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Analysis » Komplexe Zahlen » ((1-i)/sqrt(2))^2022 umschreiben, um Realteil und Imaginärteil zu bekommen?
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Universität/Hochschule J ((1-i)/sqrt(2))^2022 umschreiben, um Realteil und Imaginärteil zu bekommen?
nikofld3
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((1-i)/sqrt(2))^2022 zu ( (1-i)^2022/ 2^1011 ) was ich nun nicht checke, bei Wurzel 2 konnte man das gut darstellen, zu 2 hoch 1011, aber wie bekommt man das bei (1-i) hin zsmzufassen?


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nzimme10
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  Beitrag No.1, eingetragen 2022-10-02

\(\begingroup\)\(\renewcommand{\i}{\mathrm{i}} \renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}} \renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}} \newcommand{\e}{\mathrm{e}} \renewcommand{\d}{\mathrm{d}} \renewcommand{\dd}{\ \mathrm d} \newcommand{\ddz}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}} \newcommand{\ddw}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}w}} \newcommand{\ddt}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}} \newcommand{\opn}{\operatorname}\) Hallo, denke ruhig mal etwas geometrischer😉 Wo genau liegt denn $\frac{1-\i}{\sqrt 2}$ in der komplexen Ebene? Vielleicht hilft das schon. LG Nico\(\endgroup\)


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nikofld3
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  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2022-10-02

\quoteon(2022-10-02 22:42 - nzimme10 in Beitrag No. 1) Hallo, denke ruhig mal etwas geometrischer😉 Wo genau liegt denn $\frac{1-\i}{\sqrt 2}$ in der komplexen Ebene? Vielleicht hilft das schon. LG Nico \quoteoff Wie genau kann man sich das vorstellen? Wir haben das immer so gelernt, x - Achse geh ich realteil und y- Achse Imaginärteil? Wie kann ich das hier betrachten?


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nzimme10
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  Beitrag No.3, eingetragen 2022-10-02

\(\begingroup\)\(\renewcommand{\i}{\mathrm{i}} \renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}} \renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}} \newcommand{\e}{\mathrm{e}} \renewcommand{\d}{\mathrm{d}} \renewcommand{\dd}{\ \mathrm d} \newcommand{\ddz}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}} \newcommand{\ddw}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}w}} \newcommand{\ddt}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}} \newcommand{\opn}{\operatorname}\) Welchen Abstand hat diese Zahl zum Ursprung der komplexen Ebene? Und wenn du die Zahl durch eine gerade Linie mit dem Ursprung verbindest, welcher Winkel wird von dieser Linie mit der $x$-Achse eingeschlossen? Wenn du es eher "rechnerisch" lösen willst, dann kannst du auch erstmal $\left(\frac{1-\i}{\sqrt 2}\right)^2$ ausrechnen und das Ergebnis dann "hoch $1011$" rechnen. LG Nico\(\endgroup\)


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nikofld3
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  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2022-10-02

\quoteon(2022-10-02 22:46 - nzimme10 in Beitrag No. 3) Welchen Abstand hat diese Zahl zum Ursprung der komplexen Ebene? Und wenn du die Zahl durch eine gerade Linie mit dem Ursprung verbindest, welcher Winkel wird von dieser Linie mit der $x$-Achse eingeschlossen? Wenn du es eher "rechnerisch" lösen willst, dann kannst du auch erstmal $\left(\frac{1-\i}{\sqrt 2}\right)^2$ ausrechnen und das Ergebnis dann "hoch $1011$" rechnen. LG Nico \quoteoff Wie kann man das berechnen, mit dem Abstand? Gibts da ne Formel?


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nzimme10
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  Beitrag No.5, eingetragen 2022-10-03

\(\begingroup\)\(\renewcommand{\i}{\mathrm{i}} \renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}} \renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}} \newcommand{\e}{\mathrm{e}} \renewcommand{\d}{\mathrm{d}} \renewcommand{\dd}{\ \mathrm d} \newcommand{\ddz}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}} \newcommand{\ddw}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}w}} \newcommand{\ddt}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}} \newcommand{\opn}{\operatorname}\) Satz von Pythagoras ist da das Stichwort. Aber bei $1-\i$ "sieht" man auch recht schnell, dass der Abstand $\sqrt 2$ ist. $\frac{1-\i}{\sqrt 2}$ hat also den Abstand (Betrag) $1$ und liegt somit auf dem Einheitskreis. LG Nico\(\endgroup\)


