MP: Seitenwinkelbeziehungen im Dreieck - Lücke in der Beweiskette (Forum Matroids Matheplanet)

Erinnerung: \quoteon $\textsf{(1)}$ Im Dreieck liegt der längeren von zwei Seiten der größere Winkel gegenüber. Umgekehrt liegt dem größeren von zwei Winkeln die längere Seite gegenüber. Folgerungen: $\textsf{(2)}$ Der längsten Seite liegt der größte Winkel gegenüber. Umgekehrt liegt dem größten Winkel die längste Seite gegenüber. $\textsf{(3)}$ Gleichlangen Seiten liegen gleichgroße Winkel gegenüber. Umgekehrt liegen gleichgroßen Winkeln gleichlange Seiten gegenüber. (Basiswinkelsatz) \quoteoff Ziel: Beweiskette: (3), (3) ⇒ (1), (1) ⇒ (2). Voraussetzung: Die Kongruenzssätze sind bekannt. Beweis (3) $a=b ~\Rightarrow~ \alpha=\beta.$ Sei $ABC$ ein gleichschenkliges Dreieck mit $|AC|=a$ und $|BC|=a.$ $\def\WSW{0}% 0 SWS, 1 WSW % Gegebene Größen \pgfmathsetmacro{\a}{3.1} % \pgfmathsetmacro{\b}{3.1} % \pgfmathsetmacro{\c}{2.7} % \pgfmathsetmacro{\Alpha}{acos((\b^2+\c^2-\a^2)/(2*\b*\c))} % \pgfmathsetmacro{\Beta}{acos((\a^2+\c^2-\b^2)/(2*\a*\c))} % \pgfmathsetmacro{\Gamma}{acos((\a^2+\b^2-\c^2)/(2*\a*\b))} % \pgfmathsetmacro{\hc}{\a*sin(\Alpha)} % \pgfmathsetmacro{\pc}{sqrt(\b^2-\hc^2)} % \pgfmathsetlengthmacro{\s}{1cm} \pgfmathsetlengthmacro{\ss}{\s+6mm} \pgfkeys{/tikz/savevalue/.code 2 args={\global\edef#1{#2}}} \begin{tikzpicture}[%scale=0.7, font=\footnotesize, background rectangle/.style={draw=none, fill=black!1, rounded corners}, %show background rectangle, Punkt/.style 2 args={ label={[#1]:$#2$} }, Dreieck/.style={thick}, ] % Annotationen - Dreieck % Konkruenzfälle \ifnum\WSW=1%======================== %% WSW \coordinate[label=below:$A$] (A) at (0,0); \coordinate[label=below:$B$] (B) at (\c,0); \coordinate[label=$C$] (C) at (\Alpha:\b); \coordinate[label=below:$H$] (Hc) at (\pc,0); \draw pic [draw, angle radius=5mm, %angle eccentricity=0.75, "$\alpha$", red, fill=red!33 ] {angle =B--A--C}; \draw pic [draw, angle radius=5mm,% angle eccentricity=0.75, "$\alpha$", red, fill=red!33 ] {angle =C--B--A}; \draw pic [draw, angle radius=9mm, angle eccentricity=0.75, "$\gamma_1$", red, fill=red!33 ] {angle =A--C--Hc}; \draw pic [draw, angle radius=9mm, angle eccentricity=0.75, "$\gamma_2$", red, fill=red!33 ] {angle =Hc--C--B}; \draw[] (A) -- (B) -- (C) --cycle; \path[] (A) -- (C) node[midway, left]{$b$}; \path[] (B) -- (C) node[midway, right]{$a$}; % Hc und rechte Winkel \draw pic [draw, angle radius=4mm, %angle eccentricity=0.75, "$\cdot$", red, fill=red!33 ] {angle =C--Hc--A}; \draw pic [draw, angle radius=4mm, %angle eccentricity=0.75, "$\cdot$", red, fill=red!33 ] {angle =B--Hc--C}; \draw[red] (C) -- (Hc); %% Punkte \foreach \P in {Hc} \draw[fill=black!1] (\P) circle (1.5pt); % \else%===================== %% SWS: \tikzset{rotate=12.5, every label/.style={text=black, inner sep=2pt}, } \coordinate[label=left:$A$] (A) at (0,0); \coordinate[label=45:$B$] (B) at (\c,0); \path[] ($(A)!0.5!(B)$) -- +($(A)!