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Mathematik » Strukturen und Algebra » Erhält Skalarerweiterung von Moduln Exaktheit?
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Universität/Hochschule J Erhält Skalarerweiterung von Moduln Exaktheit?
lu1998
Junior Letzter Besuch: im letzten Quartal
Dabei seit: 28.08.2022
Mitteilungen: 13
  Themenstart: 2022-09-30

Hallo zusammen 🙂 Ich betrachte die Ringe \(A, B\) mit einem Ringhomomorphismus \(f:A\to B\), \(B\) aufgefasst als \(A\)-Modul sei flach. Für eine gegebene kurze exakte Folge von \(A\)-Moduln \[E:=(0\to M'\to M\to M''\to 0)\] ist damit dann ja auch \(E\otimes_A B\) als Folge von \(A\)-Moduln exakt. Gleichzeitig kann ich ja \(M\otimes_A B\) betrachtet als Skalarerweiterung von \(M\) entlang \(f\) auch als \(B\)-Modul auffasen, ebenso für \(M',M''\). \(E\otimes_A B\) ist als Folge von \(B\)-Moduln dann ebenfalls exakt, oder?


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Kezer
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 04.10.2013
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  Beitrag No.1, eingetragen 2022-09-30

Ich würde vorschlagen die Definition auszuschreiben, wahrscheinlich beantwortet sich deine Frage dann bereits von selbst.


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Mandelbluete
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 03.05.2008
Mitteilungen: 332
  Beitrag No.2, eingetragen 2022-09-30

Huhu! 🙂 Die Frage ist, wenn ich das richtig verstehe, ob bei gegebener kurzer exakter Sequenz $$\require{AMScd} \begin{CD} 0 @>>> M' @>{u}>> M @>{v}>> M'' @>>> 0 \end{CD}$$ in der Kategorie der rechten $A$-Moduln die tensorierte kurze exakte Sequenz $$\require{AMScd} \begin{CD} 0 @>>> M' \otimes_A B @>{u \otimes 1}>> M \otimes_A B @>{v \otimes 1}>> M'' \otimes_A B @>>> 0, \end{CD}$$ hierbei $B$ flach, eine solche in der Kategorie der rechten $B$-Moduln ist. Das ist trivialerweise der Fall und liegt letzlich daran, daß sich die Tensorprodukte assoziativ verhalten. Insbesondere ist $B$ hier ein $(A,B)$-Bimodul. Man sieht leicht, daß die Morphismen dieser Sequenz rechts $B$-linear sind, wenn $B$ durch Heranmultiplizieren von rechts auf dem zweiten Faktor operiert, also zum Beispiel $(m \otimes b_1)b_2 := m \otimes (b_1b_2)$ in $M \otimes_A B$. Beantwortet das die Frage? [Die Antwort wurde vor Beitrag No.1 begonnen.]


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lu1998
Junior Letzter Besuch: im letzten Quartal
Dabei seit: 28.08.2022
Mitteilungen: 13
  Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2022-09-30

\quoteon(2022-09-30 19:08 - Mandelbluete in Beitrag No. 2) Beantwortet das die Frage? \quoteoff Super, ja, vielen Dank! 😄


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