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Universität/Hochschule J Gleichheit von Integralen für jede Borelmenge
Pioch2000
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  Themenstart: 2022-08-16

Es seien $f,g\in \mathcal L^1(\mathbb R), f,g\geq 0$ und es gelte $\int_I f d\lambda=\int_I gd\lambda$ für alle halboffenen Intervalle $I\subset \mathbb R$. Zeigen Sie $\int_A fd\lambda=\int_A gd\lambda$ für jede Borelmenge $A\subset \mathbb R$. Mir ist klar, dass die halboffenen Intervalle die Borel sigma Algebra erzeugen, ich weiß aber nicht, wie ich den Beweis formal aufschreiben kann.


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Qing
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  Beitrag No.1, eingetragen 2022-08-16

Hallo, kennst du das Dynkin-System-Argument? Wenn ich es richtig sehe, sollte es hier direkt anwendbar sein. Eventuell muss man den Erzeuger der Borel-Mengen etwas anpassen, weil die Menge der halboffenen Intervalle nicht durchschnittsstabil ist. Man sollte aber einfach den Erzeuger 'Vereinigungen von halboffenen Intervallen' nehmen können. Für diesen Erzeuger müsstest du dann die Eigenschaft nachrechnen, aber das folgt praktisch sofort aus den Eigenschaften des Integrals.


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nzimme10
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  Beitrag No.2, eingetragen 2022-08-16

\(\begingroup\)\(\renewcommand{\i}{\mathrm{i}} \renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}} \renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}} \newcommand{\e}{\mathrm{e}} \renewcommand{\d}{\mathrm{d}} \renewcommand{\dd}{\ \mathrm d} \newcommand{\ddz}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}} \newcommand{\ddw}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}w}} \newcommand{\ddt}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}} \newcommand{\opn}{\operatorname}\) Hallo, ein weiterer Ansatz könnte der Eindeutigkeitssatz für Maße sein. Da $f,g\geq 0$ wird durch $$ \mu_f\colon \mathcal B\to[0,\infty], \ A\mapsto \int_A f\dd\lambda $$ und $$ \mu_g\colon \mathcal B\to[0,\infty], \ A\mapsto \int_A g\dd\lambda $$ jeweils ein Maß auf der Borel-Algebra definiert. Deine Behauptung ist nun äquivalent dazu, dass $\mu_f=\mu_g$ gilt. (Hierbei steckt das von Qing erwähnte Argument typischerweise im Beweis des Eindeutigkeitssatzes) LG Nico\(\endgroup\)


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Pioch2000
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  Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2022-08-16

Zunächst sind doch die Maße $\mu_f$ und $\mu_g$ endlich, denn es gilt $\mu_f(A)\leq \mu_f(\mathbb R)=\int_{\mathbb R} f d\lambda<\infty$ nach Voraussetzung und das gleiche für $\mu_g$, oder? Wenn ich als Erzeuger $\mathcal E$ die halboffenen Intervalle wähle, dann ist $\mu_f(A)=\mu_g(A)$ für alle $A\in \mathscr B(\mathbb R)$, wenn $\mathcal E$ durchschnittsstabil ist, was aber nicht der Fall ist. Wie kann ich also den "richtigen" Erzeuger wählen?


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nzimme10
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  Beitrag No.4, eingetragen 2022-08-16

\(\begingroup\)\(\renewcommand{\i}{\mathrm{i}} \renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}} \renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}} \newcommand{\e}{\mathrm{e}} \renewcommand{\d}{\mathrm{d}} \renewcommand{\dd}{\ \mathrm d} \newcommand{\ddz}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}} \newcommand{\ddw}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}w}} \newcommand{\ddt}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}} \newcommand{\opn}{\operatorname}\) Ich habe meinen letzten Beitrag irrtümlich gelöscht. Ja, wenn man z.B. nur die Intervalle der Form $[a,b)$ hernimmt, dann ist das ein schnittstabiler Erzeuger der Borel-Algebra. LG Nico\(\endgroup\)


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Pioch2000
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  Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2022-08-16

Ich zitiere mal den Eindeutigkeitssatz aus meinem Skript: "Sei $(X,\mathcal S)$ ein messbarer Raum und $\mathcal E$ ein durchschnittsstabiler Erzeuger von $\mathcal S$ mit $X\in \mathcal S$. Sind $\mu$ und $\nu$ endliche Maße auf $\mathcal S$ mit $\mu(E)=\nu(E)$ für alle $E\in \mathcal S$, dann gilt $\mu(A)=\nu(A)$ für alle $A\in \mathcal S$." Bei dieser Aufgabe ist ja $(X,\mathcal S)=(\mathbb R, \mathscr B(\mathbb R)$ und $\mathcal E$ die halboffenen Intervalle. Ich habe doch jetzt noch das Problem, dass $\mathbb R \not \in \mathcal E$. Wie kann ich das lösen?


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nzimme10
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  Beitrag No.6, eingetragen 2022-08-16

\(\begingroup\)\(\renewcommand{\i}{\mathrm{i}} \renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}} \renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}} \newcommand{\e}{\mathrm{e}} \renewcommand{\d}{\mathrm{d}} \renewcommand{\dd}{\ \mathrm d} \newcommand{\ddz}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}} \newcommand{\ddw}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}w}} \newcommand{\ddt}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}} \newcommand{\opn}{\operatorname}\) Der Satz gilt natürlich allgemeiner für $\sigma$-endliche Maße, aber das spielt hier keine Rolle. Dein Problem verstehe ich nicht. Was meinst du? Wieso muss $\mathbb R\in \mathcal E$ gelten? Du hast bei der Formulierung des Satzes mindestens einmal $\mathcal S$ und $\mathcal E$ vertauscht. Diese Bedingung benötigt man aber bei diesem Satz eigentlich nicht. Man muss $\mathbb R$ lediglich mit abzählbar vielen Elementen des Erzeugers überdecken können. LG Nico\(\endgroup\)


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Pioch2000
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  Beitrag No.7, vom Themenstarter, eingetragen 2022-08-16

Oh sorry, ich nehme es zurück, ich hatte mich verlesen und $X \in \mathcal E$ statt $X\in \mathcal S$ Gelesen. https://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/images/forum/subject/rolleyes.gif Danke für deine Hilfe :) [Die Antwort wurde nach Beitrag No.5 begonnen.]


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nzimme10
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  Beitrag No.8, eingetragen 2022-08-16

\(\begingroup\)\(\renewcommand{\i}{\mathrm{i}} \renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}} \renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}} \newcommand{\e}{\mathrm{e}} \renewcommand{\d}{\mathrm{d}} \renewcommand{\dd}{\ \mathrm d} \newcommand{\ddz}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}} \newcommand{\ddw}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}w}} \newcommand{\ddt}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}} \newcommand{\opn}{\operatorname}\) \quoteon(2022-08-16 23:08 - Pioch2000 in Beitrag No. 7) Oh sorry, ich nehme es zurück, ich hatte mich verlesen und $X \in \mathcal E$ statt $X\in \mathcal S$ Gelesen. \quoteoff An deiner Formulierung stimmt etwas trotzdem noch nicht. Zumal $X\in \mathcal S$ eine redundante Bedingung wäre, da das von einer $\sigma$-Algebra auf $X$ immer gefordert wird. Sieh am besten nochmal genau nach und korrigiere ggf. deine Formulierung. LG Nico\(\endgroup\)


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