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  Leistung + Impulsantwort + Übertragungsfunktion |
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Sinnfrei
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 |  Themenstart: 2022-07-03
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Gegeben ist die Stoßantwort
$$h(t) = 1 + \cos(-2\pi t \varepsilon(2\pi t)) = 1 + \cos(2\pi t\varepsilon(2\pi t))$$
1)
Skizzieren Sie unter Angabe charakteristischer Werte die Stoßantwort h(t) im Bereich $-4\leq t \leq +4$
https://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/b/54796_Screenshot_2022-07-03_015753.png
2) Handelt es sich bei dem System um ein kausales System? (Wertung nur mit richtiger Begründung!)
Ja, da $h(t) = 0$, für $t < 0$
3) Berechnen Sie die Leistung der Stoßantwort $h(t)$
https://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/b/54796_Screenshot_2022-07-03_022818.png
Ist das überhaupt so richtig?
4) Beschreiben Sie die Stoßantwort des Systems mit Hilfe von Elementarfunktion wie $\operatorname{rect}(t)$, $\varepsilon(t)$, $\sin(2\pi Ft)$, $\cos(2\pi Ft)$, etc. so, dass Sie eine Fourier-Transformation durchführen können!
5) Zerlegen Sie die Stoßantwort in ihren geraden und ihren ungeraden Anteil! Skizzieren Sie unter Angabe charakteristischer Werte $h_{even}(t)$
und $h_{odd}(t)$!
6) Welche Übertragungsfunktion $H(f)$ hat das System? Vereinfachen Sie Ihr Ergebnis soweit möglich! (Hinweis: $H(f)$ mit Hilfe der Regeln zur Fourier-Transformation.)
Danke schon mal im voraus
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rlk
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| Beitrag No.1, eingetragen 2022-07-03
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Hallo Sinnfrei,
bei 1 fehlt der Bereich $-4 < t < 0$.
Welchen Wert hat die Funktion $\varepsilon(t)$ für $t < 0$? Was folgt daraus für $h(t)$ für $t < 0$?
Die Rechnung für 3 ist fehlerhaft, die Funktion $t \mapsto \cos(2\pi t \varepsilon(2\pi t))$ ist nicht gerade, wie Du bei der Umformung des mit $(2)$ bezeichneten Integrals annimmst.
Servus,
Roland
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Sinnfrei
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| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2022-07-03
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\quoteon(2022-07-03 18:18 - rlk in Beitrag No. 1)
Hallo Sinnfrei,
bei 1 fehlt der Bereich $-4 < t < 0$.
Welchen Wert hat die Funktion $\varepsilon(t)$ für $t < 0$? Was folgt daraus für $h(t)$ für $t < 0$?
Die Rechnung für 3 ist fehlerhaft, die Funktion $t \mapsto \cos(2\pi t \varepsilon(2\pi t))$ ist nicht gerade, wie Du bei der Umformung des mit $(2)$ bezeichneten Integrals annimmst.
\quoteoff
Zur 1)
https://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/b/54796_Screenshot_2022-07-03_202628.png
Damit wäre dann bei 2) die Impulsantwortfunktion $h(t) \neq 0$ für $t<0$
nicht kausal.
Bei der 3)
Hier würde ich jetzt nur den Wert vergleichen.
$P_h = 5.5$ bzw. $P_h = {11\over 2}$
Zur 4)
$h(t) = 2\varepsilon(-t) + (1 + \cos(2\pi Ft))\operatorname{rect}\left({t-2\over 4}\right)$
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rlk
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| Beitrag No.3, eingetragen 2022-07-03
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Hallo Sinnfrei,
der Wert $P_h = \frac{11}{2}$ ist richtig.
Bei 4 ist der Faktor $\operatorname{rect}\left(\frac{t - 2}{4}\right)$ falsch, die Impulsantwort hat auch für $t>4$ Werte ungleich 0. Woher kommt $F$?
Servus,
Roland
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| Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2022-07-04
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https://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/b/54796_Screenshot_2022-07-04_003458.png
https://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/b/54796_Screenshot_2022-07-04_003524.png
https://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/b/54796_Screenshot_2022-07-04_010945.png
Bei der 4) muss dann die Sprungfunktion einfach nur aussen, wie in Aufg 6) ,in der ersten Zeile, multiplikativ platziert werden.