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nikofld3
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  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2022-10-03

\quoteon(2022-10-03 00:01 - nzimme10 in Beitrag No. 5) Satz von Pythagoras ist da das Stichwort. Aber bei $1-\i$ "sieht" man auch recht schnell, dass der Abstand $\sqrt 2$ ist. $\frac{1-\i}{\sqrt 2}$ hat also den Abstand (Betrag) $1$ und liegt somit auf dem Einheitskreis. LG Nico \quoteoff Danke, aber warum? Weil, mal ein anderes Beispiel: warum ist e^(2pi*i/8) = (1+i)/sqrt(2) und nicht nur 1+i, e^(2pi*i/8)=45° und 1+i auch 45°? oder nicht?


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nzimme10
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  Beitrag No.7, eingetragen 2022-10-03

\(\begingroup\)\(\renewcommand{\i}{\mathrm{i}} \renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}} \renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}} \newcommand{\e}{\mathrm{e}} \renewcommand{\d}{\mathrm{d}} \renewcommand{\dd}{\ \mathrm d} \newcommand{\ddz}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}} \newcommand{\ddw}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}w}} \newcommand{\ddt}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}} \newcommand{\opn}{\operatorname}\) Wie gesagt, Satz von Pythagoras. $1-\i$ hat die $x$-Koordinate (Realteil) $1$ und $y$-Koordinate (Imaginärteil) $-1$. Deshalb ist der Abstand von $1-\i$ zu $0$ nach Pythagoras $$ \sqrt{1^2+(-1)^2}=\sqrt 2. $$ Den Winkel misst man typischerweise zur positiven reellen Achse und nimmt konventionell oft den Winkel, der im Intervall $(-\pi,\pi]$ liegt; das ist aber nur eine Konvention. Folgt man dieser Konvention, dann ist der Winkel bei $1-\i$ gerade $-45^{\circ}$ oder eben $-\frac{\pi}{4}$. Jetzt musst du nur noch wissen, was mit dem Betrag und dem Winkel bei der Multiplikation von komplexen Zahlen passiert: Die Beträge werden multipliziert und die Winkel addiert. Oder du folgst eben meinem anderen Tipp. Zu deiner anderen Frage: Ist $x\in \mathbb R$, dann ist $\e^{\i x}$ eine komplexe Zahl auf dem Einheitskreis, also mit Betrag $1$, denn es ist $$ \e^{\i x}=\cos(x)+\i \sin(x) $$ und somit $$ |\e^{\i x}|=\sqrt{\cos^2(x)+\sin^2(x)}=\sqrt 1=1. $$ Es ist aber $|1+\i|=\sqrt 2$ und nicht $1$. LG Nico\(\endgroup\)


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nikofld3
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  Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2022-10-03

\quoteon(2022-10-03 01:23 - nzimme10 in Beitrag No. 7) Wie gesagt, Satz von Pythagoras. $1-\i$ hat die $x$-Koordinate (Realteil) $1$ und $y$-Koordinate (Imaginärteil) $-1$. Deshalb ist der Abstand von $1-\i$ zu $0$ nach Pythagoras $$ \sqrt{1^2+(-1)^2}=\sqrt 2. $$ Den Winkel misst man typischerweise zur positiven reellen Achse und nimmt konventionell oft den Winkel, der im Intervall $(-\pi,\pi]$ liegt; das ist aber nur eine Konvention. Folgt man dieser Konvention, dann ist der Winkel bei $1-\i$ gerade $-45^{\circ}$ oder eben $-\frac{\pi}{4}$. Jetzt musst du nur noch wissen, was mit dem Betrag und dem Winkel bei der Multiplikation von komplexen Zahlen passiert: Die Beträge werden multipliziert und die Winkel addiert. Oder du folgst eben meinem anderen Tipp. LG Nico \quoteoff Okay danke, der Trick ist verständlicher, dass man immer auf Abstand 1 kommen will, aber dann mal was anderes e^(2pi/16) = 22,5 ° . 1+1/2pi=22,5 grad, aber Abstand Wurzel(5/4), kann ich nun sagen: (1+1/2pi)/Wurzel(5/4) = e^(2pi/16)?


