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 Beweis zu differenzierbaren Funktionen und deren Lösungen |
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Erdbeere99
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 |  Themenstart: 2022-05-16
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Seien α,β,γ,δ >0 und g,h: (0,∞)→ℝ und f: (0,∞)²→ℝ geben durch g(y):= α lny -βy, h(x):= γ lnx- δx, f(x,y):= g(y)+h(x) für x,y>0.
Gezeigt werden soll:
(i) Wenn ∅≠ I⊂ℝ ein Intervall ist und wenn x,y: I→ℝ differenzierbar sind mit x' = αx -βxy; y' = -γy + δxy, dann ist die Funktion definiert durch c : I→ℝ , c(t) := f(x(t), y(t)) konstant.
(ii) g und h haben beide ein Maximum mg bzw. mh, und mit m := mg +mh gilt:
(a) m < c ⇒ f(x, y) = c hat keine Lösung.
(b) m = c ⇒ f(x, y) = c hat genau eine Lösung.
(c) m > c ⇒ Es gibt eindeutige x1 ∈ (0, γ/δ ) und x2 ∈ ( γ/δ, ∞) mit h(x1) = h(x2) = c - mg und h(γ/δ) ≠ c - mg
Darüber hinaus:
(1) x0 ∈ (0, x1) ∪ (x2, ∞) ⇒ f(x0, y) = c hat keine Lösung.
(2) x0 ∈ {x1; x2} ⇒ f(x0, y) = c hat genau eine Lösung.
(3) x0 ∈ {x1; x2} ⇒ Es gibt eindeutige y1 ∈ (0,α/β ) und y2 ∈ (α/β, ∞) mit f(x0, y1) = f(x0, y2) = c und f(x0, α/β ) ≠ c.
Ich habe absolut keine Ahnung, wie ich auch nur eine der Teilaufgaben beweisen soll.
Ich bin über jede Hilfe sehr dankbar.
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thureduehrsen
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 |  Beitrag No.1, eingetragen 2022-05-16
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\(\begingroup\)\(\newcommand{\id}{\operatorname{id}}\)
Hallo Erdbeere99,
\quoteon(2022-05-16 08:21 - Erdbeere99 im Themenstart)
Ich habe absolut keine Ahnung, wie ich auch nur eine der Teilaufgaben beweisen soll.
\quoteoff
fang doch einfach mal an.
Berechne die Ableitung der Funktion \(c\) aus Aufgabenteil (i) mittels der bekannten Ableitungsregeln.
mfg
thureduehrsen
[Verschoben aus Forum 'Differentialgleichungen' in Forum 'Mehrdim. Differentialrechnung' von thureduehrsen]\(\endgroup\)
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Erdbeere99
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| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2022-05-16
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Es gilt ja c(t) := f(x(t), y(t)), wobei f(x,y):= g(y)+h(x). Ich bin mir allerdings unsicher, wie ich die Funktionen verstehen soll.
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thureduehrsen
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| Beitrag No.3, eingetragen 2022-05-16
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\(\begingroup\)\(\newcommand{\id}{\operatorname{id}}\)
Die Notation, insb. die Überladung von \(x\) und \(y\), ist unschön, ja.
Aufgabenteil (i) sollte also z.B. lauten
Wenn \(I\subseteq \mathbb{R}\) ein Intervall ist und wenn \(u,\,v:I\to\mathbb{R}\) differenzierbar sind mit \(u' = \alpha\,u-\beta\,u\,v\) und \(v'= -\gamma\,v + \delta\,u\,v\), dann ist die durch \(c(t):=f(u(t), v(t))\) für alle \(t\in I\) definierte Funktion \(c:I\to\mathbb{R}\) konstant.
mfg
thureduehrsen
\(\endgroup\)
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Erdbeere99
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| Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2022-05-16
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Das habe ich schon verstanden. Hilft mir aber nicht
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thureduehrsen
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| Beitrag No.5, eingetragen 2022-05-16
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Ich weiß nicht, wo ich helfenderweise ansetzen soll.
mfg
thureduehrsen
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Erdbeere99
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| Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2022-05-16
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Du könntest mir einfach zeigen, wie die Funktion c aussieht, also einsetzten. Dann kann ich bestimmt die Ableitung bilden
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PhysikRabe
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 | Beitrag No.7, eingetragen 2022-05-16
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\quoteon(2022-05-16 14:05 - Erdbeere99 in Beitrag No. 6)
Du könntest mir einfach zeigen, wie die Funktion c aussieht, also einsetzten.
