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Schulmathematik » Analytische Geometrie » Zirkelschluss im Vektorbeweis
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Schule Zirkelschluss im Vektorbeweis
mhipp
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  Themenstart: 2022-01-17

Hi alle zusammen! Hier ein vektorieller Beweis: https://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/b/50459_20220117_162631.jpg Ich glaube, dieser Beweis ist ein Zirkelschluss.  Man definiert AD als b (Vektor). Dann schreibt man: AM=MC=0,5(a+b) Das funktioniert allerdings nur, wenn AC=a+b, was voraussetzt, dass b=BC ist. Das beweist man ja aber unten erst!  In meinen Augen argumentiert man da im Kreis. Kurz: Ich glaube, dass diese Voraussetzungen etwas verwenden, was erst später bewiesen wird. Stimmt ihr mir zu oder habe ich einen Denkfehler? Liebe Grüße und Danke! Max Hipp


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Diophant
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  Beitrag No.1, eingetragen 2022-01-17

Hallo mhipp, vollste Zustimmung von meiner Seite, auch deine Argumentation trifft die Sache gut. Sinnvoller wäre es, wenn man die bekannte Tatsache nimmt, dass zwei Vektoren ein Parallelogramm aufspannen und ihre Summe und Differenz die beiden Diagonalen sind, und dann zeigt (bspw. mit der Methode des geschlossenen Vektorzugs), dass sich die Diagonalen halbieren. Aber so wie hier ist es streng genommen Unfug. So etwas sehe ich in Lehrmitteln aus BW nicht zum ersten Mal... Gruß, Diophant [Verschoben aus Forum 'Schulmathematik' in Forum 'Analytische Geometrie' von Diophant]


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StrgAltEntf
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  Beitrag No.2, eingetragen 2022-01-17

Hallo, vielleicht soll man bei 2. schreiben: AM = MC = b + DM DM = MB = a - AM


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Diophant
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  Beitrag No.3, eingetragen 2022-01-17

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bvm}{\begin{vmatrix}} \newcommand{\evm}{\end{vmatrix}} \newcommand{\mb}[1]{\mathbb{#1}} \newcommand{\mc}[1]{\mathcal{#1}} \newcommand{\mf}[1]{\mathfrak{#1}} \newcommand{\ms}[1]{\mathscr{#1}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle}\) @StrgAltEntf: Das ginge wohl. In meinen Augen noch besser: offensichtlich gelten: - \(\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{MB}=\overrightarrow{AB}\) - \(\overrightarrow{DM}+\overrightarrow{MC}=\overrightarrow{DC}\) Nach Voraussetzung ist aber \(\overrightarrow{DM}=\overrightarrow{MB}\) und \(\overrightarrow{MC}=\overrightarrow{AM}\) (da sich beide Diagonalen gegenseitig halbieren). Also haben wir \[\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{DM}+\overrightarrow{MC}=\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{AB}\] Und für das andere Seitenpaar folgt die Gleichheit entsprechend genauso. Was man allerdings überhaupt nicht mehr braucht: aus der Gleichheit eines Seitenpaares folgt die Behauptung ja bereits. Sobald man in irgendeiner Form die Tatsache verwendet, dass die Diagonalen Summe und Differenz zweier angrenzender Seitenvektoren sind, hat man IMO den Zirkelschluss (wie mhipp völlig zurecht festgestellt hat). Gruß, Diophant\(\endgroup\)


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mhipp
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  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2022-01-17

Vielen Dank euch, so oder so ähnlich hätte ich es auch gemacht und bin erleichtert! Grüße!


