Matroids Matheplanet Forum Index
Moderiert von Curufin epsilonkugel
Analysis » Funktionen » μ-approximierbare Funktionen
Autor
Universität/Hochschule μ-approximierbare Funktionen
cakepop2001
Aktiv Letzter Besuch: im letzten Quartal
Dabei seit: 03.04.2021
Mitteilungen: 22
  Themenstart: 2021-11-28

Hallo an alle. Ich gehe gerade das Skript aus meiner Ana Vorlesung noch einmal durch. In diesem haben wir einen Beweis zu $\mu$-monoton approximierbaren Funktionen durchgenommen, welchen ich aber komplett nicht nachvollziehen kann. https://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/b/54469_Bildschirmfoto_2021-11-28_um_11.33.36.png Könnte mir diesbezüglich bitte jemand helfen? Theoretisch habe ich den gesamten Beweis nicht verstanden. Ich verstehe absolut nicht, wie er mit der Aufgabe zusammenhängt :( Für was wähle ich eine Treppenfunktion und wie genau funktionieren die einzelnen Teilschritte? Danke schon einmal


   Profil
Bozzo
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 11.04.2011
Mitteilungen: 2213
Wohnort: Franken
  Beitrag No.1, eingetragen 2021-12-01

Hallo cakepop2001, eigentlich kommen die Treppenfunktionen aus der riemannschen Integrationstheorie und in der Masstheorie nutzt man stattdessen sog. "einfache" Funktionen. Eine einfache Funktion nimmt nur endliche viele verschiedene Werte yn an, deren Urbilder An = f-1({yn}) messbar sein muessen. Bei einer Treppenfunktion sind die Urbilder jedoch auch noch endliche Vereinigungen von Intervallen. Z. B. die charakteristische Funktion der rationalen Zahlen (sie ist 1 fuer jede rationale Zahl und sonst 0) ist keine Treppenfunktion aber eine einfache Funktion (nur zwei Funktionswerte 0 und 1 und das Urbild von 1 sind die rationalen Zahlen -- eine messbare Menge). Einfache Funktionen kann man als endliche Linearkombination von charakteristischen Funktionen schreiben. Z. B. das f aus dem ersten Absatz ist f = ∑n yn χAn. Wenn du Schwierigkeiten damit hast, solltest du dir diesen Punkt nochmal ganz genau angucken (auch in deinem Skript), denn das ist ein wesentlicher Punkt! Charakteristische Funktionen kann man wiederum ganz einfach integrieren, denn es ist IμA) = μ(A). Somit gilt fuer ein einfaches f aufgrund der Linearitaet des Integrals auch Iμ(f) = ∑n yn μ(An). Jetzt haben σ-Algeren jedoch noch die zusaetzliche Eigenschaft, dass sie stabil unter abzaehlbaren Vereinigungen und Durchschnitten sind. Insbesondere gilt dadurch, dass fuer eine aufsteigende oder absteigende Folge (An+1 ⊇ An oder An+1 ⊆ An) in der σ-Algebra auch deren Limit A in der σ-Algebra liegt (siehe Def. σ-Algebra). Und Massfunktionen haben die Eigenschaft, dass in dem Fall dann auch μ(An) → μ(A) gilt (siehe Def. Mass). Ausserdem ist durch die Eigenschaften der σ-Algebra sichergestellt, dass sich jede messbare Funktion durch einfache Funktionen approximieren laesst (die einfachen Funktionen liegen dicht in den messbaren Funktionen, schau dir an, ob du das aus eurer Def. messbarer Fkt. irgendwie herausarbeiten kannst). Dadurch ist das grundlegende Vorgehen sehr haeufig: Nimm dir eine Folge von einfachen Funktionen, die deine gesuchte Funktion auf geeignete Weise approximiert. Zeige den Sachverhalt fuer die einfachen Funktionen mit den einfachen Regeln, die dafuer gelten und nutze dann die Eigenschaften der σ-Algebra und des Masses um diese auf den Grenzwert zu uebertragen. In deinem Fall wurde jetzt sup(f,g) ≤ f + g - s gezeigt. Was sagt das jetzt ueber Iμ(sup(f,g)) aus? Wo fliesst ueberall ein, dass s eine einfache Funktion ist? Gruss Bozzo


   Profil
cakepop2001
Aktiv Letzter Besuch: im letzten Quartal
Dabei seit: 03.04.2021
Mitteilungen: 22
  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2021-12-01

Super, vielen Dank. Ich schau mir das ganze noch einmal in Ruhe an :)


   Profil
cakepop2001
Aktiv Letzter Besuch: im letzten Quartal
Dabei seit: 03.04.2021
Mitteilungen: 22
  Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2021-12-01

