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  Leistungsdichtespektrum Barker Folge |
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Sinnfrei
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 |  Themenstart: 2022-06-28
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Bei einer Barker Folge sind 3 Rechteck-Funktionen abzulesen
https://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/b/54796_Barker_Code.png
$$x(t) = \operatorname{rect}\left({t-T/2\over T}\right) - \operatorname{rect}\left({t-3T/2\over T}\right) - \operatorname{rect}\left({t-5T/2\over T}\right)$$
Jetzt soll mithilfe der Definition der LDS $\phi_{xx}(f) = |X(f)|^2$
folgendes herauskommen
$$\phi_{xx}(f) = T^2\operatorname{si}^2(\pi f T)(3-e^{j2\pi f2T}-e^{-j2\pi f2T})\quad (1)$$
Lösung:
https://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/b/54796_AKF_Barker.png
Wenn ich aber $|X(f)|^2 = X(f)^2$ berechne, komme ich auf
$$X(f) = T\operatorname{si}(\pi fT)e^{-j2\pi fT/2}- T\operatorname{si}(\pi fT)e^{-j2\pi f3T/2} - T\operatorname{si}(\pi fT)e^{-j2\pi f5T/2}\quad (2)$$
das dann quadriert, komme ich auf
$$X(f)^2 = T^2\operatorname{si}^2(\pi f T)\left[e^{-j2\pi fT/2} - e^{-j2\pi f3T/2} - e^{-j2\pi f5T/2}\right]\cdot \left[e^{-j2\pi fT/2} - e^{-j2\pi f3T/2} - e^{-j2\pi f5T/2}\right]\quad(3)$$
$$X(f)^2 = T^2\operatorname{si}^2(\pi f T)\left[e^{-j2\pi f(T/2 + T/2)} -e^{-j2\pi f(T/2 + 3T/2)} - e^{-j2\pi f(T/2 + 5T/2)} - e^{-j2\pi f(3T/2 + T/2)} + e^{-j2\pi f(3T/2 + 3T/2)} + e^{-j2\pi f(3T/2 + 5T/2)} - e^{-j2\pi f(5T/2 + T/2)} + e^{-j2\pi f(5T/2 + 3T/2)} + e^{-j2\pi f(5T/2 + 5T/2)}\right]\quad(4)$$
$$X(f)^2 = T^2\operatorname{si}(\pi ft)\left[e^{-j2\pi fT} - e^{-j2\pi f 2T} - e^{-j2\pi f3T} - e^{-j2\pi f2T} + e^{-j2\pi f3T} + e^{-j2\pi f4T} - e^{-j2\pi f3T} + e^{-j2\pi f4T} + e^{-j2\pi f5T}\right]\quad(5)$$
Bei der (5) weiss ich jetzt nicht, wie ich da noch weiter auf die (1) komme.
Vielen Dank schon mal im voraus
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rlk
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| Beitrag No.1, eingetragen 2022-06-28
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Hallo Sinnfrei,
das Leistungsdichtespektrum ist reellwertig, daher kann die komplexwertige Funktion in $(1)$ nicht richtig sein. Ohne es im Detail nachgerechnet zu haben, sieht $(2)$ plausibel aus. Du kannst die Berechnung von $|X(f)|^2$ (nicht $X(f)^2$!) vereinfachen, indem Du den unimodularenℵ Faktor $u=e^{-2\pi j f 3 T / 2}$ ausklammerst.
ℵ Das bedeutet, dass $|u|=1$ ist.
Servus,
Roland
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Sinnfrei
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| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2022-06-28
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Wie kommst du auf gerade den Term $e^{-j2\pi f3T/2}$, könnte ich nicht auch jeden anderen ausklammern?
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rlk
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| Beitrag No.3, eingetragen 2022-06-28
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Hallo Sinnfrei,
wenn Du $u$ aus $X(f)$ ausklammerst, erhältst Du einen Ausdruck $u Y(f)$ mit der reellwertigen Funktion $Y(f)$. Das vereinfacht die Berechnung des Betrags
\[ |X(f)| = |u\cdot Y(f)| = |u|\cdot|Y(f)| = |Y(f)|. \]
Ist Dir klar, dass für komplexes $X$ das reelle Betragsquadrat $|X|^2$ und das im Allgemeinen komplexe $X^2$ nicht dasselbe sind?