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Caban
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  Beitrag No.9, eingetragen 2022-10-03

Hallo Der Winkel ist falsch. R*(sin(\alpha)*i+cos(\alpha)). R ist hier 1. Gruß Caban


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Wario
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  Beitrag No.10, eingetragen 2022-10-03

\quoteon(2022-10-02 22:38 - nikofld3 im Themenstart) ((1-i)/sqrt(2))^2022 zu ( (1-i)^2022/ 2^1011 ) was ich nun nicht checke, bei Wurzel 2 konnte man das gut darstellen, zu 2 hoch 1011, aber wie bekommt man das bei (1-i) hin zsmzufassen? \quoteoff Du hast sowas wie $w=z^n.$ Wenn Du die Potenz einmal vergisst, hast Du $z=a+ib$ und Du willst die Darstellung $z=|z|\, e^{\arg(z)\,i}$; mit (per Konvention) $\arg(z) \in \left]-\pi,~ \pi\right]$ Weil Du diese Darstellung dann leicht potenzieren kannst und von der Potenz, mit der Formel von Moivre, ohne Weiteres Real- und Imaginärteil ablesen kannst. · Bei der Berechnung von $|z|$ weißt Du wie es geht. · Die Berechnung $\arg(z)$ geht nicht irgendwie, auch da musst Du raussuchen, wie es geht. Eine Möglichkeit steht hier. Wenn ich diese Formel (die übrigens hier hergeleitet wird) stumpf anwende, rechne ich $ \arg(1-i) =-\dfrac{\pi}{4}$ aus. Wobei ich mir hier noch trickreich sagte, dass ein Streckfaktor keinen Einfluss auf das Argument hat, also $ \arg\left( \dfrac{1-i}{\sqrt{2}} \right) =\arg(1-i)$ · Um jetzt die gesuchte Potenz $w=z^n$ zu berechnen, muss ich noch wissen, dass eine (äquivalente) Gleichheit $e^{i\phi} =e^{i\phi +k\, 2\pi i}$ für ganze Zahlen $k$ besteht. So kann ich dann auch noch die Konvention $\arg(w) \in \left]-\pi,~ \pi\right]$ erfüllen.


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nikofld3
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  Beitrag No.11, vom Themenstarter, eingetragen 2022-10-03

\quoteon(2022-10-03 14:12 - Caban in Beitrag No. 9) Hallo Der Winkel ist falsch. R*(sin(\alpha)*i+cos(\alpha)). R ist hier 1. Gruß Caban \quoteoff Danke, aber darf keinen Taschenrechner nutzen.


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nikofld3
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  Beitrag No.12, vom Themenstarter, eingetragen 2022-10-03

Also: Wie schreibt man e^(2pi/16) ohne Taschenrechner so um, dass man real- und imaginärteil hat? Es geht ja cos(22,5°)+sin(22,5°)i, aber in der Klausur darf ich keinen Taschenrechner nutzen, wie kann ich dass dann anders bestimmen? Für cos und sin bräuchte ich ja einen Taschenrechner?


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Wario
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  Beitrag No.13, eingetragen 2022-10-03

\quoteon(2022-10-03 20:59 - nikofld3 in Beitrag No. 12) Also: Wie schreibt man e^(2pi/16) ohne Taschenrechner so um, dass man real- und imaginärteil hat? Es geht ja cos(22,5°)+sin(22,5°)i, aber in der Klausur darf ich keinen Taschenrechner nutzen, wie kann ich dass dann anders bestimmen? Für cos und sin bräuchte ich ja einen Taschenrechner? \quoteoff Dir wurde gesagt, dass $\frac\pi8$ bzw. $22{,}5^\circ$ hier nicht vorkommt bzw. falsch ist. Gefällt Dir irgendwie besser, bleibst'e halt mal dabei; vermutlich liest Du hier eh nur, worauf Du gerade Lust hast. Ansonsten, auszuschreiben, was der Sinus oder Kosinus von $\frac\pi4$ bzw. $45^\circ$ ist, darf man erwarten, zumal sich der Wert sofort aus dem gleichschenklig-rechtwinkligen Dreieck herleiten lässt. Falls tatsächlich einmal Sinus (Kosinus) von $\frac\pi8$ auftreten sollte (was ja hier, wie gesagt, nicht so ist) und für die Aufgabe keinen Taschenrechner oder Tabelle hat, weiß man es entweder oder lässt es eben so stehen. Nur ein Idiotenkorrektor würde hier annehmen, dass der Student zu blöd ist, $\sin\left(\frac\pi8\right)$ bei Bedarf in einen Taschenrechner einzugeben. Aber aus der Grundschule kommt eben diese Prägung, dass um jeden Preis eine irgendwie passende Kommazahl herbeizuführen ist, und falls das nicht geht, sind die Kinder aufgeschmissen.


