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Universität/Hochschule Der Rand einer disjunkten Vereinigung
Julian5266
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  Themenstart: 2022-08-06

Hallo zusammen. Ich muss mich in letzter Zeit öfter mit Topologie auseinandersetzen und stoße immer wieder auf ein paar Schwierigkeiten. Hier sind zwei Aussagen die ich weder beweisen konnte, noch ein Gegenbeispiel gefunden habe: Sei $X$ ein Metrischer Raum und $A,B \subset X$ mit $A \cap B = \emptyset $ ,dann gilt: $$\partial A \cap \partial B = \partial( {A}\cap B) $$ Seien $W_1 , W_2 , ... W_n \subset \mathbb{C}$ paarweise disjunkte Gebiete, dann gilt: $$\partial \bigcup_{i=1}^n W_i = \bigcup_{i=1}^n \partial W_i$$ Vielleicht kann mir ja jemand weiterhelfen :)


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zippy
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  Beitrag No.1, eingetragen 2022-08-06

\quoteon(2022-08-06 15:33 - Julian5266 im Themenstart) Sei $X$ ein Metrischer Raum und $A,B \subset X$ mit $A \cap B = \emptyset $ ,dann gilt: $$\partial A \cap \partial B = \partial( {A}\cap B) $$ \quoteoff Wenn das wirklich die Frage ist, geht es um $\partial A\cap\partial B=\emptyset$ für $A\cap B=\emptyset$. Betrachte hierzur in $\mathbb R$ die Intervalle $A=(-1,0)$ und $B=(0,1)$. --zippy


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wladimir_1989
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  Beitrag No.2, eingetragen 2022-08-06

Hallo Julian5266, die beiden offenen Intervalle \((0,1)\) und \((1,2)\) sind ein Gegenbeispiel für die erste Aussage. lg Wladimir [Die Antwort wurde vor Beitrag No.1 begonnen.]


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PhysikRabe
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  Beitrag No.3, eingetragen 2022-08-06

\quoteon(2022-08-06 15:33 - Julian5266 im Themenstart) Seien $W_1 , W_2 , ... W_n \subset \mathbb{C}$ paarweise disjunkte Gebiete, dann gilt: $$\partial \bigcup_{i=1}^n W_i = \bigcup_{i=1}^n \partial W_i$$ \quoteoff Man kann sich folgende allgemeine Aussage überlegen: Sind $A,B\subset X$ mit $\overline{A}\cap B = \emptyset = A\cap\overline{B}$, dann gilt $\partial(A\cup B) = \partial A \cup \partial B$. Dazu muss man im Wesentlichen nur die Definitionen benutzen. (Die Inklusion $\subseteq$ gilt übrigens für allgemeine $A,B$.) Grüße, PhysikRabe [Die Antwort wurde nach Beitrag No.1 begonnen.]


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Julian5266
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  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2022-08-06

\quoteon(2022-08-06 15:48 - zippy in Beitrag No. 1) \quoteon(2022-08-06 15:33 - Julian5266 im Themenstart) Sei $X$ ein Metrischer Raum und $A,B \subset X$ mit $A \cap B = \emptyset $ ,dann gilt: $$\partial A \cap \partial B = \partial( {A}\cap B) $$ \quoteoff Wenn das wirklich die Frage ist, geht es um $\partial A\cap\partial B=\emptyset$ für $A\cap B=\emptyset$. Betrachte hierzur in $\mathbb R$ die Intervalle $A=(-1,0)$ und $B=(0,1)$. --zippy \quoteoff Ich sehe gerade, dass ich mich bei der ersten Aussage vertippt habe. Ich meinte: Sei $X$ ein Metrischer Raum und $A,B \subset X$ mit $A \cap B = \emptyset $ ,dann gilt: $$\partial A \cup \partial B = \partial( {A}\cup B) $$ vielen Dank schon mal für die schnelle Antwort :)


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PhysikRabe
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  Beitrag No.5, eingetragen 2022-08-06

\quoteon(2022-08-06 16:05 - Julian5266 in Beitrag No. 4) Sei $X$ ein Metrischer Raum und $A,B \subset X$ mit $A \cap B = \emptyset $ ,dann gilt: $$\partial A \cup \partial B = \partial( {A}\cup B) $$ vielen Dank schon mal für die schnelle Antwort :) \quoteoff Siehe mein voriger Beitrag. Die Voraussetzung $A\cap B=\emptyset$ ist zu wenig (betrachte z.B. $A=(0,1)$ und $B=[1,2)$ in $\mathbb{R}$). Man benötigt $\overline{A}\cap B = \emptyset = A\cap\overline{B}$. Grüße, PhysikRabe [Verschoben aus Forum 'Topologie' in Forum 'Mengentheoretische Topologie' von PhysikRabe]