\hc cm!90:(B)$) coordinate[label=$C$] (C); \draw pic [draw, angle radius=6mm, angle eccentricity=0.75, "$\alpha$", ] {angle =B--A--C}; \draw pic [draw, angle radius=6mm, angle eccentricity=0.75, "$\beta$", ] {angle =C--B--A}; \draw pic [draw, angle radius=6mm, angle eccentricity=0.75, "$\gamma$", ] {angle =A--C--B}; \draw[] (A) -- (B); \draw[red] (A) -- (C) node[midway, left]{$a$}; \draw[red] (B) -- (C) node[midway, right]{$a$}; \draw[] (A) -- ($(A)!-\ss!(C)$) node[right]{$$}; \draw[red] (A) -- ($(A)!-\s!(C)$) coordinate[label=left:$D$](D); \path[] (A) -- (D) node[red, midway, left]{$s$}; \draw[] (B) -- ($(B)!-\ss!(C)$) node[left]{$$}; \draw[red] (B) -- ($(B)!-\s!(C)$) coordinate[label=45:$E$](E); \path[] (B) -- (E) node[red, midway, right]{$s$}; \draw[red] (D) -- (B); \draw[red] (E) -- (A); \draw pic [draw, angle radius=6mm, angle eccentricity=0.675, "$\delta_1$", red, double, %fill=red!33 ] {angle =B--D--C}; \draw pic [draw, angle radius=6mm, angle eccentricity=0.675, "$\delta_2$", red, double, %fill=red!33 ] {angle =C--E--A}; \draw pic [draw, angle radius=10mm, angle eccentricity=0.85, "$\varepsilon_2$", red, ] {angle =E--A--B}; \draw pic [draw, angle radius=10.5mm, angle eccentricity=0.85, "$\varepsilon_1$", red, ] {angle =A--B--D}; %% Punkte \foreach \P in {A,D,B,E} \draw[fill=black!1] (\P) circle (1.5pt); \fi%======================== \end{tikzpicture}$ Verlängert man $|CA|$ um eine Strecke $s$, Endpunkt sei $D$; und verlängert man $|CB|$ um die gleiche Strecke $s$, Endpunkt sei $E$; dann gilt für die Dreiecke $DBC$ und $ECA$ der Kongruenzfall SWS; denn · $|BC| =|AC| =a$ · $\sphericalangle DCB =\sphericalangle ACE =\gamma$ · $|CD| =|CE| =a+s$ Entsprechend müssen auch die restlichen Seiten und Winkel übereinstimmen, insbesondere $\sphericalangle BDA =: \delta_1 =\delta_2 := \sphericalangle CEA$ und insbesondere $|AE| =|BD|.$ Damit gilt auch für die Dreiecke $ADE$ und $ABE$ der Kongruenzfall SWS; denn · $|AD| = |BE| =s$ · $\sphericalangle BDA =: \delta_1 =\delta_2 := \sphericalangle CEA$ · $|AE| =|BD|$ Entsprechend müssen auch die restlichen Seiten und Winkel übereinstimmen, insbesondere $\sphericalangle ABD =: \varepsilon_1 =\varepsilon_2 :=\sphericalangle EAB.$ Da in den kongruenten Dreiecken $DBC$ und $ECA$ nunmehr $\sphericalangle EAC = \alpha+\varepsilon_2 =\beta+\varepsilon_1 =\sphericalangle DBC$ gilt, wird mit $\varepsilon_1 =\varepsilon_2$ endlich $\alpha =\beta.$ $\square$ Beweis (3) $\alpha=\beta ~\Rightarrow~ a=b.$ Sei $ABC$ ein Dreieck mit $\alpha =\beta$. $ \def\WSW{1}% 0 SWS, 1 WSW % Gegebene Größen \pgfmathsetmacro{\a}{3.1} % \pgfmathsetmacro{\b}{3.1} % \pgfmathsetmacro{\c}{2.7} % \pgfmathsetmacro{\Alpha}{acos((\b^2+\c^2-\a^2)/(2*\b*\c))} % \pgfmathsetmacro{\Beta}{acos((\a^2+\c^2-\b^2)/(2*\a*\c))} % \pgfmathsetmacro{\Gamma}{acos((\a^2+\b^2-\c^2)/(2*\a*\b))} % \pgfmathsetmacro{\hc}{\a*sin(\Alpha)} % \pgfmathsetmacro{\pc}{sqrt(\b^2-\hc^2)} % \pgfmathsetlengthmacro{\s}{1cm} \pgfmathsetlengthmacro{\ss}{\s+6mm} \pgfkeys{/tikz/savevalue/.code 2 args={\global\edef#1{#2}}} \begin{tikzpicture}[%scale=0.7, font=\footnotesize, background