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Universität/Hochschule Borel-Messbarkeit
jz97x
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  Themenstart: 2021-11-30

Hallo liebes Forum Ich soll zeigen, dass f:[0,1]->\IR monoton steigend borel-messbar ist. Zu meiner Vorgehensweise: Sei a\el\ [0,1] 1. Ist {f<=a}=\0, so ist nach Def. \0\el\ B(R) (wobei B(R) die Borelmenge darstellen soll) 2. Ist {f<=a}!=\0, so sei M:=sup{\omega:f(\omega)<=a} a) Ist M=\inf, so folgt {f<=a}=[0,1]\el\ B(R) b) Ist M<\inf , so gilt M\el\ {f<=a} => {f<=a}=(-\inf ,M]\el\ B(R) M\notel\ {f<=a} => {f<=a}=(-\inf ,M)\el\ B(R) Und somit ist f borel-messbar Ist mein Beweis richtig? LG


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StrgAltEntf
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  Beitrag No.1, eingetragen 2021-11-30

Hallo jz97xm du hast gar nicht angegeben, um welche Funktion f es überhaupt geht. Oder soll das etwas für jede Funktion gelten? Das ist i. A. nicht richtig: \(\{f\leq a\}=(-\infty,M]\) bzw. \(\{f\leq a\}=(-\infty,M)\). Insbesondere muss \(\{f\leq a\}\) ja eine Teilmenge aus [0,1] sein.


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jz97x
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  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2021-11-30

Ohh ich dussel. Die Funktion f soll monoton steigend sein. Tut mir sehr leid, habs vergessen zu erwähne.


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jz97x
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  Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2021-11-30

Gedanke: Ich könnte ja auch zeigen, dass die monoton steigende Funktion f stetig ist und dann argumentieren, dass jede stetige Funktion borel-messbar ist oder?


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Kezer
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  Beitrag No.4, eingetragen 2021-11-30

\quoteon(2021-11-30 15:31 - jz97x in Beitrag No. 3) Gedanke: Ich könnte ja auch zeigen, dass die monoton steigende Funktion f stetig ist und dann argumentieren, dass jede stetige Funktion borel-messbar ist oder? \quoteoff Führe deinen Gedanken doch mal weiter. Ist jede monoton steigende Funktion stetig?


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jz97x
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  Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2021-11-30

Eben nicht, war kein sinnvoller Gedanke


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jz97x
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  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2021-12-01

Hab jetzt eine Lösung: Da f monoton steigt gilt: f^(-1)(\IR)=\0, f^(-1)(\IR)=(-\inf, z) oder f^(-1)(\IR)=(-\inf, z] für z\el\ \IR Nach Def. einer Borelmenge gilt \0\el\B(\IR) und offene und halboffene Rechtecke sind Erzeuger von B(\IR), d.h. es gilt (-\inf, z), (-\inf, z]\el\ B(\IR) Stimmt das soweit?


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Kezer
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  Beitrag No.7, eingetragen 2021-12-01

Nein, das ist leider völlig falsch und auch nicht zielführend. Schreib die Definition des Urbildes komplett aus und beurteile dann nochmal deine angegebenen Urbilder. Dein Ansatz aus dem Ursprungspost war eigentlich schon ganz gut - du musst nur ein paar Kleinigkeiten fixen. Hier hast du StrgAltEntfs Hinweis noch nicht beachtet. Das solltest du aber tun.


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