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Ingenieurwesen » Signale und Systeme » Impulsantwort h2(t) skizzieren
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Universität/Hochschule Impulsantwort h2(t) skizzieren
Sinnfrei
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Bei der nachfolgenden Aufgabe soll hier $h_2(t)$, anhand des Signalflussgraphen ermittelt werden. Mein Problem dabei ist, dass ich nicht wirklich auf $h_2(t)$ komme oder nicht weiss, ob meine Berechnung stimmt. https://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/b/54796_Screenshot_2022-08-14_220618.png https://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/b/54796_Screenshot_2022-08-15_202514.png Vielen Dank schon mal im voraus.


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rlk
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  Beitrag No.1, eingetragen 2022-08-15

Hallo Sinnfrei, geht es hier um ein zeitdiskretes oder ein zeitkontinuierliches System. Deine Rechnung ist bis auf die letzte Zeile richtig. Die Impulsantwort $h_2(t)$ ist nicht der Quotient aus Ausgangs- und Eingangssignal sondern die die Fourierrücktransformierte der Übertragungsfunktion $H(f)$. Du kannst die Impulsantwort auch bestimmen, indem Du einen Impuls, also $s(t)=\delta(t)$ an den Eingang des Systems anlegst und Dir überlegst, welches Signal $s_1(t)$ am Ausgang des ersten IIR-Filters entsteht. Servus, Roland


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Sinnfrei
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  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2022-08-15

\quoteon(2022-08-15 22:27 - rlk in Beitrag No. 1) Hallo Sinnfrei, geht es hier um ein zeitdiskretes oder ein zeitkontinuierliches System. \quoteoff Ob das System zeitkontinuierlich oder zeitdiskret ist, wird in der Aufgabe nicht erwähnt. Jedoch sieht es so aus, als wäre $t$ aus dem Bereich der natürlichen ganzen Zahlen. \quoteon(2022-08-15 22:27 - rlk in Beitrag No. 1) Deine Rechnung ist bis auf die letzte Zeile richtig. Die Impulsantwort $h_2(t)$ ist nicht der Quotient aus Ausgangs- und Eingangssignal sondern die die Fourierrücktransformierte der Übertragungsfunktion $H(f)$. \quoteoff Das hatte ich mir bereits gedacht. \quoteon(2022-08-15 22:27 - rlk in Beitrag No. 1) Du kannst die Impulsantwort auch bestimmen, indem Du einen Impuls, also $s(t)=\delta(t)$ an den Eingang des Systems anlegst und Dir überlegst, welches Signal $s_1(t)$ am Ausgang des ersten IIR-Filters entsteht. \quoteoff $h_2(t)$ ist ja die Stoßantwort, dass heisst dann, es wird für das Eingangssignal ein Dirac erwartet. Die Information ist bei mir irgendwie untergegangen. Des Weiteren klingt das ja schon so, als müsste ich eine z-Transformation wegen IIR machen. Ich habe jetzt folgendes stehen. https://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/b/54796_Screenshot_2022-08-15_230612.png Sowas invers-Fourier Transformiert haben wir so noch nicht gemacht. Bis zu dem vorletzten Schritt sollte es denke ich mal richtig sein. Kann man das IIR-System, denn invers-Fourier Transformieren? Ich hätte sonst an die inverse z-Transformation gedacht.


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rlk
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  Beitrag No.3, eingetragen 2022-08-16

Hallo Sinnfrei, wenn ihr keine Fourier-Rücktransformationen gerechnet habt, erwartet der Fragesteller vermutlich einen anderen Weg. Welchen Wert hat der Ausgang des Verzögerungselements bei $t=0$ (oder für $t<2$)? Was folgt daraus für das Signal $s_1(t)$, wenn $s(t)=\delta(t)$ gewählt wird, um die Impulsantwort zu bestimmen? Was passiert bei $t=2$? Ich hoffe, das bringt Dich auf Ideen, Roland


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Sinnfrei
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  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2022-08-16

\quoteon(2022-08-16 22:23 - rlk in Beitrag No. 3) Welchen Wert hat der Ausgang des Verzögerungselements bei $t=0$ (oder für $t<2$)? Was folgt daraus für das Signal $s_1(t)$, wenn $s(t)=\delta(t)$ gewählt wird, um die Impulsantwort zu bestimmen? Was passiert bei $t=2$? \quoteoff Ich habe jetzt mal folgendes ausprobiert, wobei ich hierbei auf $g(t)$ und nicht auf $h_2(t)$ komme. Ich denke, das beantwortet auch deine Frage was bei $t<2$, $t=0$ und bei $t=2$ passiert. $s_1(t)$ wäre dann der Teil bis vor der Sprungantwort. Also $s_1(t) = \delta(t) - \delta(t-2)$ https://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/b/54796_Screenshot_2022-08-16_224235.png https://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/b/54796_Screenshot_2022-08-16_224251.png


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rlk
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  Beitrag No.5, eingetragen 2022-08-19