rectangle/.style={draw=none, fill=black!1, rounded corners}, %show background rectangle, Punkt/.style 2 args={ label={[#1]:$#2$} }, Dreieck/.style={thick}, ] % Annotationen - Dreieck % Konkruenzfälle \ifnum\WSW=1%======================== %% WSW \coordinate[label=below:$A$] (A) at (0,0); \coordinate[label=below:$B$] (B) at (\c,0); \coordinate[label=$C$] (C) at (\Alpha:\b); \coordinate[label=below:$H$] (Hc) at (\pc,0); \draw pic [draw, angle radius=5mm, %angle eccentricity=0.75, "$\alpha$", red, fill=red!33 ] {angle =B--A--C}; \draw pic [draw, angle radius=5mm,% angle eccentricity=0.75, "$\alpha$", red, fill=red!33 ] {angle =C--B--A}; \draw pic [draw, angle radius=9mm, angle eccentricity=0.75, "$\gamma_1$", red, fill=red!33 ] {angle =A--C--Hc}; \draw pic [draw, angle radius=9mm, angle eccentricity=0.75, "$\gamma_2$", red, fill=red!33 ] {angle =Hc--C--B}; \draw[] (A) -- (B) -- (C) --cycle; \path[] (A) -- (C) node[midway, left]{$b$}; \path[] (B) -- (C) node[midway, right]{$a$}; % Hc und rechte Winkel \draw pic [draw, angle radius=4mm, %angle eccentricity=0.75, "$\cdot$", red, fill=red!33 ] {angle =C--Hc--A}; \draw pic [draw, angle radius=4mm, %angle eccentricity=0.75, "$\cdot$", red, fill=red!33 ] {angle =B--Hc--C}; \draw[red] (C) -- (Hc); %% Punkte \foreach \P in {Hc} \draw[fill=black!1] (\P) circle (1.5pt); % \else%===================== %% SWS: \tikzset{rotate=12.5, every label/.style={text=black, inner sep=2pt}, } \coordinate[label=left:$A$] (A) at (0,0); \coordinate[label=45:$B$] (B) at (\c,0); \path[] ($(A)!0.5!(B)$) -- +($(A)!\hc cm!90:(B)$) coordinate[label=$C$] (C); \draw pic [draw, angle radius=6mm, angle eccentricity=0.75, "$\alpha$", ] {angle =B--A--C}; \draw pic [draw, angle radius=6mm, angle eccentricity=0.75, "$\beta$", ] {angle =C--B--A}; \draw pic [draw, angle radius=6mm, angle eccentricity=0.75, "$\gamma$", ] {angle =A--C--B}; \draw[] (A) -- (B); \draw[red] (A) -- (C) node[midway, left]{$a$}; \draw[red] (B) -- (C) node[midway, right]{$a$}; \draw[] (A) -- ($(A)!-\ss!(C)$) node[right]{$$}; \draw[red] (A) -- ($(A)!-\s!(C)$) coordinate[label=left:$D$](D); \path[] (A) -- (D) node[red, midway, left]{$s$}; \draw[] (B) -- ($(B)!-\ss!(C)$) node[left]{$$}; \draw[red] (B) -- ($(B)!-\s!(C)$) coordinate[label=45:$E$](E); \path[] (B) -- (E) node[red, midway, right]{$s$}; \draw[red] (D) -- (B); \draw[red] (E) -- (A); \draw pic [draw, angle radius=6mm, angle eccentricity=0.675, "$\delta_1$", red, double, %fill=red!33 ] {angle =B--D--C}; \draw pic [draw, angle radius=6mm, angle eccentricity=0.675, "$\delta_2$", red, double, %fill=red!33 ] {angle =C--E--A}; \draw pic [draw, angle radius=10mm, angle eccentricity=0.85, "$\varepsilon_2$", red, ] {angle =E--A--B}; \draw pic [draw, angle radius=10.5mm, angle eccentricity=0.85, "$\varepsilon_1$", red, ] {angle =A--B--D}; %% Punkte \foreach \P in {A,D,B,E} \draw[fill=black!1] (\P) circle (1.5pt); \fi%======================== \end{tikzpicture} $ Ergänzt man zu $|AB|$ die Seitenhöhe, so hat man am Höhenfußpunkt $H$ die