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zippy
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  Beitrag No.6, eingetragen 2022-08-06

\quoteon(2022-08-06 16:05 - Julian5266 in Beitrag No. 4) Ich sehe gerade, dass ich mich bei der ersten Aussage vertippt habe. Ich meinte: Sei $X$ ein Metrischer Raum und $A,B \subset X$ mit $A \cap B = \emptyset $ ,dann gilt: $$\partial A \cup \partial B = \partial( {A}\cup B) $$ \quoteoff Dann betrachte die Intervalle $(-1,0)$ und $[0,1)$. [Die Antwort wurde nach Beitrag No.4 begonnen.]


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Julian5266
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  Beitrag No.7, vom Themenstarter, eingetragen 2022-08-06

\quoteon(2022-08-06 15:58 - PhysikRabe in Beitrag No. 3) \quoteon(2022-08-06 15:33 - Julian5266 im Themenstart) Seien $W_1 , W_2 , ... W_n \subset \mathbb{C}$ paarweise disjunkte Gebiete, dann gilt: $$\partial \bigcup_{i=1}^n W_i = \bigcup_{i=1}^n \partial W_i$$ \quoteoff Man kann sich folgende allgemeine Aussage überlegen: Sind $A,B\subset X$ mit $\overline{A}\cap B = \emptyset = A\cap\overline{B}$, dann gilt $\partial(A\cup B) = \partial A \cup \partial B$. Dazu muss man im Wesentlichen nur die Definitionen benutzen. (Die Inklusion $\subseteq$ gilt übrigens für allgemeine $A,B$.) Grüße, PhysikRabe \quoteoff Nur, damit ich das jetzt wirklich richtig verstanden habe. Es gilt: Sind $A,B\subset X$ mit $\overline{A}\cap B = \emptyset = A\cap\overline{B}$, dann gilt $\partial(A\cup B) = \partial A \cup \partial B$ Meine Aussage Seien $W_1 , W_2 , ... W_n \subset \mathbb{C}$ paarweise disjunkte Gebiete, dann gilt: $\partial \bigcup_{i=1}^n W_i = \bigcup_{i=1}^n \partial W_i$ erfüllt die Voraussetzung der allgemeineren Aussage und ist damit wahr. Des weitern kann man sogar zeigen: Sind $A,B \subset X$ beliebige Mengen, dann gilt: $\partial(A \cup B) \subset \partial A \cup \partial B $ Ist das korrekt ? [Die Antwort wurde nach Beitrag No.1 begonnen.] \quoteoff


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PhysikRabe
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  Beitrag No.8, eingetragen 2022-08-06

\quoteon(2022-08-06 16:38 - Julian5266 in Beitrag No. 7) Nur, damit ich das jetzt wirklich richtig verstanden habe. Es gilt: Sind $A,B\subset X$ mit $\overline{A}\cap B = \emptyset = A\cap\overline{B}$, dann gilt $\partial(A\cup B) = \partial A \cup \partial B$ \quoteoff Korrekt. \quoteon(2022-08-06 16:38 - Julian5266 in Beitrag No. 7) Meine Aussage Seien $W_1 , W_2 , ... W_n \subset \mathbb{C}$ paarweise disjunkte Gebiete, dann gilt: $\partial \bigcup_{i=1}^n W_i = \bigcup_{i=1}^n \partial W_i$ erfüllt die Voraussetzung der allgemeineren Aussage und ist damit wahr. \quoteoff Nicht notwendigerweise. Für $n=2$ sagt deine Voraussetzung nur, dass $W_1 \cap W_2 = \emptyset$. Das genügt aber im Allgemeinen nicht; siehe das Gegenbeispiel von vorhin. \quoteon(2022-08-06 16:38 - Julian5266 in Beitrag No. 7) Des weitern kann man sogar zeigen: Sind $A,B \subset X$ beliebige Mengen, dann gilt: $\partial(A \cup B) \subset \partial A \cup \partial B $ Ist das korrekt ? \quoteoff Das ist wiederum korrekt. Grüße, PhysikRabe


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Julian5266
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  Beitrag No.9, vom Themenstarter, eingetragen 2022-08-06

