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  Koordinatentransformation |
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NffN1
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 |  Themenstart: 2021-11-30
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Guten Tag,
betrachte die Gleichung $\frac{\partial^2u}{\partial x^2}-\frac{\partial^2u}{\partial y^2}=0$
Jetzt muss ich eine Koordinatentransformation $\xi=x+y,\eta=x-y$ durchführen. Dann hab ich ja $x=\frac{\xi+\eta}{2}, y=\frac{\xi-\eta}{2}$.
Und die Gleichung würde dann so aussehen: $(\frac{\partial}{\partial\xi}+\frac{\partial}{\partial\eta})^2u-(\frac{\partial}{\partial\xi}-\frac{\partial}{\partial\eta})^2u=0$
Jetzt soll ich diese durch Integration lösen. Da Differentialgleichungen nicht gerade meine Stärke ist weiss ich nicht wirklich wie man das macht.
Kann man das so umschreiben: $\frac{\partial^2u}{\partial\xi^2}+2\frac{\partial }{\partial\xi}\frac{\partial u}{\partial\eta}+\frac{\partial^2u}{\partial\eta^2}=\frac{\partial^2u}{\partial\xi^2}-2\frac{\partial }{\partial\xi}\frac{\partial u}{\partial\eta}+\frac{\partial^2u}{\partial\eta^2}$
Daraus würde ja dann folgen: $\frac{\partial }{\partial\xi}\frac{\partial u}{\partial\eta}=0$ und somit $u=const\cdot\eta$ oder $u=const\cdot\xi$?
MfG,
Noah
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Wally
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 | Beitrag No.1, eingetragen 2021-11-30
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\(\begingroup\)\(\newcommand{\D}{\displaystyle}\)
Hallo, Noah,
alles sieht richtig aus bis auf den letzten Schritt.
Aus \( \D \frac{\partial }{\partial\xi}\frac{\partial u}{\partial\eta}=0\) folgt zunächst \( \D \frac{\partial u}{\partial\eta}=C(\eta)\). Kommst du damit weiter?
Sonst überleg dir doch mal, wie alle Funktionen \( f:\IR^2\to \IR\) ausehen, die \( f_{xy}=0\) erfüllen. Tipp: \( e^x+ \arctan \sin y\) tut's.
Viele Grüße
Wally \(\endgroup\)
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Kuestenkind
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| Beitrag No.2, eingetragen 2021-11-30
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Huhu Noah,
\quoteon(2021-11-30 11:17 - NffN1 im Themenstart)
Kann man das so umschreiben: $\frac{\partial^2u}{\partial\xi^2}+2\frac{\partial }{\partial\xi}\frac{\partial u}{\partial\eta}+\frac{\partial^2u}{\partial\eta^2}=\frac{\partial^2u}{\partial\xi^2}-2\frac{\partial }{\partial\xi}\frac{\partial u}{\partial\eta}+\frac{\partial^2u}{\partial\eta^2}$
\quoteoff
wenn dir das nicht klar ist, frage ich: Wie kommst du darauf? Welchen Satz hast du benutzt? Ist dir klar, was das Quadrat hier bedeutet? Was wäre z. B. \(\left(\frac{\partial}{\partial x}+\frac{1}{x}\right)^2f(x)\) deiner Meinung nach?
Gruß,
Küstenkind
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NffN1
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| Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2021-11-30
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Ich weiss noch nicht recht, wie ich von $\frac{\partial u}{\partial\eta}=C(\eta)$ weiter machen kann. $C(\eta)$ ist doch nur irgendeine Funktion, die von $\eta$ abhängig ist. Also weiss ich nicht wie ich für u etwas genaueres als "Integral von $C(\eta)$ bekomme."
[Die Antwort wurde nach Beitrag No.1 begonnen.]
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NffN1
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| Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2021-11-30
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Zur Antwort von Kuestenkind:
wie ich darauf komme ist, dass ich mir gedacht habe ich kann einfach die Binomialformel anwenden.
Dein Beispiel wäre ja dann $(\frac{\partial^2}{\partial x^2}+2\frac{\partial}{\partial x}\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2})f(x)=\frac{\partial^2}{\partial x^2}f(x)-\frac{1}{x^2}f(x)$
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Kuestenkind
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| Beitrag No.5, eingetragen 2021-11-30
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Siehe dort:
https://matheplanet.de/matheplanet/nuke/html/viewtopic.php?topic=111534
Damit dein Ergebnis richtig ist, bräuchtest du denn noch einen Satz, dass du die partiellen Ableitungen vertauschen darfst.
Gruß,
Küstenkind
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NffN1
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| Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2021-12-01
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Ok ich habs verstanden. Da die Stetigkeit der partiellen Ableitungen von u nicht gegeben sind kann ich den Satz von Schwarz nicht anwenden. Ich habe also: $\frac{\partial }{\partial\xi}\frac{\partial u}{\partial\eta}+\frac{\partial }{\partial\eta}\frac{\partial u}{\partial\xi}=0$
Aber dann weiss ich noch immer nicht wie ich weitermachen soll.
