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Lineare Algebra » Eigenwerte » Eigenwerte und Eigenräume einer selbstadjungierten Abbildung
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Universität/Hochschule Eigenwerte und Eigenräume einer selbstadjungierten Abbildung
gabriela_99
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  Themenstart: 2021-11-30

Hey, es geht um einen unitären Vektorraum und den selbstadjungierten Endomorphismus \(f:V\rightarrow V\text{, } x\rightarrow \lambda\langle v,x\rangle v+x\). Es gilt außerdem \(||v||=1\) und \(\lambda\in \mathbb{R}\backslash\{0\}\). Nun soll ich die Eigenwerte und Eigenräume bestimmen. Für \(x=v\) gilt: \(f(v)=\lambda\langle v,v\rangle v+v=v(\lambda+1)\) Damit haben wir den ersten Eigenwert \(\lambda_1=\lambda+1\). Für \(x\neq v\) komme ich einfach nicht voran. Könnte mir vielleicht jemand einen Hinweis geben? LG Gabriela


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hippias
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  Beitrag No.1, eingetragen 2021-11-30

Sei $x$ ein EV von $f$ zum EW $\mu$, der von $v$ linear unabh\"angig ist. Dann gilt $\lambda\langle v,x\rangle v+x= \mu x$ ...


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gabriela_99
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  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2021-11-30

Also falls \(x\) und \(v\) orthogonal zueinander sind erhalten wir ja schon mal den nächsten Eigenwert \(\mu_2=1\). Wenn das Skalaprodukt allerdings nicht wegfällt, habe ich Probleme das umzustellen :/


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hippias
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  Beitrag No.3, eingetragen 2021-11-30

\quoteon(2021-11-30 16:28 - gabriela_99 in Beitrag No. 2) Also falls \(x\) und \(v\) orthogonal zueinander sind erhalten wir ja schon mal den nächsten Eigenwert \(\mu_2=1\). \quoteoff Schreibfehler? \quoteon Wenn das Skalaprodukt allerdings nicht wegfällt, habe ich Probleme das umzustellen :/ \quoteoff Was impliziert die lineare Unabhängigkeit bezüglich der Gleichung?


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gabriela_99
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  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2021-11-30

Ich verstehe es nicht so richtig. Also wenn \(x\) und \(v\) senkrecht zueinander sind ist das Skalarprodukt 0. Das war was ich mit dem ersten teil meines vorherigen Beitrags meinte. Allerdings gilt das ja nicht für die allgemeine lineare Unabhängigkeit zwischen \(x\) und \(v\). In dem Fall erkenne ich nicht, was ich für die Gleichung erkennen kann


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Folgende Antworten hat der Fragesteller vermutlich noch nicht gesehen.
hippias
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  Beitrag No.5, eingetragen 2021-12-01

Meine hinweisende Frage bezog sich, wie Du sicher leicht erkennst, auf den nicht orthogonalen Fall. Wenn $v$ und $x$ linear unabhängig sind und $\alpha v+x=\beta x$ gilt, was kannst Du dann über die Skalare $\alpha$ und $\beta$ aussagen?


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