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Mathematik » Geometrie » Korollar zum Satz des Desargues
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Universität/Hochschule J Korollar zum Satz des Desargues
nitram999
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  Themenstart: 2022-04-22

Hallo, ein Korollar zum Satz von Desargues besagt: Sei E eine projektive Ebene, die als echter Unterraum eines projektiven Raums P auftritt. Dann ist E desarguessch. Ich habe nun eine Frage zum Beweis. Also klar ist, da E ein echter Unterraum ist, dass P disjunkte Geraden enthält und somit desarguessch ist. Warum folgt nun aber weiter, dass auch E desarguessch ist? LG nitram999


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nitram999
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  Beitrag No.1, vom Themenstarter, eingetragen 2022-04-29

Kann mir hier vielleicht noch jemand helfen? Im Skript steht es so, als ob diese Tatsache trivial ist. Also ist einfach jede projektive Ebene als Teilmenge eines projektiven desarguesschen Raums auch desarguessch?


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zippy
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  Beitrag No.2, eingetragen 2022-04-29

\quoteon(2022-04-29 17:52 - nitram999 in Beitrag No. 1) Im Skript steht es so, als ob diese Tatsache trivial ist. \quoteoff Und genauso ist es auch. Betrachte in einer projektiven Ebene $E$ zwei Dreiecke, die die Voraussetzungen des Satzes von Desargues erfüllen, und konstruiere die drei Punkte, die auf einer Geraden liegen sollten. Wenn $E$ Teilraum eines desarguesschen projektiven Raums $P$ ist, liegen diese drei Punkte auf einer Geraden in $P$. Jetzt mach dir klar, dass diese Gerade tatsächlich in $E$ liegt. --zippy


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nitram999
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  Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2022-04-30

Ja intuitiv müssen diese drei Punkte auch in der Ebene liegen, aber ich weiß nicht genau, wie man da argumentieren kann. Kannst du mir vielleicht einen Tipp geben? LG nitram999


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zippy
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  Beitrag No.4, eingetragen 2022-04-30

\quoteon(2022-04-30 14:22 - nitram999 in Beitrag No. 3) Ja intuitiv müssen diese drei Punkte auch in der Ebene liegen, aber ich weiß nicht genau, wie man da argumentieren kann. \quoteoff An dieser Stelle gibt es noch nichts zu argumentieren, denn die Konstruktion, die von den gegebenen beiden Dreiecken zu den drei Punkten führt, läuft vollständig in $E$ ab. Erst danach muss man argumentieren: Dass $P$ desarguessch ist, sichert die Existenz einer Geraden in $P$, die durch die drei Punkte geht. Jetzt muss man begründen, dass diese Gerade in $E$ liegt. Diese Begründung ist aber völlig offensichtlich.


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nitram999
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  Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2022-04-30

Liegt das dann daran, dass eine solche Konstruktion immer in einer Ebene stattfindet?


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nitram999
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  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2022-05-01

Noch als zusätzliche Frage: Stimmt es, dass in einem projektiven Raum P mit dim P > 2 gilt, dass P disjunkte Geraden hat? Ich hätte gesagt ja, weil die Dimension des Raumes ja mindestens 3 ist und dieser somit eine projektive Ebene als echten Unterraum haben muss. Daraus würde dann ja folgen, dass alle projektiven Räume mit dim P > 2 desarguessch sind. Das heißt Probleme mit desarguessch-Sein kann nur für projektive Ebenen oder proj. Räume mit Dimension 1 auftreten. Stimmen meine Gedanken? LG nitram999


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