Winkel $ \sphericalangle CHA = \sphericalangle BHC =90^\circ $. Entsprechend muss in den Teildreiecken $AHC$ und $HBC$, aufgrund der Winkelsumme, auch der dritte Winkel übereinstimmen $\gamma_1 =\gamma_2$. Entsprechend gilt für die Dreiecke $AHC$ und $HBC$ der Kongruenzfall WSW; denn · $\gamma_1 =\gamma_2$ · $|CH|$ ist beiden Dreiecken gemein · $\sphericalangle CHA = \sphericalangle BHC =90^\circ$ Entsprechend müssen auch die restlichen Seiten und Winkel übereinstimmen, insbesondere $a =|AC| =|BC| =b.$ $\square$ Beweis (1) $a>b ~\Rightarrow~ \alpha>\beta.$ Sei $ABC$ ein Dreieck mit $a>b$. $% Gegebene Größen \pgfmathsetmacro{\a}{5} % \pgfmathsetmacro{\b}{3} % \pgfmathsetmacro{\c}{5.1} % \pgfmathsetmacro{\Alpha}{acos((\b^2+\c^2-\a^2)/(2*\b*\c))} % \pgfmathsetmacro{\Beta}{acos((\a^2+\c^2-\b^2)/(2*\a*\c))} % \pgfmathsetmacro{\Gamma}{acos((\a^2+\b^2-\c^2)/(2*\a*\b))} % \pgfmathsetmacro{\z}{\b*sin(\Gamma)/sin(\Alpha)} % \pgfkeys{/tikz/savevalue/.code 2 args={\global\edef#1{#2}}} \begin{tikzpicture}[%scale=0.7, font=\footnotesize, background rectangle/.style={draw=none, fill=black!1, rounded corners}, %show background rectangle, Punkt/.style 2 args={ label={[#1]:$#2$} }, Dreieck/.style={thick}, ] % Dreieckskonstruktion \coordinate[label=below:$A$] (A) at (0,0); \coordinate[label=below:$B$] (B) at (\c,0); \coordinate[label=$C$] (C) at (\Alpha:\b); \draw[local bounding box=dreieck] (A) -- (B) -- (C) --cycle; % Annotationen - Dreieck \coordinate[label=45:$D$] (D) at ($(C)!\b cm!(B)$); \draw[densely dashed] (D) -- +(-\z,0) coordinate[label=135:$E$](E); \path[] (C) -- (A) node[near start, left] {$$}; \path[] (C) -- (D) node[midway, sloped, above] {$b$}; \path[] (D) -- (B) node[midway, sloped, above] {$a-b$}; \draw[] (A) -- (D); %% Winkel \draw pic [draw, angle radius=7mm, angle eccentricity=0.75, "$\beta$", ] {angle =C--B--A}; \draw pic [draw, angle radius=7mm, angle eccentricity=0.75, "$\beta$", ] {angle =C--D--E}; \draw pic [draw, angle radius=8.5mm, angle eccentricity=0.85, "$\delta$", double ] {angle =E--D--A}; \draw pic [draw, angle radius=8.5mm, angle eccentricity=0.85, "$\delta$", double ] {angle =B--A--D}; \draw pic [draw, angle radius=8.5mm, %angle eccentricity=0.85, "$\alpha$-$\delta$" ] {angle =D--A--E}; %% Punkte \foreach \P in {D,E} \draw[fill=black!1] (\P) circle (1.5pt); %% Annotationen - Aufgabe %\pgfmathsetmacro{\x}{min(\a, \b,\c)} % %\begin{scope}[shift={($(dreieck.north west)+(-\x cm-5mm,0)$)}] %% Strecken %\tikzset{YShift/.style={yshift=-1 cm}} %\foreach[count=\y from 0] \s in {a,b}{%% %\draw[|-|, yshift=-\y*6mm, local bounding box=strecken] (0,0) -- (\csname \s \endcsname,0) node[midway, above]{$\s$%= \csname s\s \endcsname{} cm %}; %}%% %\end{scope} %% Winkel %\pgfmathsetmacro{\Winkel}{\Alpha} %\pgfmathsetmacro{\WinkelXShift}{\Winkel > 90 ? -cos(\Winkel) : 0} % %\draw[shift={($(strecken.south west)+(\WinkelXShift,-12mm)$)}] (\Winkel:1) coordinate(P) -- (0,0) coordinate(Q) -- (1,0) coordinate(R); %\draw pic [draw, angle radius=5mm, %angle eccentricity=1.3, %% pic text={$\Winkel$}, pic text options={}, %"$\alpha$", %] {angle =R--Q--P}; \end{tikzpicture}$ Trägt man auf $|CB|$ die Strecke $b$ ab, Endpunkt sei $D$, so erhält man das gleichschenklige Dreieck $ADC$, mit $|AC| =|CD| =b$. Legt man durch $D$ eine Parallele zur Seite $|AB|$, Schnittpunkt mit der Seite $|AC|$ sei $E$, so erhält man bei $D$ den Stufenwinkel $ \sphericalangle CDE =\beta.