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cramilu
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  Beitrag No.5, eingetragen 2022-01-17

Hallo mhipp, Deiner Annahme eines "Zirkelschlusses" wurde wohl durch die unter »2.« rechts schlicht "schnell hingeschriebenen" Zusammenhänge Vorschub geleistet. Beide lassen sich jedoch allein durch Vektorumkehr, -addition und -subtraktion aus der gegebenen Voraussetzung ableiten: Seien \(\vec{AM}=\vec{MC}\:\land\:\vec{DM}=\vec{MB}\) ! \(\Rightarrow\) \(\vec{AM}\:=\:\vec{MC}\:=\:\vec{AB}+\vec{BM}\:=\:\vec{AB}-\vec{MB}\:=\:\vec{AB}-\vec{DM}\:=\) ... ... \(=\:\vec{AB}+\vec{MD}\:=\:\vec{AB}+\vec{MA}+\vec{AD}\:=\:\vec{AB}-\vec{AM}+\vec{AD}\) \(\Leftrightarrow\) \(2\cdot\vec{AM}\:=\:\vec{AB}+\vec{AD}\:=\:\vec{a}+\vec{b}\) \(\Leftrightarrow\) \(\vec{AM}\:=\:\frac{\vec{a}+\vec{b}}{2}\:=\:\vec{MC}\) \(\Rightarrow\) \(\vec{DM}\:=\:\vec{MB}\:=\:\vec{DA}+\vec{AM}\:=\:-\vec{AD}+\vec{AM}\:=\) ... ... \(=\:-\vec{b}+\frac{\vec{a}+\vec{b}}{2}\:=\:\frac{-2\cdot\vec{b}+\vec{a}+\vec{b}}{2}\:=\:\frac{\vec{a}-\vec{b}}{2}\:=\:\vec{MB}\) Dann mit gleicher Sorgfalt unter Annahme der Voraussetzung(en) zum Beweis der Behauptung: \(\Rightarrow\) \(\vec{DC}\:=\:\vec{DM}+\vec{MC}\:=\:\vec{MB}+\vec{AM}\:=\:\vec{AM}+\vec{MB}\:=\:\vec{AB}\:=\:\vec{a}\) q.e.d. \(\Rightarrow\) \(\vec{BC}\:=\:\vec{BM}+\vec{MC}\:=\:-\vec{MB}+\vec{AM}\:=\:-\vec{DM}+\vec{AM}\:=\) ... ...\(=\:\vec{MD}+\vec{AM}\:=\:\vec{AM}+\vec{MD}\:=\:\vec{AD}\:=\:\vec{b}\) q.e.d. Das war jetzt gaaanz ausführlich... 😉


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mhipp
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  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2022-01-17

Das ist natürlich clever gelöst! Dennoch ist nach der Erkenntnis, dass b=BC, der nötige Beweis ja schon vollbracht. Mir geht es nicht darum, dass die Aussagen auf dem Blatt falsch sind, sondern dass die Beweisstruktur sinnlos ist. Durch die "Voraussetzung" (die aus dem Nichts kommt) ist das Eigentliche schon bewiesen, alles danach ist und bleibt ein Zirkelschluss. Oder nicht?


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cramilu
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  Beitrag No.7, eingetragen 2022-01-17

Sehe ich nicht so! Nachdem man bei »2.« die beiden Brüche "sauber"[!] ab/hergeleitet hat, und zwar aus der Voraussetzung[!] der Gleichheit der beiden Diagonalen-Anteile, darf man bei »4.« auch unbenommen diese ab/hergeleiteten Brüche einsetzen. Mache Dir dabei den Zusammenhang "Strahlensatz rückwärts" klar! 😎


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Eckard
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  Beitrag No.8, eingetragen 2022-01-17

Der Satz im Kasten 1. links oben hätte mich schon stutzig gemacht: Wie wählt man im Zweidimensionalen drei (also mindestens zwei) (linear) unabhängige Vektoren? Dieser Art von Aufgabenblättern sieht man doch schon alles an; dazu noch Unterstreichungen im Kasten 4. Oi, joi, joi. Gruß Eckard


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mhipp
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  Beitrag No.9, vom Themenstarter, eingetragen 2022-01-17

@cramilu wenn man Schritt 2 bewiesen hat, ist der Rest doch nicht mehr nötig? Dein Beweis ist vollkommen valide, alles was ich sage ist, dass man durch das Beweisen dieser angeblichen "Voraussetzung" schon den eigentlichen Satz gezeigt hat.


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