\quoteoff
Es ist doch alles gegeben und du musst, wie du richtig schreibst, nur einsetzen und ableiten (Kettenregel beachten).
Grüße,
PhysikRabe
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thureduehrsen
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| Beitrag No.8, eingetragen 2022-05-16
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\(\begingroup\)\(\newcommand{\id}{\operatorname{id}}\)
Also ich komme auf
\[
c(t) = \gamma\,\ln(u(t)) + \alpha\,\ln(v(t)) - \beta\,v(t) - \delta\,u(t)
\]
Kommst du auch bis hierher?
Wenn ja, was passiert, wenn du das ableitest?
mfg
thureduehrsen\(\endgroup\)
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Erdbeere99
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| Beitrag No.9, vom Themenstarter, eingetragen 2022-05-16
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Das habe ich auch.
Durch das Ableiten komme ich, wenn ich nichts falsch gemacht habe auf:
c'(t) = (γ/u(t))*u'(t)+(α/v(t))*v'(t)−βv'(t)−δu'(t)
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thureduehrsen
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| Beitrag No.10, eingetragen 2022-05-16
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Sieht gut aus.
Was ist jetzt der nächste Schritt?
mfg
thureduehrsen
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Erdbeere99
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| Beitrag No.11, vom Themenstarter, eingetragen 2022-05-16
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Einsetzten? Und dann mit viel Glück was rauskürzen?
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thureduehrsen
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| Beitrag No.12, eingetragen 2022-05-16
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\(\begingroup\)\(\newcommand{\id}{\operatorname{id}}\)
Richtig. Jetzt nutze die Eigenschaften, die du über die Ableitungen von \(u\) und \(v\) gegeben hast.
mfg
thureduehrsen
\(\endgroup\)
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Erdbeere99
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| Beitrag No.13, vom Themenstarter, eingetragen 2022-05-16
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irdendwie sehe ich aber nichts, was man kürzen kann. Oder ich habe falsch eingesetzt
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thureduehrsen
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| Beitrag No.14, eingetragen 2022-05-16
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\(\begingroup\)\(\newcommand{\id}{\operatorname{id}}\)
Dann schreibe doch mal auf, was du gemacht hast.
Bitte benutze \(\LaTeX\)-Syntax, dann können wir es besser lesen.
Die Ausgabe
\[
\begin{align}
a &= b & \text{Def.}\\
&= c & \text{Begründung}\\
\end{align}
\]
bekommst du durch Eingabe von
\sourceon LaTeX
\numberson
\[
\begin{align}
a &= b & \text{Def.}\\
&= c & \text{Begründung}\\
\end{align}
\]
\sourceoff
Noch ein Beispiel: Die Ausgabe
\[
c(t) = \gamma\,\ln(u(t)) + \alpha\,\ln(v(t)) - \beta\,v(t) - \delta\,u(t)
\]
bekommst du durch Eingabe von
\sourceon LaTeX
\numberson
\[
c(t) = \gamma\,\ln(u(t)) + \alpha\,\ln(v(t)) - \beta\,v(t) - \delta\,u(t)
\]
\sourceoff
Siehe auch Wikipedia: Hilfe: TeX und dort insb. den Abschnitt Beispiele.
mfg
thureduehrsen\(\endgroup\)
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Erdbeere99
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| Beitrag No.15, vom Themenstarter, eingetragen 2022-05-16
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ich habs probiert, aber ich bekomme es mit der Schweibweise nicht hin
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PhysikRabe
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| Beitrag No.16, eingetragen 2022-05-16
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\quoteon(2022-05-16 19:08 - Erdbeere99 in Beitrag No. 15)
ich habs probiert, aber ich bekomme es mit der Schweibweise nicht hin
\quoteoff
Du meinst mit LaTeX? Dann lass das und schreib es so hin, wie du es schon gemacht hast. Du musst wirklich nur stur die Ausdrücke für $u'$ und $v'$ in $c'(t)$ einsetzen, und dann sehen, dass sich alles aufhebt und null ergibt. Das ist jetzt wirklich nicht mehr schwierig.
