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Lineare Algebra » Eigenwerte » Jordan Basis eines nilpotenten Endomorphismus
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Universität/Hochschule Jordan Basis eines nilpotenten Endomorphismus
braunfredius
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  Themenstart: 2022-05-18

Guten Tag, ich stell erst mal eben die Aufgabe hier rein: Geben Sie eine Jordan Basis für den nilpotenten Endomorphismus matrix(-3,2,-3,2;-4,2,-4,3;-5,2,-5,4;-8,4,-8,6) : \IR^4 ->\IR^4 an. (Jordan Basis ist eine Basis, s.d. die Matrix in Jordan Normal Form ist.) Ich bin mir extrem unsicher über die Vorgehensweise, habe aber bisher folgendes: Schritt 1: Nilpotenzgrad ermitteln Habe hier zunächst mithilfe eines Matrizenrechners, später dann händisch nachgerechnet ermittelt, dass bereits A^2 = 0 ist. Gibt es hier eine leichtere Variante als die gesamte 4x4 Matrixmultiplikation durchzuführen? Schritt 2: Mithilfe der Kerne die Jordanblöcke ermitteln Hier habe ich zunächst den Kern von A^2 und A ermittelt. Der Kern von A^2 müsste ja der gesamte R^4 Raum sein, wenn ich das richtig verstanden habe, da jedes Element, dass mit der Matrix A^2 multipliziert wird, auf Null abgebildet wird (bitte um kurze Bestätigung). Habe nun mit folgender Formel berechnet die Anzahl der 2x2 Jordanblöcke ermittelt (Der angebliche Bruchstrich soll hier für "Modulo" stehen): dim((Ker A^2)/(Ker A)) = dim(Ker A^2) - dim(Ker A) = 4 - 2 = 2 Es gibt also 2 Jordanblöcke der Größe 2x2 Schritt 3: Jordan Normal Form aufstellen? Nun meine wohl wichtigste Frage, wie beende ich die Aufgabe? Reicht es nun zu sagen, dass die Jordan Normal Form nur Nullen auf der Hauptdiagonale haben darf, da es sich um einen nilpotenten Endomorphismus handelt und mithilfe der Anzahl der Jordanblöcke folgendes Schlussfolgern? A_J = matrix(0,1,0,0;0,0,0,0;0,0,0,1;0,0,0,0) Und ist das jetzt dann auch schon die Basis die ich angeben soll, oder muss ich das noch irgendwie umschreiben?


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nzimme10
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  Beitrag No.1, eingetragen 2022-05-18

\(\begingroup\)\(\renewcommand{\i}{\mathrm{i}} \renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}} \renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}} \newcommand{\e}{\mathrm{e}} \renewcommand{\d}{\ \mathrm{d}} \newcommand{\ddz}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}} \newcommand{\ddw}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}w}} \newcommand{\ddt}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}} \newcommand{\opn}{\operatorname}\) Hallo und willkommen auf dem Matheplaneten! :) Es ist nicht unbedingt danach gefragt, wie die Jordansche Normalform in diesem Fall konkret aussieht. Es wird viel mehr eine Basis $B=(b_1,b_2,b_3,b_4)$ gesucht, so dass der von deiner Matrix beschriebene Endomorphismus bezüglich der Basis $B$ durch eine Matrix in Jordanscher Normalform beschrieben wird. Du musst also solche Vektoren $b_1,\dots,b_4$ finden und angeben. Wenn dir die Jordansche Normalform deiner Matrix schon bekannt ist, dann kannst du an ihr auch ablesen, welche Eigenschaften diese Vektoren erfüllen müssen. LG Nico\(\endgroup\)


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braunfredius
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  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2022-05-18

