :-) Meine Überlegungen: Bei Nicht-Wechsel gewinnt man dann und nur dann, falls man bei der ersten Wahl ein Auto erwischt. Gewinn-W'keit ist also 2/5. Bei Wechsel gewinnt man dann und nur dann, falls man bei der ersten Wahl eine Ziege erwischt und bei der zweiten Wahl dann unter den verbleibenden Möglichkeiten Ziege/Auto das Auto erwischt. Gewinn-W'keit daher 3/5 * 1/2 = 3/10. Man sollte also nicht wechseln. Gruss


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Buri
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  Beitrag No.3, eingetragen 2015-11-12

Hi Gerhardus, solch eine Verallgemeinerung wird auch in diesem Artikel betrachtet. Gruß Buri


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Gerhardus
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  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2015-11-12

Danke für die Antworten. Der genannte Artikel lässt alles offen. In meiner Rechnung unterscheide ich Fall 1 = 1 Autotür wird ausgelost und geöffnet. Die Wahrscheinlichkeit dafür beträgt 2/5. Danach beträgt die Wahrscheinlichkeit für jede geschlossene Tür ¼, auch für die Tür der 1. Wahl. Der Moderator öffnet dann eine Ziegentür und ändert die Wahrscheinlichkeit für die Tür der 1. Wahl nicht, nur für die anderen beiden Türen, für die gilt (1-¼)/2 = 3/8. Damit ist klar, dass der Kandidat wechseln sollte. Fall2 = 1 Ziegentür wird ausgelost und geöffnet. Die Wahrscheinlichkeit dafür beträgt 3/5. Danach beträgt die Wahrscheinlichkeit für jede geschlossene Tür ½, auch für die Tür der 1. Wahl. Der Moderator öffnet dann eine Autotür und ändert die Wahrscheinlichkeit für die Tür der 1. Wahl nicht, nur für die anderen beiden Türen, für die gilt (1-½)/2 = ¼. Damit ist klar, dass der Kandidat nicht wechseln sollte. Aufgrund der 2. Wahlmöglichkeit erhöht sich die Gesamtchance des Kandidaten, ein Auto zu gewinnen von 2/5 geringfügig auf (3/8)*(2/5) + (½*(3/5)= 9/20, also von 40% auf 45%.


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weird
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  Beitrag No.5, eingetragen 2015-11-12

Die Analyse von Gerhard stimmt natürlich und ist eine interessante Modifikation der Voraussetzungen des oben angesprochenen Artikels von JoeM, indem der Kandidat nicht nur weiß, welche Türen der Moderator geöffnet hat, sondern auch wie er bei dieser Auswahl vorgegangen ist, was ihm bei der beschriebenen Art der Auswahl eine wertvolle Zusatzinformation liefert. Die Lösung von Monkfish entspricht dem Fall, der auch in dem Artikel behandelt wird, dass nämlich entweder der Moderator das Auswahlverfahren selbst geheimhält und nur die geöffneten Türen - z.B. nach aufsteigenden Nummern geordnet - präsentiert oder aber der Kandidat bei seiner Entscheidung über einen ev. Wechsel nicht von der angebotenen Zusatzinformation Gebrauch macht. Die Lösung von Buri verstehe ich leider nicht, sodass ich sie auch nicht kommentieren kann. Wenn aber das, was er als "Zufallswahl" bezeichnet, die vom Moderator zuerst ausgeloste Tür ist, so ist jedenfalls der erste Teil seiner Analyse falsch.


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Gerhardus
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  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2015-11-12

Diese Variante des Ziegenproblems ist interessant, weil zwei Auswahlarten zu unterscheiden sind, die rein zufällige Auswahl und gezielte Auswahl eines Merkmal-Elements. Diese Unterscheidung verbessert das Verständnis des Standard-Ziegenproblems. Wenn ohne Losverfahren der Moderator zuerst eine Autotür und dann eine Ziegentür öffnet, bleibt die Wahrscheinlichkeit für die 1.Wahl-Tür 2/5. Die beiden anderen Türen haben dann die Wahrscheinlichkeit 3/10. Ein Wechsel wäre ungünstig. Wenn man dem Moderator in der Reihenfolge freie Wahl lässt, weiß man nicht, wie zufällig die erste Tür geöffnet worden ist, und die Wahrscheinlichkeiten sind nicht berechenbar.


