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Universität/Hochschule Diffeomorphismus + Loxodrome
ATuring
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  Themenstart: 2022-07-03

Einen schönen Sonntag an die Community hier. In Vorbereitung auf meine baldige Diffgeo-Prüfung gehe ich gerade einige Beispiele durch und bin nun auf zwei Stolpersteine gestoßen, die mir derzeitig ein wenig Kopfzerbrechen bereiten (und die ich zwecks Übersichtlichkeit im Forum lieber in einem Beitrag gemeinsam bearbeiten würde). Würde mich über ein wenig Hilfe bzw. lediglich schon einen konstruktiven Impuls in die richtige Richtung sehr freuen. :-) Das wären die folgenden beiden Aufgaben: 1) a) Sind die regulären Flächen \(x^2+y^2+z^2=1\) und \(x^2+y^2-z^2=1\) diffeomorph? b) Sind die regulären Flächen \(x^2+y^2-z^2=1\) und \(x^2+y^2-z^2=-1\) diffeomorph? Klarerweise gilt, dass ich, wenn ich den Lösungsweg für eine Aufgabe verstanden habe, ich auch die andere Aufgabe lösen sollte (es reicht also nur, auf a) oder b) einzugehen). Die Definition eines Diffeomorphismus ist mir dabei schon geläufig (eine glatte, bijektive Abbildung mit glatter Inverse) und die Überprüfung dessen, ob eine Abbildung zwischen zwei regulären Flächen ein Diffeomorphismus ist, ist mir auch schon gelungen. Aber ich tue mich leider ein wenig schwer damit zu zeigen, dass zwei reguläre Flächen selbst zueinander diffeomorph sind. Ich nehme einmal an, dass mit "diffeomorph" gemeint ist, dass man einen Diffeomorphismus zwischen diesen beiden Flächen bilden kann? Wenn ja, dann war mein bisheriger Ansatz lediglich einmal ein wenig "rumprobieren", aber einen wirklich handfesten Ansatz habe ich leider noch nicht erarbeiten können. :-( 2) Zeige, dass auf den Teil der Sphäre, welcher durch \(\sigma(\varphi,\theta) = (cos(\varphi)sin(\theta), sin(\varphi)sin(\theta), cos(\theta))\) mit \((\varphi, \theta) \in (0,2\pi) \times (0, \pi)\) parametrisiert wird, die Kurven \(log(tan(\frac{\theta}{2})) = \pm\frac{\varphi-\varphi_{0}}{tan\beta}\) die Meridiane [\(\theta\) = konstant] immer unter dem Winkel \(\beta\) schneiden, wobei \(\beta \in (-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})\) ist. Die graphische Betrachtung dieser Kurve (eine Loxodrome) lässt diese Behauptung für mich sehr einleuchtend erscheinen. Lediglich der formale Nachweis will sich mir nicht wirklich erschließen. Als Denkansatz hätte ich die Umformung \(tan\beta = \pm\frac{\varphi-\varphi_{0}}{log(tan(\frac{\theta}{2}))}\), die aufgrund der Einschränkung mit \(\theta \in (0,\pi)\) ja möglich ist. Wenn ich jetzt den \(arctan\) auf beiden Seiten nehme, so erhalte ich \(\beta = \arctan(\pm\frac{\varphi-\varphi_{0}}{log(tan(\frac{\theta}{2}))})\) Da die Bildmenge des \(arctan\) mit der Wertemenge von \(\beta\) übereinstimmt, hatte ich gehofft, dass ich mit diesem Ansatz auf dem richtigen Weg bin. Es gilt nun, dass \(\beta\) auf der linken Seite konstant ist, falls der Ausdruck auf der rechten Seite konstant ist. Unser \(\theta\) ist ja fixiert, sprich wir müssten zeigen, dass der rechte Ausdruck trotz sich veränderndem \(\varphi\) konstant bleibt. Hier bräuchte ich dann ein wenig Hilfe (wenngleich ich mich alternativen Lösungsansätzen keineswegs verschließe). Liebe Grüße


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Vercassivelaunos
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  Beitrag No.1, eingetragen 2022-07-03