Grüße,
PhysikRabe
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Erdbeere99
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| Beitrag No.17, vom Themenstarter, eingetragen 2022-05-16
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Es kommt nicht null raus.
Muss ich für u(t) und v(t) die stammfunktion von u und v nehmen?
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thureduehrsen
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| Beitrag No.18, eingetragen 2022-05-16
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\(\begingroup\)\(\newcommand{\id}{\operatorname{id}}\)
Hallo Erdbeere99,
es gilt
\[
\begin{array}{\themyrowcccccccccc}
c(t) &=& \gamma\,\ln(u(t)) &+& \alpha\,\ln(v(t)) &-&\beta\,v(t) &-&\delta\,u(t)&\qquad\qquad(1)\\[4mm]
c'(t) &=& \dfrac{\gamma\,u'(t)}{u(t)} &+& \dfrac{\alpha\,v'(t)}{v(t)} &-&\beta\,v'(t) &-&\delta\,u'(t)&\qquad\qquad(2)
\end{array}
\]
Das hast du ja schon selbst hergeleitet.
Was passiert nun, wenn du auf der rechten Seite von \((2)\) den Term \(\color{red}{u'(t)}\) durch einen anderen ersetzt, und zwar einen solchen, den du aus der Gleichung
\[
\color{red}{u'(t)} = \color{green}{\alpha\,u(t)-\beta\,u(t)\,v(t)}
\]
gewinnst, vgl. Beitrag No. 3?
Auf lange Sicht führt an \(\LaTeX\) kein Weg vorbei. Das gilt insb. für deine Abschlussarbeit.
mfg
thureduehrsen
[Die Antwort wurde nach Beitrag No.15 begonnen.]\(\endgroup\)
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thureduehrsen
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| Beitrag No.19, eingetragen 2022-05-16
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\quoteon(2022-05-16 21:24 - Erdbeere99 in Beitrag No. 17)
Es kommt nicht null raus.
Muss ich für u(t) und v(t) die stammfunktion von u und v nehmen?
\quoteoff
Die Stammfunktion? Wie kommst du darauf?
Fotografiere deine Rechnungen ab und lade sie hier hoch, wenn es sein muss.
Aber wie PhysikRabe schon sagte, jetzt ist wirklich nicht mehr viel zu tun.
mfg
thureduehrsen
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Erdbeere99
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| Beitrag No.20, vom Themenstarter, eingetragen 2022-05-16
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https://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/b/54623_20220516_2149171.jpg
Ich habe mit der ursprünglichen Notation gearbeitet
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PhysikRabe
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| Beitrag No.21, eingetragen 2022-05-16
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Doch, es kommt $0$ heraus, wenn du die Vorzeichen richtig abgeschrieben hättest. In der ersten Zeile deiner Rechnung muss der zweite Term ein $+$ haben, also
\[
\frac{\gamma (\alpha x(t) - \beta x(t) y(t))}{x(t)} \, \color{red}{+} \, \frac{\alpha (-\gamma y(t) + \delta x(t) y(t))}{y(t)} \, \ldots
\]
Grüße,
PhysikRabe
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Erdbeere99
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| Beitrag No.22, vom Themenstarter, eingetragen 2022-05-16
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Stimmt, danke.
Kann mir auch jemand bei der zweiten Teilaufgabe helfen?
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PhysikRabe
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| Beitrag No.23, eingetragen 2022-05-16
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\quoteon(2022-05-16 22:20 - Erdbeere99 in Beitrag No. 22)
Kann mir auch jemand bei der zweiten Teilaufgabe helfen?