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Bozzo
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  Beitrag No.7, eingetragen 2015-11-12

Im Prinzip läuft die Argumentation darauf hinaus, dass es egal ist, ob 1) zunächst der Kandidat eine Türe wählt, 2) dann der Moderator zufällig eine der verbleibenden Türen öffnet 3) und schließlich gezielt eine Türe mit bestimmtem Inhalt öffnet, 4) bevor der Kandidat wenn er möchte wechseln darf oder 1') zunächst der Moderator zufällig eine der fünf Türen öffnet 2') daraufhin der Kandidat eine der verbleibenden Türen wählen darf 3') und schließlich der Moderator gezielt eine Türe mit bestimmtem Inhalt öffnet, 4') bevor der Kandidat wenn er möchte wechseln darf. D. h. die ersten beiden Schritte sind hier vertauschbar. Das ist eine interessante Feststellung und mir ist anschaulich noch nicht so ganz klar, warum das tatsächlich der Fall ist.


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weird
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  Beitrag No.8, eingetragen 2015-11-12

\quoteon(2015-11-12 20:44 - Bozzo in Beitrag No. 7) D. h. die ersten beiden Schritte sind hier vertauschbar. Das ist eine interessante Feststellung und mir ist anschaulich noch nicht so ganz klar, warum das tatsächlich der Fall ist. \quoteoff Ja, das ist eine gute Bemerkung, denn das war mir bislang auch nicht bewußt. Offenbar hängt es aber damit zusammen, dass sowohl der Kandidat, als auch der Moderator bei seiner Erstwahl in keiner Weise bei der Wahl der Türe eingeschränkt sind, während dies hier für die 2.Moderatortür dann nicht mehr gilt.


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Bozzo
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  Beitrag No.9, eingetragen 2015-11-13

Ganz so uneingeschänkt ist der Moderator nicht. Er kann ja auch nur zufällig aus den verbleibenden 4 Türen wählen, die Tür des Kandidaten ist hier tabu. Umgekehrt ist der Kandidat nicht ganz uneingeschränkt, wenn der Moderator zuerst zufällig eine Türe geöffnet hat. War dies zufällig ein Auto, kann der Kandidat nicht einfach sagen: "Ach, Tor 3 ist ein Auto. Das passt mir gerade ganz gut, dann nehme ich auch Tor 3." Er ist hier auch auf die übrigen 4 Türen eingeschränkt. Die zusätzliche Information, die der Kandidat durch die Reihenfolge der geöffneten Türen bekommt, entsteht dadurch, dass beim ersten zufälligen Zug aus zwei verschiedenen Verteilungen gezogen wird, je nach dem, ob der Kandidat bei seiner 1. Wahl ein Auto oder eine Ziege erwischt hat. Hat er ein Auto erwischt, öffnet der Moderator bei seinem 1. Tor mit W'kt 1/4 ein Auto, hat er dagegen eine Ziege erwischt, öffnet der Moderator mit W'kt 1/2 ein Auto. Aus dem Ergebnis des 1. geöffneten Tors kann daher zurückgeschlossen werden, welche der beiden Verteilungen wahrscheinlicher ist — und damit, welche Wahl der Kandidat womöglich getroffen hat. Rechnerisch kommen zwar dieselben W'kten heraus, als hätte der Moderator zuerst eine Türe geöffnet und der Kandidat anschließend gewählt, aber eine anschauliche Begründung, warum diese beiden Experimente in gewisser Weise "äquivalent" sind, sehe ich noch nicht.


