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Mathematik » Zahlentheorie » Sei eine Stelle(place) gegeben, wie konstruiert man ein korrespondierendes Primideal ungl. 0?
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Universität/Hochschule Sei eine Stelle(place) gegeben, wie konstruiert man ein korrespondierendes Primideal ungl. 0?
Marina123
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  Themenstart: 2022-10-04

Hallo zusammen, hier habe ich meine Lösung/Ansatz, wie man ein korrespondierendes Primideal konstruiert. Sei \(x\in O_k\) dann gilt \(v_p(x)\) \(\ge\)0 für jedes Primideal p in \(O_k\), somit gilt, dass \(O_k\) im Bewertungsring von k bzgl. \(v_p\) liegt. Es gibt dann folgende Korrespondenz: {Primideale in \(O_k\)} \(\leftrightarrow\) {nicht-archimedische Beträge auf k, s.d. \(O_k\) im Bewertungsring liegt} p \(\mapsto\) \(|.|_p\) Sei |.| ein nicht-archmimedischer Betrag auf k und v die Bewertung, dann gilt m={\(x\in k\)| v(x)>0 }={\(x\in k\)| |x|<1} ist ein maximales Ideal im Bewertungsring(={\(x\in k\) | v(x)\(\ge\)0} ={ \(x\in k\) | |x|\(\le\)1}) Da \(O_k\) im Bewertungsring liegt, ist auch die Menge {\(x\in k\) | v(x)\(\ge\)0} ein maximales Ideal in \(O_k\), also auch ein Primideal. Somit haben wir die andere Richtung der Zuordnung. Meine Frage ist aber jetzt, wie zeige ich dass es ungleich 0 ist? Mein Ansatz: Sei R ein Dedekindring mit F=Quot(R) und |.|: F \(\rightarrow\) \(\mathbb{R}\)_\(\(\ge\)0) (an der Stelle meine ich die pos. rationalen Zahlen mit 0, ich habe es mit LaTeX nicht besser hinbekommen) ein nicht-arch. nicht-trivialer Betrag, s.d. R \(\subseteq\) {\(x\in F\)| |x|\(\le\)1}. Dann ist {\(x\in F\)| |x|<1} ein Primideal von R und es ex. ein q>1 mit |.|=\(q^{-v_p(x)}\). Ich habe den Tipp bekommen: "Nehme vorerst an, dass |.|=\(q^{-v_p(x)}\) für ein Primideal p\(\subseteq\) R gilt. Es gilt dann p={\(x\in F\)| |x|<1}. Sei \(x\in p\), dann gilt (x)\(\subseteq\) p \(\Rightarrow\) \(v_p(x)\)>1" Mir ist an der Stelle nicht klar, wieso \(v_p(x)\)>1 gilt. Ich würde mich über jegliche Hilfe freuen.🙂 Danke und LG Marina


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thureduehrsen
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  Beitrag No.1, eingetragen 2022-10-05

Hallo Marina123, hier kann vermutlich niemand einsteigen. Der Text klingt so, als ob die erste Hälfte der Aufgabe fehlt. mfg thureduehrsen


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Marina123
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  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2022-10-05

\quoteon(2022-10-05 02:30 - thureduehrsen in Beitrag No. 1) Hallo Marina123, hier kann vermutlich niemand einsteigen. Der Text klingt so, als ob die erste Hälfte der Aufgabe fehlt. mfg thureduehrsen \quoteoff Hallo thureduehrsen, die originale Aufgabenstellung lautet: How does one classify the nontrivial, nonarchimedean places of a Dedekind ring R such that R is contained in the corresponding valuation ring? These places correspond to nonzero prime ideals. Given a place, how does one construct the corresponding prime ideal? Why is it nonzero? Mir fehlt von diesen Frage nur die letzte: Why is it nonzero? Ich wollte den Text nicht endlos lang werden lassen, daher hatte ich mich versucht kurzzufassen. LG Marina


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thureduehrsen
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  Beitrag No.3, eingetragen 2022-10-05

Hallo Marina123, vielen Dank. Aus dem Stegreif kann ich dir nicht helfen, da meine Kenntnisse in Algebra dazu nicht ausreichen. Du schreibst zudem sehr knapp. Ein, zwei Begründungen täten der Lesbarkeit des Textes gut. Ich kann nur meine Hoffnung aussprechen, dass jemand vorbeischaut, der mehr Ahnung hat. mfg thureduehrsen


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Folgende Antworten hat der Fragesteller vermutlich noch nicht gesehen.
iStein
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  Beitrag No.4, eingetragen 2022-11-20 17:58

Hallo Marina123, generell, nur die trivialen und archimedischen Bewertungen haben Primideal 0. Daher glaube ich, die Aufgabe verlangt einen Widerspruchsbeweis: angenommen das Primiideal ist ein Nullideal, dann würde die Annahme zu trivialen oder archimedischen Bewertungen führen. Es sei denn, im Text vorher gibt es einen Beweis/Hinweis, dass das Primideal mindestens ein nonzero Element hat. Dann ist das Ideal selbst auch nonzero, was zu beweisen ist. Übrigens, @thureduehrsen hat recht. Das Thema gehört eher in die Kategorie Algebra. Generell, die algebraische Zahlentheorie ist eher Algebra als Zahlentheorie. VG


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