$ Zum Winkel $\sphericalangle EDA =: \delta$ erhält man bei $A$ den Wechselwinkel $\sphericalangle BAD = \delta$ und entsprechend den Restwinkel $\sphericalangle DAE = \alpha-\delta.$ Wegen (3) liegen gleichen Seiten ($|AC| = |CD| =b$) gleiche Winkel gegenüber, also $ \alpha-\delta =\beta +\delta.$ Damit wird: $\alpha = \beta+2\delta ~~\Leftrightarrow~ \alpha > \beta.$ $\square$ Beweis (1) $\alpha>\beta ~\Rightarrow~ a>b.$ Sei $ABC$ ein Dreieck mit $\alpha>\beta.$ Angenommen es ist $a \not>b$, dann ist $a < b$ oder $a=b.$ · Wäre $a=b$, so wäre, gemäß (3), $\alpha =\beta$ $\Rightarrow$ Widerspruch zur Voraussetzung $\alpha > \beta.$ · Angenommen es ist $a=latex, background rectangle/.style={draw=none, fill=black!1, rounded corners}, % show background rectangle, ] % Dreieckskonstruktion \coordinate[label=below:$A$] (A) at (0,0); \coordinate[label=below:$B$] (B) at (\c,0); \coordinate[label=$C$] (C) at (\Alpha:\b); \draw[local bounding box=dreieck] (A) -- (B) -- (C) --cycle; \path[] (B) -- (C) node[midway, right]{$a$}; \coordinate[label=$P$] (P) at ($(C)!0.55!(A)$); \draw[red] (P) -- (B); %%% Winkel \draw pic [draw, angle radius=7mm, angle eccentricity=0.75, "$\alpha$", %red ] {angle =B--A--C}; \draw pic [draw, angle radius=5mm, angle eccentricity=0.75, "$\delta_1$", %red ] {angle =B--P--C}; \draw pic [draw, angle radius=12mm, angle eccentricity=0.85, "$\delta_2$", %red ] {angle =C--B--P}; \draw pic [draw, angle radius=5mm,% angle eccentricity=0.75, "$\delta_1'$", %red ] {angle =A--P--B}; \draw pic [draw, angle radius=12mm, angle eccentricity=0.85, "$\beta_1$", %red ] {angle =P--B--A}; %% Punkte \foreach \P in {P} \draw[fill=black!1] (\P) circle (1.5pt); \end{tikzpicture} $ Bezeichnet man die entsprechenden gegenüberliegenden Winkel mit $ \delta_1 := \sphericalangle BPC $ und $\delta_2 := \sphericalangle CBP$ so wäre, gemäß (3), $\delta_1 =\delta_2.$ Der Restwinkel bei $B$ sei mit $ \beta_1 := \sphericalangle PBA$ bezeichnet, also $\beta_1 =\beta-\delta_2$. Nun ist $\delta_1$ Außenwinkel von $\delta_1' := \sphericalangle APB$ im Dreieck $ABP$, also $ \delta_1 = \alpha +\beta_1$ (Außenwinkelsatz), das heißt $ \delta_1 >\alpha.$ Wegen $\delta_1 =\delta_2$ wäre auch $\underline{ \delta_2 >\alpha }$; und da $ \beta =\delta_2 +\beta_1 ~\Leftrightarrow~ \beta >\delta_2$ wäre $\beta >\alpha$ $\Rightarrow$ Widerspruch zur Voraussetzung $\alpha > \beta.$ $\square$ Beweis (2) $c =\max(a,b,c) \Leftrightarrow \gamma =\max(\alpha, \beta, \gamma)$ Sei $c>a$ und $c>b$, dann ist, gemäß (1) $\gamma>\alpha$ und $\gamma>\beta$. Sei $\gamma>\alpha$ und $\gamma>\beta$, dann ist, gemäß (1), $c>a$ und $c>b.$