\quoteoff
Sicher, wenn du etwas Eigeninitiative zeigst und uns berichtest, was du dir bisher überlegt hast. "Keine Ahnung" ist zu wenig. Nach der Aufgabenstellung ist ja ziemlich klar, was zu tun ist.
Übrigens würde ich empfehlen, die verbesserte Notation von thureduehrsen zu übernehmen; die Notation in der Aufgabenstellung ist missverständlich und birgt die Gefahr, Fehler zu machen...
Grüße,
PhysikRabe
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thureduehrsen
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| Beitrag No.24, eingetragen 2022-05-16
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\(\begingroup\)\(\newcommand{\id}{\operatorname{id}}\)
Ich habe gewisse Probleme, die Aufgabe (ii) zu verstehen:
\quoteon(2022-05-16 08:21 - Erdbeere99 im Themenstart)
Seien α,β,γ,δ >0 und g,h: (0,∞)→ℝ und f: (0,∞)²→ℝ geben durch g(y):= α lny -βy, h(x):= γ lnx- δx, f(x,y):= g(y)+h(x) für x,y>0.
Gezeigt werden soll:
(i) Wenn ∅≠ I⊂ℝ ein Intervall ist und wenn x,y: I→ℝ differenzierbar sind mit x' = αx -βxy; y' = -γy + δxy, dann ist die Funktion definiert durch c : I→ℝ , c(t) := f(x(t), y(t)) konstant.
(ii) g und h haben beide ein Maximum mg bzw. mh, und mit m := mg +mh gilt:
(a) m < c ⇒ f(x, y) = c hat keine Lösung.
(b) m = c ⇒ f(x, y) = c hat genau eine Lösung.
(c) m > c ⇒ Es gibt eindeutige x1 ∈ (0, γ/δ ) und x2 ∈ ( γ/δ, ∞) mit h(x1) = h(x2) = c - mg und h(γ/δ) ≠ c - mg
\quoteoff
Im Teil (ii) ist \(c\) eine freie Variable. Man kann das nun so lesen, dass damit der Wert der konstanten Funktion \(c\) aus Teil (i) gemeint ist..... aber ist das gerechtfertigt?
mfg
thureduehrsen
\(\endgroup\)
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PhysikRabe
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| Beitrag No.25, eingetragen 2022-05-16
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\quoteon(2022-05-16 22:46 - thureduehrsen in Beitrag No. 24)
Im Teil (ii) ist \(c\) eine freie Variable. Man kann das nun so lesen, dass damit der Wert der konstanten Funktion \(c\) aus Teil (i) gemeint ist..... aber ist das gerechtfertigt?
\quoteoff
Ich hatte das genau so interpretiert. Würde es sich um ein anderes konstantes $c$ handeln, dann wäre der Aufbau der ganzen Aufgabe seltsam, und ich bin mir nicht sicher, ob die Aussage (ii)(c) überhaupt sinnvoll wäre. Aber du hast Recht: Auch hier ist die Formulierung missverständlich.
@Erdbeere99: Ist das der originale Wortlaut der Aufgabe? Falls nicht, könntest du diesen bitte nachreichen?
Grüße,
PhysikRabe
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Erdbeere99
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| Beitrag No.26, vom Themenstarter, eingetragen 2022-05-16
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Das ist der originale Wortlaut. Die Aufgabe ist lediglich auf Englisch gestellt und ich habe es ins Deutsche übertragen. Dabei habe ich aber alls Variablen wie im Original gelassen.
Ich bin auch nicht sicher, ob das c in (ii) eine neue Konstante ist oder das c aus (i)
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thureduehrsen
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| Beitrag No.27, eingetragen 2022-05-16
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Dann haben wir jetzt ein ernstes Problem.
Findet man die englische Quelle irgendwo online?
mfg
thureduehrsen
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Erdbeere99
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| Beitrag No.28, vom Themenstarter, eingetragen 2022-05-16
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Erdbeere99
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| Beitrag No.29, vom Themenstarter, eingetragen 2022-05-16
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Aber aus (a) m < c ⇒ f(x, y) = c in (ii) würde ich sagen, dass das c bei m
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thureduehrsen
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| Beitrag No.30, eingetragen 2022-05-16
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\(\begingroup\)\(\newcommand{\id}{\operatorname{id}}\)
Das denke ich auch.