Oder kann ich etwa annehmen, dass die Konditionen für den Satz von Schwarz erfüllt sind?
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Wally
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| Beitrag No.7, eingetragen 2021-12-01
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\(\begingroup\)\(\newcommand{\D}{\displaystyle}\)
Ich würde bei dieser Aufgabe einfach davon ausgehen, etwa "Sei \( u\in C^2(\IR^2)\)" drüberschreiben.
Viele Grüße
Wally \(\endgroup\)
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NffN1
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| Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2021-12-01
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Okay, das vereinfacht die Sache zwar, aber ich weiss wie gesagt noch immer nicht wie ich mit $\frac{\partial u}{\partial\eta}=C(\eta)$ bzw $\frac{\partial u}{\partial\xi}=C(\xi)$ weitermachen soll.
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Wally
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| Beitrag No.9, eingetragen 2021-12-01
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Integriere beides und vergleiche.
Viele Grüße
Wally
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NffN1
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| Beitrag No.10, vom Themenstarter, eingetragen 2021-12-01
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Ich verstehe irgendwie nicht wie ich $C(\eta)$ integrieren soll. Wie gesagt, ich nicht gerade gut in solchen Sachen.
Will man etwa darauf hinaus, dass $C(\xi)=C(\eta)$?
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Wally
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| Beitrag No.11, eingetragen 2021-12-01
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\(\begingroup\)\(\newcommand{\D}{\displaystyle}\)
Sei \( D\) eine Stammfunktion von \( C\).
Dann ist \( u(\eta, \xi)=D(\eta)+ ?\) Was kommt dazu?
Viele Grüße
Wally \(\endgroup\)
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NffN1
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| Beitrag No.12, vom Themenstarter, eingetragen 2021-12-01
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Eine Konstante. Dann hat man $u=D(\eta)+c_1=D(\xi)+c_2$.
Wäre die Lösung dann $u=D(x+y)+c_1$ bzw $u=D(x-y)+c_2$?
Oder hängen die c's noch von $\xi$ bzw $\eta$ ab?
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Wally
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| Beitrag No.13, eingetragen 2021-12-01
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\(\begingroup\)\(\newcommand{\D}{\displaystyle}\)
Eine Konstante, die aber noch von \( \xi\) abhängen kann (Beweis durch Ableiten).
Viele Grüße
Wally \(\endgroup\)
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NffN1
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| Beitrag No.14, vom Themenstarter, eingetragen 2021-12-01
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Aber ist das u dann einfach $u=D(x+y)+C(x-y)$ oder $u=D(x-y)+C(x+y)$
Kann man das u denn nicht genauer berechnen? Die Lösung erscheint mir sehr vage.
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Wally
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| Beitrag No.15, eingetragen 2021-12-01
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Nein, das ist genau das, was heraus kommt.
Partielle Differentialgleichungen haben da Funktionen, wo gewöhnliche Dgl. Anfangswerte haben.
Viele Grüße
Wally
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Kuestenkind
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| Beitrag No.16, eingetragen 2021-12-01
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Huhu Noah,
ich sehe gerade nicht den Unterschied zwischen deinen Funktionen. Zu deiner Frage:
https://de.wikipedia.org/wiki/Partielle_Differentialgleichung#Rand-_und_Anfangswertprobleme
Das hatte Wally dir doch schon hier versucht zu vermitteln:
\quoteon(2021-11-30 16:32 - Wally in Beitrag No. 1)
Sonst überleg dir doch mal, wie alle Funktionen \( f:\IR^2\to \IR\) ausehen, die \( f_{xy}=0\) erfüllen. Tipp: \( e^x+ \arctan \sin y\) tut's.
\quoteoff
Die Funktion löst deine Funktion eben nun auch, siehe hier. Genau so gut können wir eben auch \(\ln(x+y)+\exp(\cos(x+y))\) nehmen, siehe hier.
Für \(c=1\) kannst du auch dort mal schauen:
https://en.wikipedia.org/wiki/D%27Alembert%27s_formula
Gruß,
Küstenkind
[Die Antwort wurde nach Beitrag No.14 begonnen.]
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NffN1
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| Beitrag No.17, vom Themenstarter, eingetragen 2021-12-01
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Achso. Ok, habs verstanden.
Danke euch beiden :)
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Kuestenkind
Senior
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| Beitrag No.18, eingetragen 2021-12-01
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Gerne! Wenn deine Frage damit geklärt ist, darfst du den Thread gerne abhaken.
Gruß,
Küstenkind
[Verschoben aus Forum 'Differentialgleichungen' in Forum 'Partielle DGL' von Kuestenkind]
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