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Differentiation » Mehrdim. Differentialrechnung » Differenzierbarkeit im R^n (Zusammenhang zur partiellen Diffbarkeit)
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Universität/Hochschule J Differenzierbarkeit im R^n (Zusammenhang zur partiellen Diffbarkeit)
MasterWizz
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  Themenstart: 2022-06-28

Hi Leute :) Ich habe eine Frage zur Differenzierbarkeit von Funktionen \(f:\mathbb{R}^n\rightarrow\mathrm{R}^m\). Soweit ich weiß gilt: \(f\) ist differenzierbar in \(x_0\) \(\Rightarrow\) \(f\) ist partiell differenzierbar in \(x_0\). Und die Rückrichtung gilt, wenn die partiellen Ableitungen in einer Umgebung um \(x_0\) existieren und in \(x_0\) selbst stetig sind. Wenn jedoch die partiellen Ableitungen in einer Umgebung von \(x_0\) existieren und in \(x_0\) unstetig sind, kann ich dann auch daraus folgern, dass \(f\) in \(x_0\) nicht differenzierbar ist? Oder anders ausgedrückt: Folgt aus der Differenzierbarkeit von \(f\) in \(x_0\), dass auch die partiellen Ableitungen in einer Umgebung von \(x_0\) existieren und in \(x_0\) selbst stetig sind?

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Kezer
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  Beitrag No.1, eingetragen 2022-06-28

\(\begingroup\)\(\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\F}{\mathbb{F}} \newcommand{\CC}{\mathbb{C}} \newcommand{\C}{\mathscr{C}} \newcommand{\D}{\mathscr{D}} \newcommand{\A}{\mathbb A} \newcommand{\PP}{\mathbb{P}} \newcommand{\LL}{\mathcal{L}} \newcommand{\OO}{\mathcal{O}} \newcommand{\FF}{\mathcal{F}} \newcommand{\variety}{\mathcal{V}} \newcommand{\Spec}{\operatorname{Spec}} \newcommand{\Gal}{\operatorname{Gal}} \newcommand{\sep}{\mathrm{sep}} \newcommand{\tr}{\operatorname{tr}} \newcommand{\Hom}{\operatorname{Hom}} \newcommand{\Ab}{\mathbf{Ab}} \newcommand{\Set}{\mathbf{Set}} \newcommand{\Coh}{\mathbf{Coh}} \newcommand{\GL}{\operatorname{GL}} \newcommand{\Bl}{\operatorname{Bl}} \newcommand*\dd{\mathop{}\!\mathrm{d}} \newcommand{\ggT}{\operatorname{ggT}} \newcommand{\Top}{\mathbf{Top}} \newcommand{\map}{\operatorname{map}} \newcommand{\id}{\mathrm{id}} \newcommand{\ol}{\overline} \newcommand{\Cat}{\mathbf{Cat}} \newcommand{\Fun}{\operatorname{Fun}} \newcommand{\sSet}{\mathbf{sSet}} \newcommand{\conv}{\mathrm{conv}} \newcommand{\Ext}{\operatorname{Ext}} \newcommand{\PSh}{\mathbf{PSh}} \newcommand{\op}{\mathrm{op}} \newcommand{\Sing}{\operatorname{Sing}} \newcommand{\End}{\operatorname{End}} \newcommand{\im}{\operatorname{im}} \newcommand{\KO}{\operatorname{KO}} \newcommand{\BO}{\operatorname{BO}} \newcommand{\Ho}{\operatorname{Ho}} \newcommand{\Kan}{\mathbf{Kan}}\) \quoteon(2022-06-28 16:46 - MasterWizz im Themenstart) Oder anders ausgedrückt: Folgt aus der Differenzierbarkeit von \(f\) in \(x_0\), dass auch die partiellen Ableitungen in einer Umgebung von \(x_0\) existieren und in \(x_0\) selbst stetig sind? \quoteoff Es gibt im $\R^1$ Standardbeispiele von Funktionen, welche in $0$ differenzierbar, aber nicht in $0$ stetig differenzierbar sind.\(\endgroup\)

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nzimme10
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  Beitrag No.2, eingetragen 2022-06-28

\(\begingroup\)\(\renewcommand{\i}{\mathrm{i}} \renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}} \renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}} \newcommand{\e}{\mathrm{e}} \renewcommand{\d}{\mathrm{d}} \renewcommand{\dd}{\ \mathrm d} \newcommand{\ddz}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}} \newcommand{\ddw}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}w}} \newcommand{\ddt}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}} \newcommand{\opn}{\operatorname}\) Hallo, betrachte einmal $f\colon \mathbb R^2\to \mathbb R$ gegeben durch $$ f(x,y)=\begin{cases} (x^2+y^2)\cdot \sin\left(\frac{1}{x^2+y^2}\right), & (x,y)\neq (0,0) \\ 0, & (x,y)=(0,0) \end{cases}. $$ $f$ ist partiell differenzierbar und $\partial_xf$ sowie $\partial_yf$ sind in $(0,0)$ nicht stetig. Dennoch ist $f$ total differenzierbar. LG Nico\(\endgroup\)

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MasterWizz
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  Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2022-06-28

Super vielen Dank, genau danach hab ich gesucht!

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