Schauen wir uns also die folgende Aufgabe an.
(ii)
Mit \(\hat c\) sei der Wert der Funktion \(c\) aus Teil (i) bezeichnet.
Man zeige, dass die Funktionen \(g\) und \(h\) jeweils ihr Maximum \(m_g\) bzw. \(m_h\) annehmen und dass mit \(m := m_g +m_h\) gilt:
- Ist \(m < \hat c\), so hat die Gleichung \(f(x, y) = \hat c\) keine Lösung.
- Ist \(m = \hat c\), so hat die Gleichung \(f(x, y) = \hat c\) genau eine Lösung.
- Ist \(m > \hat c\), so gibt es eindeutig bestimmte \(x_1 \in (0, \gamma/\delta)\) und \(x_2 \in (\gamma/\delta, \infty)\) mit \(h(x_1) = h(x_2) = \hat c - m_g\). Zudem gilt \(h(\gamma/\delta) \neq \hat c - m_g\).
Der erste Schritt ist also, zu zeigen, dass die Funktionen \(g\) und \(h\) jeweils ihr Maximum \(m_g\) bzw. \(m_h\) annehmen.
mfg
thureduehrsen\(\endgroup\)
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Erdbeere99
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| Beitrag No.31, vom Themenstarter, eingetragen 2022-05-17
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Wie zeige ich das? Bzw. eigentlich wird das doch laut Aufgabenstellung angenommen und ich muss es nicht zeigen, oder?
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thureduehrsen
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| Beitrag No.32, eingetragen 2022-05-17
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\(\begingroup\)\(\newcommand{\id}{\operatorname{id}}\)
Ich interpretiere den Beitrag No. 1 so, dass auch die Tatsache, dass \(g\) und \(h\) ihr Maximum annehmen, ausdrücklich nachgewiesen werden soll.
\quoteon(2022-05-16 08:21 - Erdbeere99 im Themenstart)
Gezeigt werden soll:
[...]
(ii) g und h haben beide ein Maximum mg bzw. mh, [...]
\quoteoff
Wie man das macht? Ich würde die Ableitung gleich Null setzen.
mfg
thureduehrsen\(\endgroup\)
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Erdbeere99
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| Beitrag No.33, vom Themenstarter, eingetragen 2022-05-17
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Dann komme ich für g(y) auf 0= alpha}/y - beta und für h(x) auf 0=gamma/x -delta
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PhysikRabe
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| Beitrag No.34, eingetragen 2022-05-17
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\quoteon(2022-05-17 09:28 - Erdbeere99 in Beitrag No. 33)
Dann komme ich für g(y) auf 0= alpha}/y - beta und für h(x) auf 0=gamma/x -delta
\quoteoff
Und was sind jetzt die gesuchten Maxima? Wie geht es weiter?
Du musst schon selbst was machen. Es ist auch nicht sinnvoll, bei jedem elementaren Schritt wieder einen Beitrag zu schreiben. Es ist deine Übungsaufgabe. Rechne vor, wie weit du gekommen bist, und stelle konkrete Fragen zu Dingen, bei denen du wirklich nicht weiter weißt. Dann helfen wir dir natürlich gerne. Aber du solltest doch hoffentlich wissen, wie man die Extrema von Funktionen bestimmt... (?)
Grüße,
PhysikRabe
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Erdbeere99
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| Beitrag No.35, vom Themenstarter, eingetragen 2022-05-17
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Es wäre auch sehr freundlich, wenn man weniger vorwurfsvoll antworten würde.
Es gibt Menschen, die fragen hier nicht ohne Grund. Man kann auch mal absolut keine Ahnung haben und da wäre eine wirkliche Hilfe auch mal nett.