Hallo Sinnfrei, das ist ein guter Anfang, aber der Impuls $-\delta(t-2)$ am Ausgang des ersten Teilsystems wird in der Rückkopplungsschleife mt $-1$ multipliziert, um $2$ Zeiteinheiten verzögert und liefert den Anteil $\delta(t-4)$ zur Impulsantwort $s_1(t)$. Das Spiel wiederholt sich in alle Ewigkeit, deshalb bezeichnet man solche rückgekoppelten Systeme als infinite impulse response Systeme oder -Filter, weil ihre Impulsantwort unendlich lange andauert. Deine rot eingezeichnete Schleife wird also nicht einmal, sondern unendlich oft durchlaufen. Wie sehen daher $s_1(t)$ und $g(t)$ aus? Nachtrag: noch ein paar Anmerkungen zu Deinen Formulierungen. \quoteon(2022-08-16 22:46 - Sinnfrei in Beitrag No. 4) Ich habe jetzt mal folgendes ausprobiert, wobei ich hierbei auf $g(t)$ und nicht auf $h_2(t)$ komme. \quoteoff Was ist der Unterschied zwischen diesen beiden Signalen, wenn das Eingangssignal $s(t)=\delta(t)$ angelegt wird? \quoteon $s_1(t)$ wäre dann der Teil bis vor der Sprungantwort. \quoteoff Was willst Du damit sagen? Servus, Roland


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  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2022-08-19

\quoteon(2022-08-19 14:27 - rlk in Beitrag No. 5) Wie sehen daher $s_1(t)$ und $g(t)$ aus? \quoteoff $s_1(t)$ wäre so gesehen auch $h_2(t)$, da es die Impulsantwort darstellt. Also das Ausgangssignal auf einen Dirac-Impuls am Eingang. eine Folge von positiven und negativen Dirac-Impulsen, angefangen bei 0 und mit zeitlichen Abständen von $t = 2, t = 4, t = 6, t = 8$ usw. $$s_1(t) = h_2(t) = \delta(t) + (-\delta(t-2)) + \delta(t-4) + (-\delta(t-6)) + \delta(t-8)$$ \quoteon(2022-08-19 14:27 - rlk in Beitrag No. 5) Nachtrag: noch ein paar Anmerkungen zu Deinen Formulierungen. \quoteon(2022-08-16 22:46 - Sinnfrei in Beitrag No. 4) Ich habe jetzt mal folgendes ausprobiert, wobei ich hierbei auf $g(t)$ und nicht auf $h_2(t)$ komme. \quoteoff Was ist der Unterschied zwischen diesen beiden Signalen, wenn das Eingangssignal $s(t)=\delta(t)$ angelegt wird? \quoteoff $h_2(t)$ würde eine Funktion sein, wie ich oben bereits geschrieben habe, die nur Dirac-Stöße enthält und $g(t)$ demnach nur noch Sprungfunktionen, da die Dirac-Stöße mit der Sprungfunktion im Zeitbereich gefaltet werden. \quoteon(2022-08-19 14:27 - rlk in Beitrag No. 5) \quoteon(2022-08-16 22:46 - Sinnfrei in Beitrag No. 4) $s_1(t)$ wäre dann der Teil bis vor der Sprungantwort. \quoteoff Was willst Du damit sagen? \quoteoff Damit wollte ich sagen, dass $s_1(t) = h_2(t)$ das System im Zeitbereich darstellt (Impulsantwort), welches bis vor der Sprungantwort (System mit der Sprungfunktion) steht und ich somit wie in der Mitte des folgenden Bildes, die Konstellation aus der Aufgabe, auch als zwei in Reihe geschaltete Systeme darstellen kann. So sieht man auch, dass die Impulsantwort des ersten Systems, welches das Ausgangssignal des ersten Systems darstellt, als Eingangssignal an das System mit der Sprungfunktion gelegt wird. Da war ich wohl zu ungenau in der Formulierung sorry an der Stelle. https://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/b/54796_Screenshot_2022-08-19_172310.png Unterhalb des linken Bildes, habe ich das Ergebnis der Faltung mit der Sprungfunktion angedeutet.


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  Beitrag No.7, eingetragen 2022-08-19

Hallo Sinnfrei, die Impulsantwort $s_1(t)$ des ersten Teilsystems hast Du richtig bestimmt, ich bezweifle, dass der Fragesteller mit $h_2(t)$ diese gemeint hat. Auch $g(t)$, die Impulsantwort des Gesamtsystems ist richtig, die Frage nach "der Stoßantwort $h_2(t)$" verstehe ich so, dass $h_2(t)=g(t)$ die gesuchte Antwort ist. Für die Impulsantwort des ersten Teilsystems wäre $h_1(t)$ eine naheliegende Bezeichnung. Gut, dass es nur eine ungenaue Formulierung und nicht etwa ein Verständnisproblem war. Versuche, zwischen Systemen und Signalen zu unterscheiden, erstere kannst Du für "Ortsbezeichnungen" wir "vor" verwenden. Servus, Roland