\quoteon(2022-08-06 16:42 - PhysikRabe in Beitrag No. 8) \quoteon(2022-08-06 16:38 - Julian5266 in Beitrag No. 7) \quoteon Seien $W_1 , W_2 , ... W_n \subset \mathbb{C}$ paarweise disjunkte Gebiete, dann gilt: $\partial \bigcup_{i=1}^n W_i = \bigcup_{i=1}^n \partial W_i$ erfüllt die Voraussetzung der allgemeineren Aussage und ist damit wahr. Nicht notwendigerweise. Für $n=2$ sagt deine Voraussetzung nur, dass $W_1 \cap W_2 = \emptyset$. Das genügt aber im Allgemeinen nicht; siehe das Gegenbeispiel von vorhin. \quoteoff Gehen wir mal vom Fall $n=2$ aus. Da $W_1$ und $W_2$ Gebiete, also offene und zusammenhängende Mengen sind, enthalten sie keinen ihrer Randpunkte. Also mathematisch exakt ausgedrückt: $$W_1 \cap \partial W_1 = \emptyset, \ \ \ W_2 \cap \partial W_2 = \emptyset$$ Der Schnitt und W_1 und W_2 ist leer aber theoretisch könnten sich die Ränder der beiden Mengen schneiden. Da aber W_1 und W_2 beide ihre Ränder nicht enthalten muss damit doch automatisch sogar: $$ \overline {W_1} \cap W_2 = \emptyset, \ \ \ \overline {W_2} \cap W_1 = \emptyset$$ gelten oder hab ich hier einen Denkfehler ? Diese Idee lässt sich dann doch auch einfach auf endlich viele disjunkte Gebiete aus $\mathbb{C}$ erwitern und damit muss doch meine Aussage richtig sein.


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PhysikRabe
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  Beitrag No.10, eingetragen 2022-08-06

Ich habe übersehen, dass von Gebieten (und damit offenen Teilmengen) die Rede war, sorry. Deine Argumentation ist aber m.E. noch nicht ganz stichhaltig (oder ich verstehe dich falsch). Mit deinen Voraussetzungen haben wir jedenfalls $\overline{W_1} \cap W_2 = (W_1 \cup \partial W_1)\cap W_2 = (W_1 \cap W_2) \cup (\partial W_1 \cap W_2)=\partial W_1 \cap W_2$, und man muss nun begründen, dass das leer ist. Grüße, PhysikRabe


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  Beitrag No.11, vom Themenstarter, eingetragen 2022-08-06

\quoteon(2022-08-06 17:18 - PhysikRabe in Beitrag No. 10) Ich habe übersehen, dass von Gebieten (und damit offenen Teilmengen) die Rede war, sorry. Deine Argumentation ist aber m.E. noch nicht ganz stichhaltig (oder ich verstehe dich falsch). Mit deinen Voraussetzungen haben wir jedenfalls $\overline{W_1} \cap W_2 = (W_1 \cup \partial W_1)\cap W_2 = (W_1 \cap W_2) \cup (\partial W_1 \cap W_2)=\partial W_1 \cap W_2$, und man muss nun begründen, dass das leer ist. Grüße, PhysikRabe \quoteoff Kein Problem :) Ja meine Argumentation am Ende war noch nicht mathematisch ordentlich. Wäre $\partial W_1 \cap W_2 \neq \emptyset$ dann gäbe es einen Punkt aus $p \in \partial W_1$ der auch in $W_2$ liegt. Da $W_2$ offen ist, wäre $p$ also ein innerer Punkt von $W_2$, damit liegt bereits eine ganze Umgebung $U_\varepsilon (p)$ in $W_2$. Da p aber ein Randpunkt von $W_1$ folgt nach der Definition von Randpunkten $U_\varepsilon (p) \cap W_1 \neq \emptyset$. Da $U_\varepsilon (p) \subset W_2$ gilt damit $W_2 \cap W_1 \neq \emptyset$ und dies ist ein Widerspruch zur Disjuktheit, woraus die Aussage folgt. Diese Argumentation müsste damit meine Aussage beweisen oder ?