\quoteon(2022-07-03 23:26 - rlk in Beitrag No. 3)
Bei 4 ist der Faktor $\operatorname{rect}\left(\frac{t - 2}{4}\right)$ falsch, die Impulsantwort hat auch für $t>4$ Werte ungleich 0. Woher kommt $F$?
\quoteoff
Das mit dem $F$ hatte ich aus dem Aufgabentext aus Punkt 4) entnommen, aber stimmt $h(t)$ ist nicht von der Frequenz abhängig, taucht demnach im Punkt 4) nicht auf.
Bei der Rechteck-Funktion hatte ich mich auf den Sachverhalt aus Unterpunkt 1) fixiert aber so langsam krieg ich ein Gefühl für die Aufgaben. Ohne deine Hilfe wäre ich wahrscheinlich niemals so weit gekommen. Daher ein großes Dankeschön.
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rlk
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| Beitrag No.5, eingetragen 2022-07-04
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Hallo Sinnfrei,
es freut mich, dass ich Dir helfen konnte.
Die Skizze von $h_\mathrm{odd}(t)$ ist etwas grob, an der Stelle $t=0$ ist die Tangente waagrecht, die Funktion hat dort einen Wendepunkt.
Bei der Berechnung der Übertragungsfunktion fängst Du richtig an, berechnest aber einige der Faltungsprodukte nicht richtig:
\[ \delta(f) \star \frac{1}{2\pi j f} \neq \frac{\delta(f)}{2\pi j f} \]
Erinnere Dich an die Siebeigenschaft der Deltafunktion.
Servus,
Roland
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| Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2022-07-04
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Stimmt. Das f im Nenner bei der Faltung übersehen.
https://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/b/54796_Screenshot_2022-07-04_125523.png
Die Skizze soll ja nur quantitativ sein aber ja, da haben sich die Kurven wohl später verschoben.
https://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/b/54796_Screenshot_2022-07-04_125615.png
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rlk
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| Beitrag No.7, eingetragen 2022-07-05
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Hallo Sinnfrei,
der Faktor $2$ vor $\varepsilon(-t)$ muss auf beide Terme der Fouriertransformierten angewandt werden:
\[ \mathcal{F} \Big(2\varepsilon(-t)\Big) = 2\delta(t) + \frac{2}{2\pi j(-f)} = 2\delta(t) - \frac{1}{2\pi jf} \]
Ich erhalte das Ergebnis
\[ H(f) = \frac{3}{2}\delta(f)+\frac{1}{4}\Big(\delta(f-1)+\delta(f+1)\Big) + \frac{1}{2\pi j (f-1) f (f+1)} \]
wobei der letzte Term das richtige asymptotische Verhalten $\mathcal{O}(f^{-3})$ für die stetig differenzierbare Impulsantwort $h(t)$ hat.
Servus,
Roland
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| Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2022-07-05
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\quoteon(2022-07-05 02:11 - rlk in Beitrag No. 7)
Hallo Sinnfrei,
der Faktor $2$ vor $\varepsilon(-t)$ muss auf beide Terme der Fouriertransformierten angewandt werden:
\[ \mathcal{F} \Big(2\varepsilon(-t)\Big) = 2\delta(t) + \frac{\color{red}{2}}{\color{red}{2}\pi j(-f)} = 2\delta(t) - \frac{\color{red}{1}}{\color{red}{2}\pi jf} \]
\quoteoff
Das in rot ist falsch.
\quoteon(2022-07-05 02:11 - rlk in Beitrag No. 7)
Ich erhalte das Ergebnis
\[ H(f) = \frac{3}{2}\delta(f)+\frac{1}{4}\Big(\delta(f-1)+\delta(f+1)\Big) \color{red}{+} \frac{1}{2\pi \color{red}{j} (f-1) f (f+1)} \]
wobei der letzte Term das richtige asymptotische Verhalten $\mathcal{O}(f^{-3})$ für die stetig differenzierbare Impulsantwort $h(t)$ hat.
\quoteoff
Hier erhalte ich nun folgendes.
$+j{1\over 2\pi f(f^2-1)}$
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