Natürlich kann ich die Extrema von Funktionen bestimmen, aber ich bin mit den ganzen Variablen überfordert, deshalb arbeite ich auch so kleinschrittig.
Ich komme mit dieser Aufgabe einfach gar nicht klar und weiß auch nicht, wie ich jedes Mal weiter gehen soll. Mir fallen die Arbeitsschritte ziemlich schwer.
Danke!
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Erdbeere99
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| Beitrag No.36, vom Themenstarter, eingetragen 2022-05-17
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Ich habe jetzt als Maxima
bei g(h): alpha/beta, das ist ein Maximum, weil es in die zweite Ableitung eingesetzt kleiner Null ist, wegen alpha und beta größer 0
bei h(x): gamma/delta und die Argumentation für das Maximum ist analog
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PhysikRabe
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| Beitrag No.37, eingetragen 2022-05-17
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\quoteon(2022-05-17 09:48 - Erdbeere99 in Beitrag No. 35)
Es wäre auch sehr freundlich, wenn man weniger vorwurfsvoll antworten würde.
Es gibt Menschen, die fragen hier nicht ohne Grund.
\quoteoff
Das ergibt keinen Sinn. Bitte lies nochmal genau, was ich geschrieben habe. Erstens habe ich dir keine Vorwürfe gemacht, und zweitens enthält dein letzter Beitrag gar keine Frage, auf die man antworten könnte. Ich zitiere:
\quoteon(2022-05-17 09:28 - Erdbeere99 in Beitrag No. 33)
Dann komme ich für g(y) auf 0= alpha}/y - beta und für h(x) auf 0=gamma/x -delta
\quoteoff
... ja, und nun? Wie geht es weiter? Es ist hier ja noch nichts wirklich passiert, außer dass du abgeleitet hast. Die Aufgabe war, die Maxima der Funktionen zu bestimmen. Du behauptest aber:
\quoteon(2022-05-17 09:48 - Erdbeere99 in Beitrag No. 35)
Natürlich kann ich die Extrema von Funktionen bestimmen
\quoteoff
Also, wie sehen die Maxima nun aus?
Es tut mir leid, dir das sagen zu müssen, aber das Studium erfordert nun einmal ein gewisses Maß an Eigeninitiative -- und dass du dich einfach traust, weiter zu rechnen. Wir reden hier ja auch nicht von übermäßig komplizierten Dingen. Im konkreten Fall musst du die Gleichungen nach $x$ und $y$ umstellen. Das sollte doch möglich sein... 🙃
EDIT:
\quoteon(2022-05-17 10:03 - Erdbeere99 in Beitrag No. 36)
Ich habe jetzt als Maxima
bei g(h): alpha/beta, das ist ein Maximum, weil es in die zweite Ableitung eingesetzt kleiner Null ist, wegen alpha und beta größer 0
bei h(x): gamma/delta und die Argumentation für das Maximum ist analog
\quoteoff
Richtig!
Grüße,
PhysikRabe
[Die Antwort wurde nach Beitrag No.35 begonnen.]
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Erdbeere99
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Mitteilungen: 142
| Beitrag No.38, vom Themenstarter, eingetragen 2022-05-17
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Das Maximum von g(y) ist y= alpha /beta und von h(x) ist es x= gamma/delta
Wie kann ich nun die Implikationen zeigen? Ich weiß nicht, wie ich das jetzt mit der Funktion aus (i) in Verbindung bringen soll
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thureduehrsen
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| Beitrag No.39, eingetragen 2022-05-17
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\(\begingroup\)\(\newcommand{\id}{\operatorname{id}}\)
\quoteon(2022-05-17 10:28 - Erdbeere99 in Beitrag No. 38)
Wie kann ich nun die Implikationen zeigen? Ich weiß nicht, wie ich das jetzt mit der Funktion aus (i) in Verbindung bringen soll
\quoteoff
Mache dir einmal eine Skizze, in der du die Standardparabel \(y=x^2\) und einige Parallelen zur \(x\)-Achse einzeichnest.
Das sollte dich auf Ideen bringen.
mfg
thureduehrsen\(\endgroup\)
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