Also erstmal vielen Dank für die freundliche Begrüßung und die Antwort :) \quoteon Es wird viel mehr eine Basis $B=(b_1,b_2,b_3,b_4)$ gesucht, so dass der von deiner Matrix beschriebene Endomorphismus bezüglich der Basis $B$ durch eine Matrix in Jordanscher Normalform beschrieben wird. \quoteoff Alles klar, dann verstehe ich schon mal, was genau hier gesucht wird, war mein bisheriges Vorgehen denn soweit valide? \quoteon Wenn dir die Jordansche Normalform deiner Matrix schon bekannt ist, dann kannst du an ihr auch ablesen, welche Eigenschaften diese Vektoren erfüllen müssen. \quoteoff Das bedeutet aber nun, dass die Matrix in Jordanscher Normalform einen Endomorphismus bezüglich einer Basis beschreibt und diese Basis angegeben werden soll? Würde also auch bedeuten, dass es an diesem Punkt falsch wäre die Basis der Matrix zu ermitteln, richtig? Mein erster Impuls wäre nun nämlich gewesen den Vektor aus der 2. Spalte und den Vektor aus der 4. Spalte rauszuziehen und diese als Basis anzugeben. Leider weiß ich nun nicht so richtig wie ich vorgehen muss, für mich liegt die Vermutung nahe, dass der Rang der Matrix ungleich 4 ist (aufgrund von einer linear abhängigen Spalte) und somit auch nur 3 Basisvektoren benötigt werden. Bleibt diese Eigenschaft jedoch erhalten wenn ich nun keine Basis zu A sondern zu der Matrix in Jordanform angeben soll? LG Leon


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nzimme10
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  Beitrag No.3, eingetragen 2022-05-18

\(\begingroup\)\(\renewcommand{\i}{\mathrm{i}} \renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}} \renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}} \newcommand{\e}{\mathrm{e}} \renewcommand{\d}{\ \mathrm{d}} \newcommand{\ddz}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}} \newcommand{\ddw}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}w}} \newcommand{\ddt}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}} \newcommand{\opn}{\operatorname}\) Was ist denn eine Basis einer Matrix? Hier wirfst du ein paar Begriffe durcheinander. Sei $A$ die von dir in der Aufgabenstellung angegebene Matrix. Zu dieser Matrix gehört ein Endomorphismus $$ \varphi_A\colon \mathbb R^4\to \mathbb R^4, \ x\mapsto Ax. $$ Wir suchen nun eine Basis $B=(b_1,\dots,b_4)$ von $\mathbb R^4$, die eine bestimmte Eigenschaft hat. Wir wollen die darstellende Matrix $M^B_B(\varphi_A)$ von $\varphi_A$ bezüglich der Basis $B$ berechnen und diese Matrix soll in Jordan Normalform sein. Das ist die Aufgabenstellung. Edit: Du hast schon die richtige Jordan Normalform der Matrix $A$ angegeben. Es soll also am Ende $$ M^B_B(\varphi_A)= \begin{pmatrix} 0&1&0&0 \\ 0&0&0&0 \\ 0&0&0&1 \\ 0&0&0&0 \end{pmatrix} $$ gelten. Jetzt musst du dich daran erinnern, was solch eine darstellende Matrix eigentlich bedeutet. Wenn wir von $\varphi_A$ die darstellende Matrix bezüglich der Basis $B$ berechnen wollen, dann müssen wir die Basisvektoren $b_j$ in $\varphi_A$ einsetzen und diese Vektoren dann wieder als Linearkombination der Basisvektoren schreiben. Genauer gehört zu der Basis $B$ ein Isomorphismus $$ \sigma_B\colon \mathbb R^4\to \mathbb R^4, \ (\lambda_1,\dots,\lambda_4)\mapsto \sum_{j=1}^4 \lambda_j b_j. $$ Für einen Vektor $v\in \mathbb R^4$ ist also $\sigma_B^{-1}(v)=(v_1,\dots,v_4)$ derjenige Vektor, der die Koordinaten von $v$ bezüglich der Basis $B$ enthält, d.h. es gilt $$ v=v_1b_1+\dots+v_4b_4. $$ Wenn wir also $M_B^B(\varphi_A)$ berechnen wollen, dann berechnen wir $\sigma_B^{-1}(\varphi_A(b_j))$ und schreiben diesen Vektor in die $j$-te Spalte einer Matrix, d.h. $$ M_B^B(\varphi_A)= \begin{pmatrix} \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ \sigma_B^{-1}(\varphi_A(b_1)) & \sigma_B^{-1}(\varphi_A(b_2)) &\sigma_B^{-1}(\varphi_A(b_3)) & \sigma_B^{-1}(\varphi_A(b_4)) \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \end{pmatrix}. $$ Es ergibt sich dadurch das folgende Diagramm:
$ \begin{tikzcd} {\mathbb R^4} && {\mathbb R^4} \\ \\ {\mathbb R^4} && {\mathbb R^4} \arrow["{\varphi_A}", from=1-1, to=1-3] \arrow["{\sigma_B}", from=3-1, to=1-1] \arrow["{\sigma_B}"', from=3-3, to=1-3] \arrow["{v\mapsto M_B^B(\varphi_A)\cdot v}"', from=3-1, to=3-3] \end{tikzcd} $
und damit der Zusammenhang $$ \varphi_A(v)_B=M_B^B(\varphi_A)\cdot v_B, \quad \forall \, v\in \mathbb R^4, $$ wobei $v_B:=\sigma^{-1}_B(v)$. Für deine Aufgabe weißt du nun also, welche Eigenschaften die Vektoren $b_1,\dots,b_4$ haben sollen. Die obige Matrix soll ja gerade die von dir gefundene Jordan Normalform sein, d.h. es soll folgendes gelten: $$ \sigma_B^{-1}(\varphi_A(b_1))=\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} = 0\in \mathbb R^4 \ \Longrightarrow \ \varphi_A(b_1)=0\in \mathbb R^4. $$ Analog soll für die anderen Vektoren dann (ich kürze die Notation etwas ab) $$ \varphi_A(b_2)=b_1, \ \varphi_A(b_3)=0, \ \varphi_A(b_4)=b_3 $$ gelten. $b_1$ und $b_3$ sollen also Eigenvektoren von $\varphi_A$ zum Eigenwert $0$ sein. $b_2$ soll auf $b_1$ und $b_4$ auf $b_3$ abgebildet werden. Nun solltest du in der Lage sein, solche Vektoren zu finden. Man kann das auch sehr systematisch machen, man kann aber durchaus auch einfach mal ein bisschen "rumprobieren" und ein Gefühl dafür bekommen. LG Nico
\(\endgroup\)


