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Logik, Mengen & Beweistechnik » Induktion » Beweis mit Summenformel
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Universität/Hochschule Beweis mit Summenformel
dorfschmied
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  Themenstart: 2021-10-27

Hallo, ich muss folgende Gleichung für n >= 1 per Induktion beweisen: \[x^{n}-y^{n}=(x-y) \sum_{k=0}^{n-1} x^{n-1-k} y^{k}\] nun habe ich das für n=1 gezeigt und mit dem Induktionsschritt begonnen, habe hier jedoch Probleme mit dem Summenzeichen: \[\begin{aligned} &n+1 \\ &x^{n+1}-y^{n+1}=(x-y) \sum_{k=0}^{n} x^{n-k} y^{k} \\ &=(x)\left(\sum_{k=0}^{n} x^{n-k} y^{k}\right)+(-y)\left( \sum_{k=0}^{n} x^{n-k} y^{k}\right) \\ &\sum_{k=0}^{n} x^{2+n-k} y^{k}+\sum_{k=0}^{n} x^{n-k}\left(-y^{2+k}\right) \end{aligned}\] Ist das soweit richtig ? Und wie kann ich weiter vorgehen? LG


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Diophant
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  Beitrag No.1, eingetragen 2021-10-27

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bvm}{\begin{vmatrix}} \newcommand{\evm}{\end{vmatrix}} \newcommand{\mb}[1]{\mathbb{#1}} \newcommand{\mc}[1]{\mathcal{#1}} \newcommand{\mf}[1]{\mathfrak{#1}} \newcommand{\ms}[1]{\mathscr{#1}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle}\) Hallo, nein, das ist so sicherlich nicht richtig. Mal ganz abgesehen vom fehlenden Induktionsanfang nimmst du hier einfach an, dass die Induktionsannahme auch für \(n+1\) gilt. Das darf man im Rahmen eines solchen Induktionsbeweises aber gerade nicht tun. Muss es denn wirklich vollständige Induktion sein (das direkt nachzurechnen geht eigentlich deutlich einfacher)? Falls ja, dann würde ich zunächst beide Seiten der zu zeigenden Gleichung durch \(x^n\) dividieren, das macht die Sache wesentlich einfacher. Und dann wie gesagt: - einen geeigneten Induktionsanfang nachrechnen - die zu zeigende Gleichheit nochmal (ggf. in der dividierten Form) als Induktionsannahme hinschreiben - und dann den Induktionsschluss so führen, dass nur die Aussage \(A(n)\) verwendet wird, keinesfalls \(A(n+1)\). Denn dass letztere überhaupt wahr ist, also gilt, möchte man im Induktionsschluss ja gerade erst zeigen! Gruß, Diophant [Verschoben aus Forum 'Logik, Mengen & Beweistechnik' in Forum 'Induktion' von Diophant]\(\endgroup\)


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dorfschmied
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  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2021-10-27

Ich versuche das hier nochmal sauber aufzuschreiben da ich leider nicht weiterkomme und nicht genau weiss wie ich das x mit den Exponenten rausdividieren soll. \[\text { Zeige: } x^{n}-y^{n}=(x-y) \sum_{k=0}^{n-1} x^{n-1-k} y^{k} \quad \text { für } n \geq 1\] \[\begin{aligned} &\text { I. A. } n=1 \\ &x^{1}-y^{1}=(x-y) \sum_{k=0}^{0} x^{0} y^{0} \\ &x-y=x-y \quad \text { wahr } \\ &\text { Zu zeigen: } x^{n+1}-y^{n+1}=(x-y) \sum_{k=0}^{n} x^{n-k} y^{k} \end{aligned}\] Ich weiss nicht wie genau ich hier nun vorgehen soll , es scheitert an der Summenformel und an den Exponenten. Bitte um Hilfe. LG


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easymathematics
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  Beitrag No.3, eingetragen 2021-10-27

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ggT}{\mathbb{ggT}}\) Wie ja bereits gesagt, ist direktes nachrechnen deutlich einfacher. Falls aber Induktion gewünscht ist. Addiere eine geschickte 0. \( x^{n+1} - y^{n+1} = x^{n+1} + xy^n - xy^n - y^{n+1} \) Den Rest überlasse ich Dir.\(\endgroup\)