Servus,
Roland
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Sinnfrei
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| Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2022-06-28
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\quoteon(2022-06-28 22:16 - rlk in Beitrag No. 3)
Hallo Sinnfrei,
wenn Du $u$ aus $X(f)$ ausklammerst, erhältst Du einen Ausdruck $u Y(f)$ mit der reellwertigen Funktion $Y(f)$. Das vereinfacht die Berechnung des Betrags
\[ |X(f)| = |u\cdot Y(f)| = |u|\cdot|Y(f)| = |Y(f)|. \]
\quoteoff
Aber dafür müsste ja überall der selbe Faktor $u = e^{-j2\pi f3T/2}$ bei X(f) vorkommen, sonst bringt das ausklammern ja nichts.
\quoteon(2022-06-28 22:16 - rlk in Beitrag No. 3)
Ist Dir klar, dass für komplexes $X$ das reelle Betragsquadrat $|X|^2$ und das im Allgemeinen komplexe $X^2$ nicht dasselbe sind?
\quoteoff
Es wird ja so gesehen die Wurzel quadriert, die Real- und Imaginärteil zum quadrat nach $|X(f)|^2 = \left(\sqrt{\Re(X(f))^2 + \Im(X(f))^2}\right)^2 = \Re(X(f))^2 + \Im(X(f))^2$ Das ist dann ja auch reellwertig. Es geht aber nicht darum, sondern was es bringt $u$ mit $e^{-j2\pi f3T/2}$ auszuklammern. Ich sehe da noch keinen triftigen Grund, was mir das bringen soll.
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Sinnfrei
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| Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2022-06-29
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Hier sollen später durch eine inverse Transformation wieder Dreiecke herauskommen. Nur weiss ich nicht wie
https://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/b/54796_Screenshot_2022-06-29_000822.png
Im Themenstart habe ich jetzt nochmal die ganze Aufgabe eingefügt.
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rlk
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| Beitrag No.6, eingetragen 2022-06-29
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Hallo Sinnfrei,
Du kannst den Faktor
\[ W = e^{2\pi j f T} - 1 - e^{-2\pi j f T} \]
vereinfachen, indem Du die beiden Exponentialfunktionen zu
\[ e^{2\pi j f T} - e^{-2\pi j f T} = 2j \sin(2\pi j f T) \]
umformst. Wegen des negativen Vorzeichens ist dieser Ausdruck rein imaginär und nicht rein reell, wie ich zuerst gedacht hatte.
Auch der angegebene Ausdruck für das Energiedichtespektrum (es handelt sich ja um ein Signal mit endlicher Energie) ist reellwertig, weil sich die beiden komplexen Exponentialfunktionen $e^{4\pi j f T}$ und $e^{-4\pi j f T}$ zu
\[ e^{4\pi j f T} + e^{-4\pi j f T} = 2\cos(4\pi f T) \]
ergänzen.
Es tut mir leid, wenn ich Dich damit verwirrt habe.
\[ |W|^2 = (-1)^2 + \left(2 \sin(2\pi j f T)\right)^2 = 1 + 4 \sin^2(2\pi j f T) \]
In Deiner Rechnung sind noch Fehler, der erste der 9 Terme des Produkts ist
\[ e^{2\pi j f T} \cdot e^{2\pi j f T} = e^{4\pi j f T}. \]
und Du vermischt noch immer $W^2$ und $|W|^2$.
Wenn Du Deinen Rechenweg weiterverfolgen willst, kannst Du ihn mit
\[ |W|^2 = W\cdot W^* \]
vereinfachen.
Servus,
Roland
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Sinnfrei
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| Beitrag No.7, vom Themenstarter, eingetragen 2022-06-29
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Stimmt, ich komme jetzt auch auf das Ergebnis. Also einfach mit dem konjugiert komplexen multiplizieren und dann kommt man da schon drauf.
Die $e$ Funktionen mit den Exponenten habe ich extra so gelassen, damit man die Verschiebung nach anschließender Rücktransformation direkt ablesen kann.
Ich komme jetzt auch auf das Ergebnis
https://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/b/54796_Screenshot_2022-06-29_084843.png
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