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Analysis » Komplexe Zahlen » Gamow-Rätsel, Schatzsuche mit komplexen Zahlen
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Universität/Hochschule Gamow-Rätsel, Schatzsuche mit komplexen Zahlen
nikofld3
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  Themenstart: 2022-10-04

https://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/b/55422_ADO.png ich kann ja mal sagen dass ich einfach eine Eiche, eine Buche und irgendwo einen Galgen habe, aber wie gehts weiter? Mir ist klar 90 graf ist mal i oder mal -i, je nach Uhrzeigersinn, aber wie gehts weiter? Später noch das arithmetische Mittel, aber zuvor?


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nikofld3
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  Beitrag No.1, vom Themenstarter, eingetragen 2022-10-04

Sagen wir Galgen sei die komplexe zahl g=a+bi, Eiche ist e=x+yi und buche ist b=f+pi und dann der Pfosten zu e wäre dann: e_pfosten = ( (a-x) + (b-y)*i )*i ?


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nikofld3
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  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2022-10-05

Wichtig zu erwähnen, ich soll beweisen, dass man ohne die Position des Galgen zu kennen den Schatz finden kann


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Squire
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  Beitrag No.3, eingetragen 2022-10-05

Servus nikofld3! Das Rätsel ist, wie du richtig vermutest, ohne Kenntnis des Standortes des Galgens lösbar. Die Idee, eine Koordinatensystem einzuführen, ist gut. Du kannst es dir aber doch sicher etwas leichter machen, indem du zB einem Baum die Koordinaten (0,0) zuordnest... Grüße Squire


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nikofld3
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  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2022-10-05

\quoteon(2022-10-05 12:28 - Squire in Beitrag No. 3) Servus nikofld3! Das Rätsel ist, wie du richtig vermutest, ohne Kenntnis des Standortes des Galgens lösbar. Die Idee, eine Koordinatensystem einzuführen, ist gut. Du kannst es dir aber doch sicher etwas leichter machen, indem du zB einem Baum die Koordinaten (0,0) zuordnest... Grüße Squire \quoteoff Danke, aber ich muss ja allgemein sagen, egal wo der Baum steht, dass ich das ohne Galgen nachweisen kann. Wenn der Galgen z. B. bei (0,0) wäre, so wäre der Schatz einfach bei z. B. eiche=a+bi und buche=x+yi, (a+bi + (x+yi) ) * 1/2, aber wie rechne ich es, wenn die Galge nicht bei (0,0) z. B. wäre?


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StrgAltEntf
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  Beitrag No.5, eingetragen 2022-10-05

\quoteon(2022-10-05 12:36 - nikofld3 in Beitrag No. 4) Wenn der Galgen z. B. bei (0,0) wäre, so wäre der Schatz einfach bei z. B. eiche=a+bi und buche=x+yi, (a+bi + (x+yi) ) * 1/2, aber wie rechne ich es, wenn die Galge nicht bei (0,0) z. B. wäre? \quoteoff Geschickter ist wohl wirklich das, was Squire vorgeschlagen hat. Wähle das Koordinatensystem so, dass die Eiche bei E = (0,0) = 0 und die Buche bei B = (1,0) = 1 liegt. Für den Galgen nimmst du variable Koordinaten an: G = (x,y) = x + iy. Berechne daraus die Koordinaten der beiden Pflöcke P1 und P2 und schließlich die des Schatzes S. Wenn du Glück hast, hängt S dann nicht mehr von x und y ab.


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cramilu
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  Beitrag No.6, eingetragen 2022-10-05

Hallo nikofld3, vektortechnisch kann ich Squire und StrgAltEntf nur beipflichten. Setze einen der Bäume in den Koordinatenursprung und betrachte eine etwa nachträglich erforderliche Relativverschiebung später... Allerdings gilt es zu bedenken, dass nirgendwo eindeutig gesagt ist, welcher der beiden Bäume vom Galgen aus gesehen der linke ist und welcher der rechte! Daher wird Jim schließlich so oder so an mindestens zwei Stellen buddeln müssen, um den Schatz sicher bergen zu können. EDIT: Squire hat das zurecht als falsch entlarvt. Ich rate bei solchen Aufgaben zum Gleichen wie mein einstiger Lieblingsmathelehrer: »Mal's halt 'mal hin!« Zwei Bäume, zwei geometrisch deutlich unterschied- liche Galgenpositionen; ergibt vier Fälle. EDIT: Squire hat das zurecht als falsch entlarvt. Die Verbindungslinie zwischen den Bäumen wird eine maßgebliche Rolle spielen... 😉