\(\begingroup\)\(\newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \newcommand{\F}{\mathbb{F}} \newcommand{\K}{\mathbb{K}} \newcommand{\E}{\mathbb{E}} \newcommand{\H}{\mathbb{H}} \newcommand{\D}{\mathrm{D}} \newcommand{\d}{\mathrm{d}} \newcommand{\i}{\mathrm{i}} \newcommand{\e}{\mathrm{e}} \newcommand{\diag}{\operatorname{diag}} \newcommand{\span}{\operatorname{span}} \newcommand{\im}{\operatorname{im}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\grad}{\operatorname{grad}} \newcommand{\zyk}[1]{\Z/#1\Z} \newcommand{\matrix}[1]{\left(\begin{matrix}#1\end{matrix}\right)} \newcommand{\vector}[1]{\left(\begin{array}{c}#1\end{array}\right)} \newcommand{\align}[1]{\begin{align*}#1\end{align*}} \newcommand{\ket}[1]{\left\vert#1\right>} \newcommand{\bra}[1]{\left<#1\right\vert} \newcommand{\braket}[2]{\left<#1\middle\vert#2\right>} \newcommand{\braketop}[3]{\left<#1\middle\vert#2\middle\vert#3\right>} \newcommand{\mean}[1]{\left<#1\right>} \newcommand{\lvert}{\left\vert} \newcommand{\rvert}{\right\vert} \newcommand{\lVert}{\left\Vert} \newcommand{\rVert}{\right\Vert} \newcommand{\Abb}{\operatorname{Abb}}\) Hallo ATuring, hier erstmal nur zu Aufgabe 1: Die Vorgehensweisen können durchaus unterschiedlich sein: Zu zeigen, dass zwei Flächen nicht diffeomorph ist, geht anders als zu zeigen, dass sie diffeomorph sind. Für ersteres reicht es schon zu zeigen, dass gewisse invariante Eigenschaften nicht gleich sind. Beispielsweise sind Diffeomorphismen insbesondere auch Homöomorphismen, und Homöomorphismen erhalten die Kompaktheit. Die Fläche $x^2+y^2+z^2=1$ ist eine Sphäre mit Radius 1, also kompakt. Hingegen ist die Fläche $x^2+y^2-z^2=1$ nicht einmal beschränkt (das kannst du selbst zeigen), also sicherlich nicht kompakt. Die beiden Flächen können also nicht homöomorph sein, und damit erst recht nicht diffeomorph. Um eine Idee für b) zu bekommen, schau dir doch mal mit einem Grafikrechner wie Geogebra an, wie die Flächen aussehen. Falls sie ähnlich aussehen, kannst du hier vielleicht schon geometrisch betrachtet einen Diffeomorphismus finden. Falls sie sich nicht ähnlich sehen, kannst du vielleicht auch hier eine (topologische) Invariante finden, die nicht erhalten wäre. Viele Grüße Vercassivelaunos\(\endgroup\)


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ATuring
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  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2022-07-03

Hallo Vercassivelaunos, zunächst einmal einen herzlichen Dank für deine Antwort. Nach Betrachtung der beiden Flächen in Geogebra denke ich einmal, dass dies hier ein erster Ansatz für einen eventuellen Diffeomorphismus sein könnte. \(f: A \to B\), wobei \(A = \{(x,y,z) \in \mathbb{R}^3: x^2+y^2-z^2=-1\}\) und \(B = \{(x,y,z) \in \mathbb{R}^3: x^2+y^2-z^2= 1\}\) mit \(f(x,y,z) = (x, y, \sqrt{z^2+2})\), da ich ja so quasi die erste Fläche von der Höhe her derartig verschiebe, sodass wir schließlich die zweite Fläche erhalten. Es würde ja dann auch gelten \(x^2+y^2-\sqrt{z^2+2}^2 = -1 \iff x^2+y^2-z^2-2 = -1 \iff x^2+y^2-z^2 = 1\) wobei der Betrag hier insofern nicht notwendig ist, alsdass \(z^2+2 \geq 0\) für alle \(z \in \mathbb{R}\) gilt. Allerdings sehe ich ja hier schon, dass ich mit der Bijektivität ein kleines Problem haben dürfte, denn offensichtlich ist \((x,y,z) \neq (x,y,-z)\) für \(z \neq 0\), aber es ist ja \(f(x,y,z) = (x,y,\sqrt{z^2+2}) = f(x,y,-z)\). Eine Einschränkung der Definitionsmenge würde hier wohl Sinn machen. Ein Ansatz hierfür wäre wohl eine stückweise definierte Funktion nach \(z\), aber wie könnte ich die definieren, ohne an Stetigkeit zu verlieren? Könntest du mir da vielleicht helfen? Liebe Grüße


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Vercassivelaunos
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  Beitrag No.3, eingetragen 2022-07-03

Wie sahen denn die beiden Flächen bei dir aus? Bei mir besteht sie einmal nur aus einer Fläche, und einmal aus zwei nicht miteinander verbundenen Flächen. Da kann es wieder keinen Diffeomorphismus geben (Homöomorphismen und damit auch Diffeomorphismen erhalten nämlich den Zusammenhang).


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ATuring
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  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2022-07-03

Ohje, da habe ich mal wieder zu kompliziert gedacht und deinen Ratschlag zur ersten Aufgabe nicht beachtet😖. Du hast natürlich vollkommen recht, denn das hätte mir sofort auffallen müssen. So sahen die Flächen nämlich auch bei mir aus. Ich nehme aber mit, dass der Nachweis für die Nicht-Existenz einer Diffeomorphie zwischen zwei Flächen über topologische Eigenschaften geschlussfolgert werden kann, indem man gewisse Eigenschaften der beiden Flächen herausfindet und das Fehlen gewisser Eigenschaften die Existenz eines Diffeomorphismus unmöglich macht. Danke dir jedenfalls einmal dafür! In unserem Fall hätte man ja auch formal (ohne graphische Begutachtung) schlussfolgern können, dass \(|z| < 1\) für die eine Fläche nicht möglich ist und daher zwei Zusammenhangskomponenten existieren müssen. Dies ist für die zweite Fläche definitiv nicht der Fall (die besteht nur aus einer Zusammenhangskomponente) und daher kann hier kein Diffeomorphismus existieren. Wäre das hier eine korrekte Formulierung deiner Antwort? Könntest du mir dann vielleicht auch noch gleich bei der zweiten Aufgabe weiterhelfen?


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ATuring
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  Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2022-07-04

\quoteon(2022-07-03 21:28 - ATuring in Beitrag No. 4) Könntest du mir dann vielleicht auch noch gleich bei der zweiten Aufgabe weiterhelfen? \quoteoff Ich frage noch einmal nach, ob es jemanden gibt, der mir bei der zweiten Aufgabe weiterhelfen würde? Liebe Grüße


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