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  Beitrag No.12, eingetragen 2022-08-06

\quoteon(2022-08-06 17:36 - Julian5266 in Beitrag No. 11) Wäre $\partial W_1 \cap W_2 \neq \emptyset$ dann gäbe es einen Punkt aus $p \in \partial W_1$ der auch in $W_2$ liegt. Da $W_2$ offen ist, wäre $p$ also ein innerer Punkt von $W_2$, damit liegt bereits eine ganze Umgebung $U_\varepsilon (p)$ in $W_2$. Da p aber ein Randpunkt von $W_1$ folgt nach der Definition von Randpunkten $U_\varepsilon (p) \cap W_1 \neq \emptyset$. Da $U_\varepsilon (p) \subset W_2$ gilt damit $W_2 \cap W_1 \neq \emptyset$ und dies ist ein Widerspruch zur Disjuktheit, woraus die Aussage folgt. Diese Argumentation müsste damit meine Aussage beweisen oder ? \quoteoff Ja, das sieht gut für mich aus. 👍 Grüße, PhysikRabe


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\quoteon(2022-08-06 18:02 - PhysikRabe in Beitrag No. 12) \quoteon(2022-08-06 17:36 - Julian5266 in Beitrag No. 11) Wäre $\partial W_1 \cap W_2 \neq \emptyset$ dann gäbe es einen Punkt aus $p \in \partial W_1$ der auch in $W_2$ liegt. Da $W_2$ offen ist, wäre $p$ also ein innerer Punkt von $W_2$, damit liegt bereits eine ganze Umgebung $U_\varepsilon (p)$ in $W_2$. Da p aber ein Randpunkt von $W_1$ folgt nach der Definition von Randpunkten $U_\varepsilon (p) \cap W_1 \neq \emptyset$. Da $U_\varepsilon (p) \subset W_2$ gilt damit $W_2 \cap W_1 \neq \emptyset$ und dies ist ein Widerspruch zur Disjuktheit, woraus die Aussage folgt. Diese Argumentation müsste damit meine Aussage beweisen oder ? \quoteoff Ja, das sieht gut für mich aus. 👍 Grüße, PhysikRabe \quoteoff vielen dank für die Hilfe :)


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  Beitrag No.14, vom Themenstarter, eingetragen 2022-08-14

\quoteon Man kann sich folgende allgemeine Aussage überlegen: Sind $A,B\subset X$ mit $\overline{A}\cap B = \emptyset = A\cap\overline{B}$, dann gilt $\partial(A\cup B) = \partial A \cup \partial B$. Dazu muss man im Wesentlichen nur die Definitionen benutzen. (Die Inklusion $\subseteq$ gilt übrigens für allgemeine $A,B$.) [Die Antwort wurde nach Beitrag No.1 begonnen.] \quoteoff Hallo, ich bin es nochmal. Ich habe nun eine gut Weile lang versucht diese allgemeinere Aussage zu beweisen, habe es aber leider immer noch nicht geschafft. Bereits zeigen konnte ich $$\partial (A \cup B) \subset \partial A \cup \partial B$$ Bei der umgekehrten Inklusion stehe ich leider auf dem Schlauch. Ich habe versucht es einfach mit der Definition eines Randpunktes zu beweisen. Ich habe folgende Definition verwendet: $x \in X$ heißt Randpunkt von $A \subset X$, wenn gilt: $$U_r(x) \cap A \neq \{ \} \ \ \ \mathrm{und} \ \ \ U_r(x) \cap X\setminus A \neq \{ \} \ , \forall r > 0$$ Vielleicht kann mir jemand hier auch noch weiterhelfen :) Topologie ist leider absolut nicht mein Fall .. Liebe Grüße, Julian


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Folgende Antworten hat der Fragesteller vermutlich noch nicht gesehen.
Er/sie war noch nicht wieder auf dem Matheplaneten
PhysikRabe
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\quoteon(2022-08-14 09:14 - Julian5266 in Beitrag No. 14) Bei der umgekehrten Inklusion stehe ich leider auf dem Schlauch. \quoteoff Es gibt unterschiedliche Möglichkeiten, das zu beweisen. Du könntest zum Beispiel $x\notin\partial(A\cup B) \Rightarrow x\notin\partial A \cup \partial B$ zeigen. Dafür bietet es sich an, die zwei Fälle $x\notin\overline{A\cup B}$ und $x\notin\overline{(A\cup B)^{\mathrm{c}}}$ zu unterscheiden. Kommst du damit voran? \quoteon(2022-08-14 09:14 - Julian5266 in Beitrag No. 14) Topologie ist leider absolut nicht mein Fall .. \quoteoff Bei deinem Beweis in Beitrag No. 11 hast du dich gut geschlagen, und das hier ist nicht wirklich schwieriger. Also nur keine Scheu vor der Topologie. 😉 Grüße, PhysikRabe


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