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  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2022-05-19

\quoteon Sei $A$ die von dir in der Aufgabenstellung angegebene Matrix. Zu dieser Matrix gehört ein Endomorphismus $$ \varphi_A\colon \mathbb R^4\to \mathbb R^4, \ x\mapsto Ax. $$ Wir suchen nun eine Basis $B=(b_1,\dots,b_4)$ von $\mathbb R^4$, die eine bestimmte Eigenschaft hat. \quoteoff Bringen mir denn folgende Zusammenhänge etwas? I) \phi_A (v_1) = 0 II) \phi_A (v_2) = b_1 III) \phi_A (v_3) = 0 IV) \phi_A (v_4) = b_3 Das wären ja "Eigenschaften" bzw. konkrete Abbildungen, die der Endomorphismus leisten sollte. Da ein Endomorphismus eine lineare Abbildung ist ergibt sich aus I) und III) nun, dass b_1=b_3=0 Kann ich dann noch etwas aus II) und IV) folgern?


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braunfredius
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  Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2022-05-19

Danke dir vielmals, ich werde mir das morgen nochmal genau anschauen und dann auch versuchen die Definition nochmal zu verinnerlichen, da ich leider gerade bei dem Thema der Abbildungsmatritzen ein wenig ausgestiegen bin in Lin-A 1. Das wird mir auf jeden Fall sehr weiterhelfen, werde aber auch versuchen, das nicht nur 1:1 zu übernehmen sondern es nachzuvollziehen. LG Leon


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  Beitrag No.6, eingetragen 2022-05-19

\quoteon(2022-05-19 01:02 - braunfredius in Beitrag No. 5) Das wird mir auf jeden Fall sehr weiterhelfen, werde aber auch versuchen, das nicht nur 1:1 zu übernehmen sondern es nachzuvollziehen. \quoteoff Da gibt es auch (noch) gar nichts zum Übernehmen :) Ich habe dir nur nochmal ganz konkret erklärt, was die Aufgabenstellung eigentlich von dir möchte. Die Vektoren (da gibt es unendlich viele Möglichkeiten, das ist keineswegs eindeutig) darfst du nach wie vor selbst finden. LG Nico


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