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safrazap
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  Beitrag No.10, eingetragen 2015-11-13

Strategie 1: immer wechseln Erfolg: 3/5*1/2 (30%) Strategie 2: nie wechseln Erfolg: 2/5 (40%) Strategie 3: durch Los Auto, dann wechseln, durch Los Ziege, dann nicht wechseln Erfolg: 3/5*2/4*1*1/2+2/5*3/4 (45%) Strategie 4: durch Los Auto, dann nicht wechseln, durch Los Ziege, dann wechseln Erfolg: 2/5*1/4+3/5*2/4*1/2 (25%) Strategie 3 ist am besten (falls ich mich nicht vertan hab)


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Gerhardus
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  Beitrag No.11, vom Themenstarter, eingetragen 2015-11-15

Was für ein Wunder! So klar und eindeutig waren die Dinge hier noch nie!


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Buri
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  Beitrag No.12, eingetragen 2015-11-15

Hi Gerhardus, meine erste Überlegung war leider falsch. Ich habe es noch einmal gründlicher versucht, aber dabei habe ich anscheinend wieder etwas falsch gemacht und suche noch nach dem Fehler. Mit den Strategien 1 bis 4 habe ich je 1000000 Spiele mit zufälligen Daten durchgeführt, und was herauskommt, bestätigt die Ergebnisse aus Beitrag #10. Gruß Buri


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safrazap
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  Beitrag No.13, eingetragen 2015-11-15

Hallo Buri, ich hab mir lediglich einen Baum dazu gezeichnet (Kandidat / Los / Moderator). Dann sieht man es eigentlich relativ einfach. Danke für die statistische Bestätigung!


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Gerhardus
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  Beitrag No.14, vom Themenstarter, eingetragen 2015-11-15

Hallo Buri, ich gehe mal von deinem Ansatz an. Fall 1: Der Kandidat hat zuerst eine Autotür gewählt (mit der Wahrscheinlichkeit 2/5). Dann wird mit der Wahrscheinlichkeit 1/4 eine Autotür geöffnet. In diesem Fall trifft der Kandidat mit Strategie 3 von safrazap eine falsche Entscheidung, weil danach eine Ziegentür geöffnet wird. In 3/4 der Fälle wird zufällig eine Ziegentür geöffnet und der Kandidat entscheidet richtig, weil er bei seiner Wahl bleibt. Bezogen auf alle möglichen Fälle sind das (2/5)*(3/4) = 30%. Fall 2: Der Kandidat hat zuerst eine Ziegentür gewählt (mit der Wahrscheinlichkeit 3/5). Dann wird eine Autotür mit der Wahrscheinlichkeit ½ gewählt und dann eine Ziegentür geöffnet. Laut Strategie 3 wechselt der Kandidat und hat dann mit der Wahrscheinlichkeit ½ Erfolg (weil sich Auto und Ziege auf die letzten beiden Türen verteilen). Bezogen auf alle möglichen Fälle ergibt sich aus Fall 2 die Erfolgswahrscheinlichkeit (3/5)*½*½ = 15%. Also insgesamt 30% + 15% = 45%.


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Ex_Senior
  Beitrag No.15, eingetragen 2015-11-16

Hallo Müsstest du die 30% nicht auch mit 0,5 multiplizieren? mfgMrBean


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Gerhardus
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  Beitrag No.16, vom Themenstarter, eingetragen 2015-11-16

Warum, MrBean? Öffnet der Moderator am Ende eine Autotür, bleibt der Kandidat bei der 1. Wahl. Da gibt es nichts zum Halbieren. Das zweite ½ im Fall 2 kommt durch die Wahl infolge des Wechsels zustande.


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Ex_Senior
  Beitrag No.17, eingetragen 2015-11-16

Hallo Jetzt verstehe ich es. mfgMrBean


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Gerhardus hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
Gerhardus hat selbst das Ok-Häkchen gesetzt.

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