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Diophant
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  Beitrag No.14, eingetragen 2022-10-03

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bvm}{\begin{vmatrix}} \newcommand{\evm}{\end{vmatrix}} \newcommand{\mb}[1]{\mathbb{#1}} \newcommand{\mc}[1]{\mathcal{#1}} \newcommand{\mf}[1]{\mathfrak{#1}} \newcommand{\ms}[1]{\mathscr{#1}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle}\) Die exakten Werte für Sinus und Kosinus von 22,5° kann man entweder auf elementargeometrischem Weg berechnen, oder bspw. über die Identität \[\sin(2x)=2\sin x \cos x=2\sin x\cdot\sqrt{1-\sin^2 x}\] Dazu sollte man dann einfach noch \(\sin 45^{\circ}=\frac{\sqrt{2}}{2}\) wissen. Gruß, Diophant [Die Antwort wurde nach Beitrag No.12 begonnen.]\(\endgroup\)


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nikofld3
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  Beitrag No.21, vom Themenstarter, eingetragen 2022-10-03

https://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/b/55422_posfjiopqe.png Was ist mit diesem Hinweis gemeint? Es ist doch so, das Argument von z6 steht doch als Exponent bei e und ist 2pi/8, das plus 1 sei das Argument von z7? Aber z7 sein Argument ist doch 2pi/16 weil es auch der Exponent von e ist, halt ohne das i? [Die Antwort wurde nach Beitrag No.19 begonnen.]


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Diophant
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  Beitrag No.16, eingetragen 2022-10-04

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bvm}{\begin{vmatrix}} \newcommand{\evm}{\end{vmatrix}} \newcommand{\mb}[1]{\mathbb{#1}} \newcommand{\mc}[1]{\mathcal{#1}} \newcommand{\mf}[1]{\mathfrak{#1}} \newcommand{\ms}[1]{\mathscr{#1}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle}\) Hallo, \quoteon(2022-10-03 23:44 - nikofld3 in Beitrag No. 21) Was ist mit diesem Hinweis gemeint? \quoteoff Du solltest dich dringend mit den geometrischen Zusammenhängen hinter den komplexen Zahlen beschäftigen, dann kannst du so etwas auch leicht selbst überprüfen. Hier bilden die Zahlen \(0,z_6,az_7\) und \(1\) für ein \(a\in\IR^{+}\) in der Gaußschen Zahlenebene eine Raute. Und das ist dann auch die Begründung für den Hinweis. Hilfreich wäre es, wenn du jeweils bei einer Aufgabe so lange bleiben könntest, bis sie geklärt ist. So wie jetzt ist das eine Art mathematischer Neo-Dadaismus, der niemand weiterhilft, auch nicht dir. Gruß, Diophant\(\endgroup\)


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nikofld3
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  Beitrag No.17, vom Themenstarter, eingetragen 2022-10-04

\quoteon(2022-10-04 09:15 - Diophant in Beitrag No. 16) Hallo, \quoteon(2022-10-03 23:44 - nikofld3 in Beitrag No. 21) Was ist mit diesem Hinweis gemeint? \quoteoff Du solltest dich dringend mit den geometrischen Zusammenhängen hinter den komplexen Zahlen beschäftigen, dann kannst du so etwas auch leicht selbst überprüfen. Hier bilden die Zahlen \(0,z_6,az_7\) und \(1\) für ein \(a\in\IR^{+}\) in der Gaußschen Zahlenebene eine Raute. Und das ist dann auch die Begründung für den Hinweis. Hilfreich wäre es, wenn du jeweils bei einer Aufgabe so lange bleiben könntest, bis sie geklärt ist. So wie jetzt ist das eine Art mathematischer Neo-Dadaismus, der niemand weiterhilft, auch nicht dir. Gruß, Diophant \quoteoff Danke, aber wie soll man z7 ohne Taschenrechner lösen?


