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Mathematik » Topologie » Homöomorphismus
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Universität/Hochschule J Homöomorphismus
Mikka
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  Themenstart: 2022-07-01

Liebe Community, in der Vorlesung wurde gezeigt, dass der Quotient $D^n/S^{n-1}$ homöomorph zu $S^n$ ist: Betrache die Abbildung $f:D^n \to S^n$, $x \mapsto (\sin(\pi ||x||) \cdot x, \cos(\pi ||x||)) \subset \mathbb{R}^{n+1}$. $f$ ist stetig und alle Punkte mit $||x||=1$ werden auf denselben Punkt in $S^n$ abgebildet. $f$ induziert also eine stetige bijektive Abbildung $\phi: D^n/S^{n-1} \to S^{n}$, $[x] \mapsto f(x)$. $D^n$ ist kompakt, damit auch das Bild $D^n/S^{n-1}$ unter der stetigen Projektionsabbildung und $S^n$ ist ein Hausdorff-Raum. Also ist $\phi$ ein Homöomorphismus. Nun verstehe ich da ein paar Dinge nicht ganz. Die Sphäre $S^n=\{x \in \mathbb{R}^{n+1}: ||x||=1\}$ ist mir bekannt. Aus meinen Unterlagen geht aber nicht hervor wie genau die Menge $D^n$ definiert ist. Kann mir da bitte jemand weiterhelfen? Die Abbildung $f$ bildet in den $S^n$ ab mit obiger Abbildungsvorschrift. Ich habe versucht nachzurechnen, dass der Vektor $(\sin(\pi ||x||) \cdot x, \cos(\pi ||x||))$ immer den Betrag 1 hat. Das will mir nicht gelingen. Bei mir kommt da etwas völlig anderes heraus. Ich freue mich auf eure Antworten. Viele Grüße, Mikka


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PhysikRabe
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  Beitrag No.1, eingetragen 2022-07-01

\quoteon(2022-07-01 20:16 - Mikka im Themenstart) Die Sphäre $S^n=\{x \in \mathbb{R}^{n+1}: ||x||=1\}$ ist mir bekannt. Aus meinen Unterlagen geht aber nicht hervor wie genau die Menge $D^n$ definiert ist. Kann mir da bitte jemand weiterhelfen? \quoteoff $D^n = \{x \in \mathbb{R}^{n}: \|x\|\leq 1\}$ ist die "$n$-disk", also die $n$-dimensionale abgeschlossene Einheitskugel. \quoteon(2022-07-01 20:16 - Mikka im Themenstart) Bei mir kommt da etwas völlig anderes heraus. \quoteoff Wie sieht deine Rechnung denn aus? Grüße, PhysikRabe


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Mikka
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  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2022-07-03

Hallo PhysikRabe, Ich habe es durch folgende Rechnung versucht hinzubekommen: Sei $x=(x_{1},...,x_{n})$. Dann gilt $||f(x)||^2=\sin^2(\pi ||x||) \cdot (x_{1}^2+...+x_{n}^2)+ \cos^2(\pi ||x||)$. Da müsste dann wohl 1 herauskommen. Wählt man beispielsweise $n=1$ und $x=1.5$ dann hätte man $||f(1.5)||= \sin^2(1.5 \pi) \cdot 1.5^2+ \cos^2(1.5 \pi) \neq 1$. Was mache ich da falsch? Grüße, Mikka


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zippy
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  Beitrag No.3, eingetragen 2022-07-03

\quoteon(2022-07-03 13:40 - Mikka in Beitrag No. 2) Was mache ich da falsch? \quoteoff Ist da nicht einfach ein Tippfehler im Startbeitrag und es muss$$ D^n\to S^n \;,\quad x\mapsto\left(\sin(\pi\|x\|)\cdot{x\over\|x\|},\cos(\pi\|x\|)\right) $$heißen? --zippy


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PhysikRabe
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  Beitrag No.4, eingetragen 2022-07-03

zippy hat ja schon geantwortet, aber trotzdem eine kurze Rückmeldung von mir: \quoteon(2022-07-03 13:40 - Mikka in Beitrag No. 2) Was mache ich da falsch? \quoteoff Du machst hier gar nichts falsch. Ich hatte etwas übersehen, deshalb meine Frage nach deiner Rechnung, sorry. Jedenfalls muss es hier einen Tippfehler geben, denn die von dir angegebene Abbildung landet nicht in $S^n$, wie du schon erkannt hast. Der Vorschlag von zippy sieht da schon besser aus. 🙂 Grüße, PhysikRabe


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Mikka
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  Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2022-07-05

Vielen Dank euch beiden für die Korrektur der Abbildungsvorschrift. Die landet jetzt wenigstens im $S^n$. Jetzt wird hier noch erwähnt, dass alle Punkte mit Betrag 1 auf denselben Punkt im $S^n$ abgebildet werden. Wozu ist das überhaupt notwendig? $f$ induziert ja eine stetige bijektive Abbildung $\phi$. Braucht man diese Feststellung für die Stetigkeit? Viele Grüße, Mikka


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zippy
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  Beitrag No.6, eingetragen 2022-07-05

\quoteon(2022-07-05 11:27 - Mikka in Beitrag No. 5) Jetzt wird hier noch erwähnt, dass alle Punkte mit Betrag 1 auf denselben Punkt im $S^n$ abgebildet werden. Wozu ist das überhaupt notwendig? $f$ induziert ja eine stetige bijektive Abbildung $\phi$. \quoteoff Wie würdest du $\phi$ denn definieren, wenn $f$ diese Eigenschaft nicht hätte?


