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Schulmathematik » Extremwertaufgaben » Zielfunktion auflösen
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Schule Zielfunktion auflösen
William_Wallace
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Dabei seit: 17.03.2009
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Wohnort: Stirling
  Themenstart: 2022-01-26

Hallo, es mir gerade fast peinlich diese Frage zu stellen, aber ich steh grad auf dem Schlauch. Ich habe hier eine Zielfunktion. (Stichwort Schafe am Fluss, aber irrelevant) sqrt(100^2+x^2)+sqrt((200-x^2)+50^2) Wann ist x minimal? Wie geht es denn da weiter - ohne die Analysis (ohne Ableitung)? Ich habe hier doch keine Gleichung die ich nach x auflösen kann, sondern eine Funktion. Danke


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LetsLearnTogether
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  Beitrag No.1, eingetragen 2022-01-26

Hallo, ich kann gerade nur raten (eventuell doch den Kontext, also die Aufgabenstellung angeben), aber wenn du die Funktion $f(x)=\sqrt{100^2+x^2}+\sqrt{200-x^2+50^2}$ (was ist der Definitionsbereich?) minimieren möchtest, so kannst du dazu die erste Ableitung gleich Null setzen. Eventuell sind auch Randwerte zu betrachten. So bekommst du dann auch eine Gleichung die du nach x auflösen könntest.


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JoeM
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  Beitrag No.2, eingetragen 2022-01-26

Hallo William_Wallace, Deine Funktion ist definiert für den Bereich: (- 2700)^0.5 <= x <= + 2700^0.5 . Für andere Bereiche von x wird der Wert unter der 2. Wurzel negativ. Wie lautet der genaue Text der Aufgabe ? viele Grüße JoeM


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zippy
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  Beitrag No.3, eingetragen 2022-01-26

Ist vielleicht$$ f(x)=\sqrt{\vphantom{(x)^2}100^2+x^2}+\sqrt{(200-x)^2+50^2}$$gemeint? Diese Funktion hat ein hübsches Minimum. --zippy


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William_Wallace
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  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2022-01-26

Sorry.... Es war doch schon spät... Welch Schmach. Hast recht, JoeM. zippy, du GlaskuglerIn hast erst recht recht. Geht das dann ohne Ableitung?


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Diophant
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  Beitrag No.5, eingetragen 2022-01-26

Hallo, wie lautet denn die genaue Aufgabenstellung? (Also das, was außer der Funktionsgleichung noch gegeben ist.) Und welche Hilfsmittel hast du zur Verfügung? Es gibt zwar einen theoretischen Weg, wie man hier ein Minimum ohne Differentialrechnung nachweisen kann, aber dieser Weg führt (sofern ich mich nicht vertan habe) über eine Gleichung 4. Ordnung, und das kann hier sicherlich nicht gemeint sein. Kann es eventuell sein, dass man das Minimum hier einfach mit einem grafikfähigen Taschenrechner (GTR) ermitteln soll? Generell solltest du jeweils mehr zum Hintegrund deiner Fragen sagen: damit man deine Anliegen besser versteht. Gruß, Diophant


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JoeM
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  Beitrag No.6, eingetragen 2022-01-26

Hallo William_Wallace, wie schon im Beitrag 2 erwähnt, ist der Grenzwert für x <= 2700^0.5 = 51,962; --> somit (ohne Ableitung): x = 51 !! Damit ergibt Deine Gleichung für min. x = 51 den Wert 122,204 Den gleichen Wert erhält Wally mit x = 400/3 (> min. x = 51) viele Grüße JoeM


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zippy
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  Beitrag No.7, eingetragen 2022-01-26

\quoteon(2022-01-26 11:41 - JoeM in Beitrag No. 6) wie schon im Beitrag 2 erwähnt, ist der Grenzwert für x <= 2700^0.5 = 51,962; \quoteoff Wir haben doch inzwischen festgestellt, dass die dort betrachtete Funktion nur das Ergebnis eines Tippfehlers war.