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Diophant
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  Beitrag No.18, eingetragen 2022-10-04

\quoteon(2022-10-04 10:01 - nikofld3 in Beitrag No. 17) Danke, aber wie soll man z7 ohne Taschenrechner lösen? \quoteoff Mit dem Hinweis. Also mit Hilfe der einen oder anderen geometrischen Überlegung und/oder der einen oder anderen trigonometrischen Identität. Im Ernst: mit dieser "Arbeitsweise" wirst du hier nicht weiterkommen. Du versuchst ja noch nicht einmal ansatzweise, die Antworten zu verstehen, die hier gegeben werden. Gruß, Diophant


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Wario
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  Beitrag No.19, eingetragen 2022-10-05

\quoteon(2022-10-04 10:01 - nikofld3 in Beitrag No. 17) https://matheplanet.de/matheplanet/nuke/html/uploads/b/55422_posfjiopqe.png Danke, aber wie soll man z7 ohne Taschenrechner lösen? \quoteoff Die algebraische Darstellung von $z_7=e^{i\frac\pi8}$ kann man auch auf normalem bzw. üblichem Wege ermitteln, d.h. ohne Taschenrechner (der hier vermutlich eh nicht soviel hilft) und ohne Kenntnis passender trigonometrischer Identitäten (die evtl. nicht zur Verfügung stehen) und ohne Hinweis $ \arg\left( 1+e^{i\frac\pi4} \right) = \arg\left( e^{i\frac\pi8} \right) $ (der evtl. nicht gegeben ist). Unter der Annahme, dass $ e^{i\frac\pi4} =\frac{\sqrt{2}}{2} +i\frac{\sqrt{2}}{2} $ bekannt ist (wobei $ \sin\left( \frac\pi4 \right) =\cos\left( \frac\pi4 \right) =\frac{\sqrt{2}}{2}$ ohne Weiteres aus dem gleichschenklig-rechtwinkligen Dreieck folgt). Sei $e^{i\frac\pi8} =: a+ib$ mit reellen $a,b$; dann ist $\left( e^{i\frac\pi8} \right)^2 =e^{i\frac\pi4} =\dfrac{\sqrt{2}}{2} +i\dfrac{\sqrt{2}}{2} =(a+ib)^2 =a^2 -b^2 +2abi$, womit das Gleichungssystem $\begin{array}{l | l} \textsf{(1)} & a^2 -b^2 =\frac{\sqrt{2}}{2} \\ \textsf{(2)} & 2ab =\frac{\sqrt{2}}{2} \end{array}$ zu lösen ist. $\textsf{(2)}~\Rightarrow~ b =\dfrac{\sqrt{2}}{4a} ~~\textsf{in (1):} \\ a^2 -\left( \dfrac{\sqrt{2}}{4a} \right)^2 =\dfrac{\sqrt{2}}{2} ~\Leftrightarrow~ 8a^4 -4\sqrt{2}a^2-1=0 ~~\textsf{(biquadratische Gleichung)}$ $~\Leftrightarrow~ a =\pm\dfrac{\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2} $ oder $a =\pm i\dfrac{\sqrt{2-\sqrt{2}}}{2}$ (scheidet aus). Ähnlich findet man $\textsf{(2)}~\Rightarrow~ a =\dfrac{\sqrt{2}}{4b} ~~\textsf{in (1):} \\ \left( \dfrac{\sqrt{2}}{4b} \right)^2 -b^2 =\dfrac{\sqrt{2}}{2} ~\Leftrightarrow~ -8b^4 -4\sqrt{2}b^2 +1=0$ $~\Leftrightarrow~ b =\pm\dfrac{\sqrt{2-\sqrt{2}}}{2} $ oder $b =\pm i\dfrac{\sqrt{2 +\sqrt{2}}}{2}$ (scheidet aus). Also gilt, gemäß $\textsf{(2)}$, für $a,b$ entweder jeweils die (reelle) Plusversion oder jeweils die Minusversion; andererseits liegt $e^{i\frac\pi8}$ im 1. Quadraten der komplexen Zahlenebene, also ist: $a+ib = e^{i\frac\pi8} =\dfrac{\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2} +i \dfrac{\sqrt{2-\sqrt{2}}}{2} $


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