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Mikka
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  Beitrag No.7, vom Themenstarter, eingetragen 2022-07-05

Gute Frage, da fällt mir wenig ein. Vielleicht mag es wohl auch keine andere Möglichkeit geben. Ich glaube, es nun besser verstanden zu haben. Die Beobachtung, dass alle Punkte mit Betrag 1 auf denselben Punkt abgebildet werden führt zu der Erkenntnis, dass die Abbildung $f$ nicht bijektiv ist. Man kann auch noch beobachten, dass alle Punkte mit Betrag 2 auf denselben Punkt abgebildet werden, dies kann man auf alle Punkte mit natürlichem Betrag übetragen. Die wie oben konstruierte Abbildung $\phi$ ist dagegen schon bijektiv und stetig sowieso. Der Rest ist dann klar. Mir scheint als hätte man die Abbildung $f$ auch durch $x \mapsto (\sin(||x||) \cdot \frac{x}{||x||}, \cos(||x||))$ definieren können. Dann würden z.B. alle Punkte mit Betrag $\pi$ auf denselben Punkt abgebildet werden. Die restliche Argumentation bliebe unverändert. Dankeschön, Mikka


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zippy
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  Beitrag No.8, eingetragen 2022-07-05

\quoteon(2022-07-05 13:12 - Mikka in Beitrag No. 7) Die Beobachtung, dass alle Punkte mit Betrag 1 auf denselben Punkt abgebildet werden führt zu der Erkenntnis, dass die Abbildung $f$ nicht bijektiv ist. \quoteoff Das ist aber nicht der entscheidende Punkt. $f$ muss auf $S^{n-1}\subset D^n$ konstant sein, damit man daraus die auf $D^n/S^{n-1}$ definierte Abbildung $\phi$ basteln kann. \quoteon(2022-07-05 13:12 - Mikka in Beitrag No. 7) Man kann auch noch beobachten, dass alle Punkte mit Betrag 2 auf denselben Punkt abgebildet werden \quoteoff Solche Punkte gibt es in $D^n$ nicht. \quoteon(2022-07-05 13:12 - Mikka in Beitrag No. 7) Mir scheint als hätte man die Abbildung $f$ auch durch $x \mapsto (\sin(||x||) \cdot \frac{x}{||x||}, \cos(||x||))$ definieren können. \quoteoff Dann wäre $\phi$ nicht surjektiv.


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Mikka
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  Beitrag No.9, vom Themenstarter, eingetragen 2022-07-05

Ach ja klar, stimmt. Noch zum letzten Punkt. Ich erkenne gerade nicht warum $\phi$ in diesem Fall nicht surjektiv wäre. Viele Grüße, Mikka


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zippy
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  Beitrag No.10, eingetragen 2022-07-05

\quoteon(2022-07-05 19:30 - Mikka in Beitrag No. 9) Ich erkenne gerade nicht warum $\phi$ in diesem Fall nicht surjektiv wäre. \quoteoff Der Cosinus gibt die Höhe des Punktes $f(x)\in S_n$ über der Äquatorebene $\{x:x_{n+1}=0\}$ an. In der ursprünglichen Version läuft diese Höhe von $1$ (Nordpol) über $0$ (Äquator) bis $-1$ (Südpol). In deiner Version geht die Höhe nur von $1$ bis etwa $1/2$, d.h. alle Punkte liegen auf dem oberen Teil der Nordhalbkugel.


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Mikka
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  Beitrag No.11, vom Themenstarter, eingetragen 2022-07-06

Vielen Dank nochmal!


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Mikka
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  Beitrag No.12, vom Themenstarter, eingetragen 2022-07-08

Eine Frage hätte ich dann doch noch: In der Definition der Abbildung $\phi$ taucht ja die Äquivalenzklasse $[x]$ auf. Die zugehörige Äquivalenzrelation ist $x_1 \sim x_2: \iff x_1=x_2 \lor x_1, x_2 \in S^{n-1}$. Ist das soweit korrekt? Viele Grüße, Mikka


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zippy
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  Beitrag No.13, eingetragen 2022-07-08

Ja, das findest du z.B. hier in Definition 5.12 Teil (b).


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Mikka
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  Beitrag No.14, vom Themenstarter, eingetragen 2022-07-08

Dankeschön


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