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Analysis » Folgen und Reihen » Konvergenz von Reihe
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Universität/Hochschule Konvergenz von Reihe
planloseAnfaengerin
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Dabei seit: 01.12.2021
Mitteilungen: 6
  Themenstart: 2021-12-01

Hallo :) Ich habe in meinen Aufgaben unter anderem die Reihe \[\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{n} + \frac{(-1)^n}{n^2}\] gegeben und soll diese auf Konvergenz untersuchen. Ich habe es schon mit dem Quotientenkriterium und Majoranten-/Minorantenkriterium versucht, was alles nichts gebracht hat. Hat jemand vielleicht einen Ansatz, wie man es noch lösen könnte?


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Diophant
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  Beitrag No.1, eingetragen 2021-12-01

Hallo und willkommen hier im Forum! Die Reihe ist ja die Summe zweier allseits bekannter Reihen, von denen du das Konvergenzverhalten vermutlich schon kennst. Falls ja: dann darf man das verwenden und kann hier sofort entscheiden, wohin die Reise geht... Gruß, Diophant [Verschoben aus Forum 'Analysis' in Forum 'Folgen und Reihen' von Diophant]


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planloseAnfaengerin
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  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2021-12-01

Ja, ich weiß, dass die Reihe 1/n divergiert und der andere Teil konvergiert. Ich weiß nur nicht, was ich damit anfangen soll? Mir ist nur bekannt, dass die Reihe auf jeden Fall konvergieren würde, wenn beide Teile konvergent wären.


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Wally
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  Beitrag No.3, eingetragen 2021-12-01

Hallo, da musst du einfach umgekehrt denken: wenn die Reihe konvergiert, würde die Reihe minus dem zweiten Teil ..... (Bitte selbst weiterdenken) Viele Grüße Wally


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planloseAnfaengerin
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  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2021-12-01

Wenn die Reihe konvergiert, müsste die Reihe - 2.Teil doch eigentlich auch konvergieren, was sie ja, glaube ich, nicht tut. Also müssten konvergente und divergente Reihen addiert immer eine divergente Reihe ergeben, oder?


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Diophant
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  Beitrag No.5, eingetragen 2021-12-01

Hallo, der hintere Teil für sich konvergiert. Der vordere ist das Problem. Schau doch mal in deinen Unterlagen nach, du solltest beide Reihen dort finden. Gruß, Diophant


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planloseAnfaengerin
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  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2021-12-01

Ja, das weiß ich, dass der vordere Teil divergiert und der hintere Teil konvergiert. Eigentlich sollte die gesamte Reihe dann ja divergieren. Aber wie soll man das denn richtig aufschreiben? Wir hatten leider keinen Satz, der besagt, dass eine konvergente und eine divergente Reihe zusammen divergieren, sodass ich das erstmal beweisen müsste, was ich, wenn möglich, gerne vermeiden würde.


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Wally
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  Beitrag No.7, eingetragen 2021-12-01

\(\begingroup\)\(\newcommand{\D}{\displaystyle}\) Aber du hast doch alles. Annahme: die Reihe konvergiert. Weil \( \D -\sum_{k=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{n^2}\) konvergiert, .... Widerspruch! Daher ist die Reihe divergent. Viele Grüße Wally Ach ja: " sodass ich das erstmal beweisen müsste, was ich, wenn möglich, gerne vermeiden würde." Das ist eine sehr ungünstige Einstellung. Gewöhne dir an, Sacheverhalte zu beweisen. Das ist das Wesentliche an der Mathematik. \(\endgroup\)


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planloseAnfaengerin
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  Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2021-12-01

Ich studiere ja gar nicht Mathematik und muss mich trotzdem da durch quälen. Irgendwas zu beweisen dauert bei mir ewig und dann komme ich trotzdem zu keinem Ergebnis, also würde ich damit vermutlich nicht mehr fertig werden


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Wally
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  Beitrag No.9, eingetragen 2021-12-01

Dann beweis es. Wenn eine Reihe konvergiert, konvergiert auch das Negative. Der Rest steht oben. Ach ja - Divergenz und "unendlich ergeben" ist nicht das gleiche. Viele Grüße Wally


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planloseAnfaengerin
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  Beitrag No.10, vom Themenstarter, eingetragen 2021-12-01

Ich versuche es einfach mal. Danke jedenfalls für deine/eure Hilfe :)


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Folgende Antworten hat der Fragesteller vermutlich noch nicht gesehen.
Er/sie war noch nicht wieder auf dem Matheplaneten
PeterMeier123
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Dabei seit: 09.07.2018
Mitteilungen: 122
  Beitrag No.11, eingetragen 2021-12-01

Sei $\sum a_n$ konvergent und $\sum b_n$ divergent Angenommen $\sum a_n + b_n$ konvergiert. Wenn eine Reihe konvergiert, konvergiert auch das Negative: $\sum -a_n = -\sum a_n$ Dann können wir folgendes schreiben: $\sum a_n + b_n -\sum a_n = \sum b_n$ Das impliziert aber, dass $\sum b_n$ konvergiert! Was folgt daraus?


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