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  Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2022-08-19

\quoteon(2022-08-19 18:33 - rlk in Beitrag No. 7) Hallo Sinnfrei, die Impulsantwort $s_1(t)$ des ersten Teilsystems hast Du richtig bestimmt, ich bezweifle, dass der Fragesteller mit $h_2(t)$ diese gemeint hat. Auch $g(t)$, die Impulsantwort des Gesamtsystems ist richtig, die Frage nach "der Stoßantwort $h_2(t)$" verstehe ich so, dass $h_2(t)=g(t)$ die gesuchte Antwort ist. Für die Impulsantwort des ersten Teilsystems wäre $h_1(t)$ eine naheliegende Bezeichnung. Gut, dass es nur eine ungenaue Formulierung und nicht etwa ein Verständnisproblem war. Versuche, zwischen Systemen und Signalen zu unterscheiden, erstere kannst Du für "Ortsbezeichnungen" wir "vor" verwenden. \quoteoff Dann ist doch ein Verständnisproblem vorhanden. Wie würde es als LTI-System (Block) im Signalflussgraph aussehen, wenn ich die Impulsantwort des zweiten Systems darstellen müsste? Würde hier aus dem $\varepsilon(t)$ dann ein $g(t)$ bzw. $h_2(t)$ dann stehen oder wie kann ich mir $h_2(t)$ als LTI-System (Block)vorstellen? Hier wäre vielleicht ein Grafik ganz hilfreich, da ich die Sprungfunktion in dem zweiten Block auch als die Impulsantwort $h_2(t)$ ansehe. Nachtrag: Oder ist das so wie im folgenden Bild zu verstehen, dass wenn ich die Impulsantwort $h_2(t)$ bestimmt habe, kann ich das ganze Diagramm zu einem System vereinfachen. https://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/b/54796_Screenshot_2022-08-19_201422.png


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  Beitrag No.9, eingetragen 2022-08-19

Hallo Sinnfrei, ja, so wie in Deinem Diagramm ist es, $h_2(t)=h_1(t)\star \varepsilon(t)$ ist die Impulsantwort des Gesamtsystems. Die üblichere und wohl verständlichere Notation verwendet $h_1$ für die Impulsantwort des ersten, $h_2$ für die des zweiten Systems und $h=h_1\star h_2$ für die des Gesamtsystems. Servus, Roland


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\quoteon(2022-08-19 20:35 - rlk in Beitrag No. 9) Hallo Sinnfrei, ja, so wie in Deinem Diagramm ist es, $h_2(t)=h_1(t)\star \varepsilon(t)$ ist die Impulsantwort des Gesamtsystems. Die üblichere und wohl verständlichere Notation verwendet $h_1$ für die Impulsantwort des ersten, $h_2$ für die des zweiten Systems und $h=h_1\star h_2$ für die des Gesamtsystems. Servus, Roland \quoteoff Du meinst dann wie folgt https://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/b/54796_Screenshot_2022-08-19_212304.png So was ähnliches hatten wir bei der z-Transformation ja auch schon. Demnach führt die Faltung oder im Frequenzbereich die Multiplikation, zur Gesamtübertragungs- oder Gesamtimpulsantwortfunktion. Das war dann die Ketten- bzw. Serienschaltung oder? Was würde man erhalten, wenn beide Systeme $h_1$ und $h_2$ Parallel geschaltet wären?


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  Beitrag No.11, eingetragen 2022-08-19

Hallo Sinnfrei, genau. Bei einer "Parallelschaltung", in der das Eingangssignal an beide Teilsysteme angelegt wird und das Ausgangssignal als Summe der Teilsysteme gebildet wird, gilt $$h(t) = h_1(t) + h_2(t).$$ Wegen der Linearität der Fouriertransformation ist auch die Übertragungsfunktion die Summe der Teilübertragungsfunktionen $$H(f) = H_1(f) + H_2(f).$$ Servus, Roland


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Also führt das dann auch zur Gesamtimpuls- oder Gesamtübertragungsfunktion. Gut zu wissen. Danke dir Roland, ich weiss dieses Thema mit der Impulsantwort und Sprungantwort hatten wir bereits auch schon sehr tiefgründig sogar und ich muss noch ehrlich gestehen, ich brauche da noch etwas Zeit, bis ich für die diversen Situationen ein Gefühl entwickle. Die Übertragungsfunktion $H_2(f)$ wäre dann https://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/b/54796_Screenshot_2022-08-19_231615.png


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Hallo Sinnfrei, die Rechnung ist richtig. Du schreibst zuerst $H_2(f)$ für die Übertragungsfunktion des Gesamtsystems, wechselst aber dann zu $H(f)$. Im Themenstart hattest Du $H(f)$ für die Übertragungsfunktion des zweiten Teilsystems verwendet. Mit einer konsistenten Bezeichnung wird vieles leichter. Servus, Roland


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