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Squire
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  Beitrag No.7, eingetragen 2022-10-05

Geschätzter cramilu, bist du sicher? Welcher Baum die Eiche ist und welcher die Buche, ist erkennbar, davon gehe ich aus. Ich meine, dann gibt es eine eindeutige Lösung. Grüße Squire


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StrgAltEntf
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  Beitrag No.8, eingetragen 2022-10-05

\quoteon(2022-10-05 16:45 - Squire in Beitrag No. 7) bist du sicher? Welcher Baum die Eiche ist und welcher die Buche, ist erkennbar, davon gehe ich aus. Ich meine, dann gibt es eine eindeutige Lösung. \quoteoff Hallo Squire, dass Jim erkennt, was Eiche und was Buche ist, davon ist wohl auszugehen. Der Galgen hätte aber auf unterschiedlichen Seiten der Gerade durch Eiche und Buche gestanden haben können. Das ergibt nach meiner Skizze unterschiedliche Positionen für den Schatz. EDIT: Das war eine schlechte Skizze


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cramilu
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  Beitrag No.9, eingetragen 2022-10-05

@Squire: Du hast Recht! @nikofld3 @StrgAltEntf: Squire hat Recht! 😉 Ich war einer Betrachtungsunzulänglichkeit aufgesessen. Warum, dem muss ich nocheinmal hinterherhirnen... 🤔 Jedenfalls... machen wir es nicht so 'spannend' und reden wir nicht um den heißen Brei: Wenn Jim sich vom Ansatz her treuen Glaubens darauf verlässt, dass es wirklich grad wurschd ist, wo damals der Galgen stand, dann wird er sich genau in die Mitte zwischen den beiden Bäumen stellen. Eiche und Buche werden zu zwei Eckpunkten eines Quadrates, und ihre Verbindungslinie zu dessen Diagonale. Mit Blickrichtung zur Eiche hin wird dann der Schatz auf derjenigen Ecke des Quadrates liegen müssen, welche sich von Jim aus zu seiner Rechten befindet! Und genau das wäre dann für einen beliebig ange- nommenen Galgenstandort rechnerisch zu zeigen! Konkret: Man lege für die Eiche E(-1|0) und für die Buche B(1|0) fest und zeige: Für beliebige J(\(x_J\vert y_J\)) (Jim) findet sich der Schatz an Position S(0|1)!


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Mano
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  Beitrag No.10, eingetragen 2022-10-05

\(\begingroup\)\(\newcommand{\hff}[1]{\frac{#1}{2}}\) Hallo nikofld und alle, die hier schreiben! Der Sinn, komplexe Zahlen für die Lösung geometrischer Probleme zu verwenden ist nicht, alles in der Form $a+bi$ auszudrücken. (Das sage ich als jemand, der dies häufiger gemacht hat.) Man will nämlich die grundlegende Eigenschaft komplexer Zahlen, wenn diese schon im Themenstart vorgeschlagen wurden, zu Nutze machen. Sonst könnte man ja genauso gut mit kartesischen Koordinaten arbeiten. Konkret heißt es hier: \quoteon(2022-10-04 23:23 - nikofld3 in Beitrag No. 1) Sagen wir Galgen sei die komplexe zahl g=a+bi, Eiche ist e=x+yi und buche ist b=f+pi und dann der Pfosten zu e wäre dann: e_pfosten = ( (a-x) + (b-y)*i )*i ? \quoteoff Die Positionen von Galgen, Eiche und Buche wurden schon benannt, $g$, $e$ und $b$. Mehr Variablen braucht man auch nicht. (Wenn man will, kann man $e$ auf 0 und $b$ auf 1 setzen o. ä.) Übrigens: Multiplikation mit $i$ bedeutet eine Drehung um $90^\circ$ gegen Uhrzeigersinn um den Ursprung. Du willst aber um Eiche bzw. Buche drehen. Dazu braucht man etwa $p_1-e=i\cdot(g-e)$. Hier kannst du $p_1-e$ bzw. $g-e$ als Vektoren sehen, die von $e$ auf $p_1$ bzw. $g$ zeigt. Dreht man eins um den Ursprung um 90°, erhält man den anderen.\(\endgroup\)


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