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Universität/Hochschule Eigenwerte und Kondition
LamyOriginal
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Mitteilungen: 401
  Themenstart: 2022-05-18

Hallo, gegeben ist die Matrix $$A=\begin{pmatrix} 1& 1 \\ a^2 &1 \end{pmatrix} \text{ mit } a\in (0,\frac{1}{2}]$$ Ich soll zeigen, dass für die Konditionszahl von $A$ gilt: $$cond_2(A)\leq 4(1-a^2)^{-1},$$ indem ich zunächst $||A||^2_2\leq||A||_1||A||_{\infty}$ zeige. $\textbf{Dazu:}$ Es gilt ja $cond_2(A)=||A||_2 \cdot ||A^{-1}||_2$ $||A||^2_2$ ist ja der maximalste Eigenwert von $A^TA$, da habe ich $$\lambda_{\ast}=\frac{\sqrt{a^8+2a^4+4a^2+1}+a^4+3}{2}$$ raus, wie soll ich nun $||A||_2^2\leq ||A||_1||A||_{\infty}=2\cdot2 = 4$ zeigen? Was bringt mir das überhaupt? Ich muss doch eh noch die Eigenwerte von $(A^{-1})^TA^{-1}$ berechnen, die eklig sind... Danke für jede Hilfe!


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mathilde01
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  Beitrag No.1, eingetragen 2022-05-18

Hallo, du könntest folgendermaßen vorgehenen. Angenommen $\lambda_*>4$. Folgere daraus einen Widerspruch. Oder benutze, dass $a^n<1$, für $a\in(0,\frac{1}{2}]$ Wenn $A$ eine invertierbare Matrix ist mit Eigenwert $\lambda$, dann ist $\frac{1}{\lambda}$ Eigenwert von $A^{-1}$(warum?)


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LamyOriginal
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  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2022-05-19

Hallo und danke für deine Hilfe! \quoteon(2022-05-18 22:01 - mathilde01 in Beitrag No. 1) Angenommen $\lambda_*>4$. Folgere daraus einen Widerspruch. Oder benutze, dass $a^n<1$, für $a\in(0,\frac{1}{2}]$ \quoteoff Ich habe angenommen, dass $\lambda_{\ast}>4$ und großzügig abgeschätzt: $$4<\lambda_{\ast}=\frac{\sqrt{a^8+2a^4+4a^2+1}+a^4+3}{2} \iff 5<\sqrt{a^8+\underbrace{2a^4}_{\leq \frac{1}{2}}+\underbrace{4a^2}_{\leq 1}+1}+\underbrace{a^4}_{\leq 1} \leq \sqrt{4}+1 = 3$$ was ein Widerspruch ist. Nun weiß ich, dass $||A||^2_2\leq 4 \Rightarrow ||A||_2\leq 2$. Da ich $cond_2(A)\leq 4(1-a^2)^{-1}$ zeigen muss, muss ich ja anscheinend noch zeigen, dass $||A^{-1}||_2\leq \frac{2}{1-a^2}$ gilt. Als Eigenwerte von $(A^{-1})^TA^{-1}$ hab ich $$\lambda_1=\frac{\sqrt{a^4-2a^2+5}-a^2+1}{2\sqrt{a^4-2a^2+5}-4} \\ \lambda_2=\frac{\sqrt{a^4-2a^2+5}-a^2-1}{2\sqrt{a^4-2a^2+5}+4}$$ raus. Was mache ich nun? \quoteon Wenn $A$ eine invertierbare Matrix ist mit Eigenwert $\lambda$, dann ist $\frac{1}{\lambda}$ Eigenwert von $A^{-1}$(warum?) \quoteoff Dies ist mir bekannt, aber ich muss ja die Eigenwerte von $A^TA$ betrachten... Danke für jede weitere Hilfe!


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