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William_Wallace
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  Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2022-01-26

So, also es im Grunde um die Aufgabe 70 www.oebv.at/flippingbook/9783209084729/25/ Nur mit anderen Zahlen, wir können uns aber gerne auf die Zahlen im Buch beziehen... Hinten im Buch stehen die Lösungen... Ich dachte irgendwo gehört zu haben, dass das auch schlichter ohne Ableitung geht, aber ich kann mich auch täuschen... Ihr werdet das wohl besser wissen. Insbesondere war mein Anliegen auch, ob ich das so richtig gesehen habe, dass man die Wurzelterme nicht weiter vereinfachen kann, und womöglich das x isolieren kann. Gut, dann nehme ich an, bleibt es beim Schema F, also Ableitung für das Minimum!? Vielen Dank euch


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Diophant
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  Beitrag No.9, eingetragen 2022-01-26

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bvm}{\begin{vmatrix}} \newcommand{\evm}{\end{vmatrix}} \newcommand{\mb}[1]{\mathbb{#1}} \newcommand{\mc}[1]{\mathcal{#1}} \newcommand{\mf}[1]{\mathfrak{#1}} \newcommand{\ms}[1]{\mathscr{#1}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle}\) Hallo, dann stimmt aber deine Zielfunktion nicht. Die korrekte Zielfunktion für die verlinkte Aufgabe lautet: \[d(x)=\sqrt{x^2+60^2}+\sqrt{(150-x)^2+100^2}\quad;\quad 0\le x\le 150\] Und wenn die Kapitelüberschrift in einem Schulbuch "Extremwertaufgaben" heißt, dann darf man davon ausgehen, dass an eine Bearbeitung mittels Differentialrechnung und/oder grafikfähigem Taschenrechner gedacht ist. Sicherlich aber nicht daran, diese Funktion mit irgendwelchen algebraischen Tricks zu minimieren. \quoteon(2022-01-26 13:37 - William_Wallace in Beitrag No. 8) Ich dachte irgendwo gehört zu haben, dass das auch schlichter ohne Ableitung geht... \quoteoff Nur in Sonderfällen, wie bspw. bei quadratischen Funktionen. Generell geht es nur per Differentialrechnung. Nachtrag: Tatsächlich geht es bei dieser Art Aufgaben auch. Wie, kannst du im folgenden Beitrag nachlesen (Spiegelungsprinzip: das Licht sucht sich immer den kürzesten Weg...). Gruß, Diophant [Verschoben aus Forum 'Schulmathematik' in Forum 'Extremwertaufgaben' von Diophant]\(\endgroup\)


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Kuestenkind
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  Beitrag No.10, eingetragen 2022-01-26

Huhu William_Wallace, das geht hier nach Spiegelungsprinzip natürlich auch ohne Ableitung. Das Minimum von zippys Funktion aus #2 liegt an der Stelle \(x=\frac{100\cdot 200}{50+100}=\frac{400}{3}\) bzw. für die Funktion von Diophant aus #9 eben \(x=\frac{60\cdot 150}{100+60}=\frac{225}{4}\). Gruß, Küstenkind


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StrgAltEntf
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  Beitrag No.11, eingetragen 2022-01-26

\quoteon(2022-01-26 15:34 - Kuestenkind in Beitrag No. 10) das geht hier nach Spiegelungsprinzip natürlich auch ohne Ableitung. \quoteoff (Hervorhebung von mir) @Kuestenkind: Hm, was besagt denn dieses Spiegelungsprinzip? Mir ist das gerade nicht geläufig. 🙄


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Kuestenkind
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Mitteilungen: 2372
  Beitrag No.12, eingetragen 2022-01-26

Huhu StrgAltEntf, https://matheplanet.de/matheplanet/nuke/html/uploads/b/45489_Bildschirmfoto_2022-01-26_um_15.28.24.png https://matheplanet.de/matheplanet/nuke/html/uploads/b/45489_Bildschirmfoto_2022-01-26_um_15.28.43.png https://matheplanet.de/matheplanet/nuke/html/uploads/b/45489_Bildschirmfoto_2022-01-26_um_15.28.58.png Quelle: Maxima and Minima without Calculus von Ivan Niven. Gruß, Küstenkind


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zippy
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  Beitrag No.13, eingetragen 2022-01-26

Das ist übrigens genau die Überlegung, mit der aus dem Fermatschen Prinzip die Regel "Einfallswinkel = Ausfallswinkel" gefolgert wird.


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StrgAltEntf
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  Beitrag No.14, eingetragen 2022-01-26

Herzlichen Dank fürs Aufschlauen! Das ist wirklich elegant. 👍


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William_Wallace hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.

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