Ich habe mir jetzt das ganze noch einmal in Ruhe angeschaut. Die Abschätzung sup(f,g)$ \leq$ f+g-s ist noch elementar richtig, da benötigt man noch nicht, dass s eine elementare Funktion ist? Im nächsten Schritt würde ich diese Abschätzung ins Integral einsetzen, also $I_{\mu}$(sup(f,g))$ \leq$ $I_{\mu}$(f+g-s) = $I_{\mu}$ (f) + $I_{\mu}$ (g) + $I_{\mu}$ (-s) Wende ich im letzten Schritt jetzt an, dass s eine einfache Funktion ist? Und was genau bringt mir das s an dieser Stelle? In dem Skript steht ja, "Da s auf jeden Fall endliches Integral hat, folgt daraus die Behauptung". Diese Argumentation ist mir noch nicht ganz klar. Und vielen Dank auch noch einmal für die lange und ausführliche Antwort zuvor :)


   Profil
Bozzo
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 11.04.2011
Mitteilungen: 2213
Wohnort: Franken
  Beitrag No.4, eingetragen 2021-12-01

Was könnte schief gehen? Was, wenn Iμ(s) endlich ist? Was, wenn es nicht endlich ist? Was, wenn es gar nicht existiert?


   Profil
cakepop2001
Aktiv Letzter Besuch: im letzten Quartal
Dabei seit: 03.04.2021
Mitteilungen: 22
  Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2021-12-01

Icv stehe leider komplett auf dem Schlauch. :( Was meinst du damit?


   Profil
Bozzo
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 11.04.2011
Mitteilungen: 2213
Wohnort: Franken
  Beitrag No.6, eingetragen 2021-12-01

Was möchtest/sollst du zeigen?


   Profil
cakepop2001
Aktiv Letzter Besuch: im letzten Quartal
Dabei seit: 03.04.2021
Mitteilungen: 22
  Beitrag No.7, vom Themenstarter, eingetragen 2021-12-01

Ich soll zeigen, dass das Integral über das Supremum beschränkt ist


   Profil
Bozzo
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 11.04.2011
Mitteilungen: 2213
Wohnort: Franken
  Beitrag No.8, eingetragen 2021-12-01

Und wie nah bist du dem Ergebnis? Was fehlt jetzt noch?


   Profil
cakepop2001
Aktiv Letzter Besuch: im letzten Quartal
Dabei seit: 03.04.2021
Mitteilungen: 22
  Beitrag No.9, vom Themenstarter, eingetragen 2021-12-01

Ach kann ich vielleicht sagen, dass f+g-s dieselbe Form hat, wie f-s und g-s und deshalb beschränkt ist? Wir wissen ja bereits aus der Vorsussetzung, dass das Supremum von sup (f-s,g-s) endlich ist…


   Profil
Bozzo
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 11.04.2011
Mitteilungen: 2213
Wohnort: Franken
  Beitrag No.10, eingetragen 2021-12-01

Viel einfacher. Du musst Iμ(sup(f,g)) < ∞ hinkriegen und du hast schon Iμ(sup(f,g)) < Iμ(f) + Iμ(g) + Iμ(-s). Was fehlt noch?


   Profil
cakepop2001
Aktiv Letzter Besuch: im letzten Quartal
Dabei seit: 03.04.2021
Mitteilungen: 22
  Beitrag No.11, vom Themenstarter, eingetragen 2021-12-02

Ich weiß aus der Voraussetzung das Integral über f ist endlich, das Integral über g ist endlich und aucv das Integral über s. Ist es vielleicht das ?


   Profil
Bozzo
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 11.04.2011
Mitteilungen: 2213
Wohnort: Franken
  Beitrag No.12, eingetragen 2021-12-02

Genau. Die Integrale über f und g sind nach Voraussetzung endlich und das über s nach Konstruktion. Damit ist der Satz gezeigt. Wenn dir noch unklar ist, warum es ein solches s gibt und warum dessen Integral endlich ist, können wir das unabhängig vom Satz betrachten.


   Profil
cakepop2001 hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
cakepop2001 wird per Mail über neue Antworten informiert.

Wechsel in ein anderes Forum:
 Suchen    
 
All logos and trademarks in this site are property of their respective owner. The comments are property of their posters, all the rest © 2001-2022 by Matroids Matheplanet
This web site was originally made with PHP-Nuke, a former web portal system written in PHP that seems no longer to be maintained nor supported. PHP-Nuke is Free Software released under the GNU/GPL license.
Ich distanziere mich von rechtswidrigen oder anstößigen Inhalten, die sich trotz aufmerksamer Prüfung hinter hier verwendeten Links verbergen mögen.
Lesen Sie die Nutzungsbedingungen, die Distanzierung, die Datenschutzerklärung und das Impressum.
[Seitenanfang]