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Diophant
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  Beitrag No.4, eingetragen 2021-10-27

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bvm}{\begin{vmatrix}} \newcommand{\evm}{\end{vmatrix}} \newcommand{\mb}[1]{\mathbb{#1}} \newcommand{\mc}[1]{\mathcal{#1}} \newcommand{\mf}[1]{\mathfrak{#1}} \newcommand{\ms}[1]{\mathscr{#1}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle}\) Hallo, wenn du folgendes machst: Zunächst durch \(x^n\) dividieren: \[\ba x^n-y^n&=(x-y)\sum_{k=0}^{n-1}x^{n-1-k}y^k\quad\iff\\ \\ 1-\left(\frac{y}{x}\right)^n&=(x-y)\sum_{k=0}^{n-1}x^{-1-k}y^k\\ \\ &=\frac{x-y}{x}\sum_{k=0}^{n-1}\left(\frac{y}{x}\right)^k\\ \\ &=\left(1-\frac{y}{x}\right)\sum_{k=0}^{n-1}\left(\frac{y}{x}\right)^k \ea\] und nun noch \(q=\frac{y}{x}\) setzen: \[1-q^n=(1-q)\sum_{k=0}^{n-1}q^k\] Schaffst du es dann bzw. kommt dir das nicht bekannt vor? Der einzige Haken, den dieser Weg hätte ist der, dass man den Fall \(x=0\) gesondert nachrechnen müsste. Das ist aber so dermaßen einfach, dass das Wort "nachrechnen" hier schon ziemlich übertrieben ist... Solltest du aber doch deinen Ansatz weiterverfolgen wollen, dann wird dir nichts anderes übrig bleiben, als die Differenz \(x^{n+1}-y^{n+1}\) so durch Umformungen auf die gewünschte Form zu bringen, dass die zu zeigende Faktorisierung eben nur für \(x^n-y^n\) verwendet wird. Aber das wird, wie gesagt, etwas mühsam. Vergleiche einmal den Abschnitt 7 in diesem Artikel mit dem Aufwand, der hier für eine vollständige Induktion betrieben werden muss... Gruß, Diophant [Die Antwort wurde nach Beitrag No.2 begonnen.]\(\endgroup\)


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Kuestenkind
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  Beitrag No.5, eingetragen 2021-10-27

Huhu, \quoteon(2021-10-27 14:06 - Diophant in Beitrag No. 1) nein, das ist so sicherlich nicht richtig. Mal ganz abgesehen vom fehlenden Induktionsanfang nimmst du hier einfach an, dass die Induktionsannahme auch für \(n+1\) gilt. Das darf man im Rahmen eines solchen Induktionsbeweises aber gerade nicht tun. \quoteoff der IA wurde ja anscheinend erledigt und nur hier nicht notiert: \quoteon(2021-10-27 13:58 - dorfschmied im Themenstart) nun habe ich das für n=1 gezeigt und mit dem Induktionsschritt begonnen, habe hier jedoch Probleme \quoteoff \quoteon(2021-10-27 18:07 - dorfschmied in Beitrag No. 2) \[\begin{aligned} &\text { Zu zeigen: } x^{n+1}-y^{n+1}=(x-y) \sum_{k=0}^{n} x^{n-k} y^{k} \end{aligned}\] \quoteoff Das ergibt sich eigentlich auch ganz automatisch, wenn du einfach mit der rechten Seite beginnst und umformst, so dass du die IV benutzen kannst: \(\displaystyle (x-y)\sum_{k=0}^{n} x^{n-k} y^k=(x-y)\left(\sum_{k=0}^{n-1} x^{n-k} y^k+y^n\right)=x(x-y) \sum_{k=0}^{n-1} x^{n-k-1} y^k+(x-y)y^n\) Nun nutze die IV und dann steht das Ergebnis auch schon dort. Das ist eigentlich ziemlich Standard und auch nicht so schwierig... Gruß, Küstenkind


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