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Differentiation » Mehrdim. Differentialrechnung » Kugelkoordinaten, Ist f surjektiv / injektiv und berechne Df und Jf
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Universität/Hochschule J Kugelkoordinaten, Ist f surjektiv / injektiv und berechne Df und Jf
Sekorita
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  Themenstart: 2021-11-30

Hey, wir mussten ein Matheblatt abgeben, bei der ich leider eine Aufgabe verschwitzt habe.... Wie ich hier surjketiv und injektiv nachweisen soll, weiß ich leider nicht. Das hatte ich bis jetzt nur bei "normalen" Funktionen machen müssen. Ich habe leider keinen Schimmer, wie ich zeigen soll, dass jedes Element des R^3 getroffen wird..... Bei injektiv ebenso.... ( 𝑓 ∶ (0, +∞) × ℝ2 → ℝ3 ∖ {0}) Bei b) muss ich doch f zunächst nach r ableiten, indem ich " r*cosφ*sinϑ" nach r ableite, das selbe mit den beiden anderen Funktionsteilen wiederhole und dann hätte ich ja meine 1. Zeile der Jacobi Matrix. Dies wiederhole ich mit φ und ϑ und habe dann ja eine 3x3 Matrix von der ich dann Jf berechne, indem ich die Determinante ausrechne, oder? Die Aufgabe hätte bis heute früh fertig sein müssen, was ich leider nicht geschafft habe und hier nach einer Lösung gefragt habe: https://www.mathelounge.de/891390/kugelkoordinaten-ist-surjektiv-injektiv-und-berechne-und Ich würde sie aber trotzdem gerne verstehen. Danke für jede Hilfe :) https://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/b/55059_1.JPG


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nzimme10
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  Beitrag No.1, eingetragen 2021-12-01

\(\begingroup\)\(\renewcommand{\i}{\mathrm{i}} \renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}} \renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}} \newcommand{\e}{\mathrm{e}} \renewcommand{\d}{\ \mathrm{d}} \newcommand{\ddz}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}} \newcommand{\ddw}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}w}} \newcommand{\ddt}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}} \newcommand{\opn}{\operatorname}\) Hallo, b) hast du dir selbst beantwortet. Zu a): Male dir eine Skizze (oder suche im Internet nach einer). Wenn du verstehst wie man mit der Abbildung $f$ bei festem $r$ eine Kugeloberfläche parametrisiert, dann kannst du die Frage nach der Injektivität sofort beantworten (beachte aus welchem Bereich die Winkel $\varphi$ und $\vartheta$ kommen). Für die Surjektivität gilt im Prinzip das selbe. Denke nicht an irgendwelche Rezepte mit denen man das nachweist sondern überlege, was surjektiv bedeutet und wie genau die Abbildung $f$ funktioniert (Skizze). Betrachte einen beliebigen Punkt $a:=(x,y,z)\in \mathbb R^3\setminus\lbrace (0,0,0)\rbrace$. Der Punkt $a$ hat einen Abstand zum Ursprung, der als idealer Kandidat für das $r$ dienen kann. Sei also $r_a:=\lVert (x,y,z)\rVert\neq 0$. Weiter kann man an $f$ erkennen, dass $\vartheta_a:=\arccos(\frac{z}{r_a})$ eine gute Wahl sein könnte. Um nun noch ein geeignetes $\varphi_a$ zu finden muss man noch verschiedene Fälle unterscheiden, je nachdem in welchem Quadranten von $\mathbb R^2$ der projizierte Punkt $(x,y)$ liegt. Aber auch das sollte nicht all zu kompliziert werden. Wenn das erledigt ist gilt es nur noch einzusetzen und zu bemerken, dass man $f(r_a,\varphi_a,\vartheta_a)=(x,y,z)=a$ erhalten hat, weshalb $f$ surjektiv sein muss. LG Nico\(\endgroup\)


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Sekorita
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  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2021-12-01

Hey, also ich habe mich jetzt versucht in das Thema etwas einzulesen ( ich habe vorher noch nichts mit Kugeln zu tun gehabt). Die Funktion macht ja nichts anderes, als einem bel. Punkt a(x,y,z) aus dem R^3 in Kugelkoordinaten anzugeben. Injektiv dürfte das ganze dann ja nicht sein, da \phi und \theta keine Einschränkungen haben, die sie an eine bestimmte Reihenfolge binden und r ja in der Theorie auch >= 0 sein kann. Es gilt dann f(r,\phi, \theta) = f(r, \theta, \phi) und das ist ja gerade nicht injektiv. Würde man das ganze so einschränken, dass r > 0, \phi2 \el\ [0, 2π), \theta \el\ (0, \pi) wäre es injektiv ( SO habe ich es aus einer anderen Vorlesung rausgelesen). Wegen surjektiv, müsste dann das gesuchte \phi_a folgendes sein: arccos x/sqrt(x^2+y^2) wenn y>=0 2\pi- arccos x/sqrt(x^2+y^2) y<0 und das müsste alles sein, oder?


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Sekorita
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  Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2021-12-01

Und eine wohlmöglich dämliche Frage: bei der Ableitung nach r von r*cos(\phi)*sin(\theta) kommt doch normal die Produktregel zum Tragen, richtig? Weil beim Ableitungsrechner werden cos(\pi) und sin(\theta) als Konstanten angesehen und das Ergebnis wäre dann 1*cos(\phi)*sin(\theta). Ich hätte die Produktregel nach folgendem Muster angewendet. Habe ich gerade einen Denkfehler? https://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/b/55059_8.10.JPG


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Mathekitti
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  Beitrag No.4, eingetragen 2021-12-01

Hat sich mittlerweile erledigt.


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nzimme10
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  Beitrag No.5, eingetragen 2021-12-02

\(\begingroup\)\(\renewcommand{\i}{\mathrm{i}} \renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}} \renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}} \newcommand{\e}{\mathrm{e}} \renewcommand{\d}{\ \mathrm{d}} \newcommand{\ddz}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}} \newcommand{\ddw}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}w}} \newcommand{\ddt}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}} \newcommand{\opn}{\operatorname}\) \quoteon(2021-12-01 15:41 - Sekorita in Beitrag No. 3) Und eine wohlmöglich dämliche Frage: bei der Ableitung nach r von r*cos(\phi)*sin(\theta) kommt doch normal die Produktregel zum Tragen, richtig? Weil beim Ableitungsrechner werden cos(\pi) und sin(\theta) als Konstanten angesehen und das Ergebnis wäre dann 1*cos(\phi)*sin(\theta). Ich hätte die Produktregel nach folgendem Muster angewendet. Habe ich gerade einen Denkfehler? https://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/b/55059_8.10.JPG \quoteoff Hallo, das fällt wieder in die Kategorie "Denke lieber nach anstatt irgendwelche Rezepte zu benutzen". Du möchtest $r\cos(\varphi)\sin(\vartheta)$ partiell nach $r$ ableiten. Dann sind $\cos(\varphi)$ und $\sin(\vartheta)$ als Konstanten zu betrachten. LG Nico\(\endgroup\)


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Sekorita
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  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2021-12-03

Da hast du Recht, mittlerweile konnte ich das alles lösen. Danke für deine Hilfe :=)


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Sekorita hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
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