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Mathematik » Geometrie » Isogenie elliptischer Kurven
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Universität/Hochschule Isogenie elliptischer Kurven
mathben23
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Mitteilungen: 2
  Themenstart: 2022-04-29

Hi zusammen, das ist mein erster Beitrag, ich hoffe ich mache alles richtig, verzeiht wenn nicht, danke. Ich habe ein Verständnisproblem im Zusammenhang zur Isogenie von elliptischen Kurven. Im Buch "Arithmetics of elliptic curves" von Silverman werden Isogenien definiert. Dort steht unter anderem, dass eine Abbildung (\[2]: E \rightarrow E\), sodass \([m](P)=P+P\) ist, ein Morphismus ist. Daraus folgt, dass [2] eine Isogenie ist, da offensichtlich \([2](\mathcal{O}) = \mathcal{O}\) ist. Weiter steht in dem Buch, dass eine Isogenie entweder konstant oder surjektiv ist. Möchte ich dies aber nun nachrechnen an einem einfachen Zahlenbeispiel, ist die definierte Abbildung nicht surjektiv. Beispiel: Als Kurve nehme ich \(E: y^2=x^3+x+3\) mit \(K=F_7\) Alle Punkte werden dann auf einen der folgende Punkte abgebildet: \(\mathcal{O}, (6,6), (6,1)\) Das heißt, die Punkte \((4,1), (4,6), (5,0)\) haben kein Urbild und meine Isogenie ist nicht surjektiv. Ich muss also etwas falsch verstanden haben, mir ist leider nicht klar was. Vielleicht kann mir hier jemand helfen, ich würde mich freuen. VG


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kurtg
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  Beitrag No.1, eingetragen 2022-04-29

"Surjektiv" heißt hier: Auf der Varietät. Deine Punkte haben schon Urbilder, bloß eben über einer endlichen Erweiterung des Grundkörpers. Das Fehlschlagen der Surjektivität von $[n]$ ($n$ invertierbar in $K$) auf $K$-rationalen Punkten wird beschrieben durch $0 \to E(K)/n \to H^1(K,E[n]) \to H^1(K,E)[n] \to 0$. Für $K$ endlich ist $H^1(K,E) = 0$ (Satz von Lang[-Steinberg]) und $H^1(K,E[n])$ kannst du mit der Hochschild-Serre-Spektralsequenz über einem Erweiterungskörper $K'$ ausrechnen, für den $E[n] \cong (\mu_n)^2$ als Galoismodul, z.B. $K' = K(E[n])$. Dort gilt $H^1(K',\mu_n) = K'^\times/n$.


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mathben23
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  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2022-04-29

Ah ok, danke für die schnelle Antwort, dies macht mir das Thema deutlich klarer. VG


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kurtg
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Mitteilungen: 1279
  Beitrag No.3, eingetragen 2022-04-30

Wenn du $E(K)$ kennst, kannst du $E(K)/n$ natürlich auch direkt ausrechnen.


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