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Analysis » Maßtheorie » Zeigen, dass die Funktion (Borel-)messbar ist
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Universität/Hochschule J Zeigen, dass die Funktion (Borel-)messbar ist
dendi
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  Themenstart: 2021-10-20

Hallo Zusammen :) Meine frage handelt um Folgende Aufgabe : Seien f_1, . . . , f_m : ℝ^n → ℝ (Borel)-messbare Funktionen und φ : ℝ ^m → ℝ eine stetige Funktion. Zeigen Sie, dass die Funktion F(x) = φ(f_1(x), . . . , f_m(x)) (Borel)-messbar ist. Meine Idee: Ich weiss (bzw habe eine Aufgabe vorher versucht zu beweisen) ,dass jede stetige Funktion (Borel-) messbar ist, weil nach Stetigkeit das Urbild jeder offenen Menge wieder wieder offen ist. Da nach Definition das Mengensystem der offenen Menge einer Topologie ein Erzeugendensystem für eine sigma-Algebra der Borelmengen ist, ist die Funktion (Borel-)messbar. (Stimmt das soweit?) Ich möchte nun anhand des obigen Statements die Brücke zu F(x) schlagen , wir wissen, das F(x) Stetig und aber auch das f_i mit i ∈{1,...,m} (Borel-) messbar also erzeugt von offenen Mengen. Klappt das jetzt, wenn ich sage , dass das Urbild F^{-1} einer offenen Menge wieder offen ist (müsste ja, da f_i (Borel-)messbar )? Und desshalb ist es wieder ein Erzeugendensystem von offenen Mengen und somit F (Borel-)messbar ? Oder wie könnte ich das anderst lösen ? Ich hoffe man kommt draus , was ich meine ? Vielen Dank für die Hilfe


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nzimme10
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  Beitrag No.1, eingetragen 2021-10-20

\(\begingroup\)\(\renewcommand{\i}{\mathrm{i}} \renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}} \renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}} \newcommand{\e}{\mathrm{e}} \renewcommand{\d}{\ \mathrm{d}} \newcommand{\ddz}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}} \newcommand{\ddw}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}w}} \newcommand{\ddt}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}} \newcommand{\opn}{\operatorname}\) Hallo, setze $$ f\colon \mathbb R^n\to \mathbb R^m, \ x\mapsto(f_1(x),\dots,f_m(x)). $$ Dann gilt offenbar $F=\varphi\circ f$. Wenn wir nun wüssten, dass $f$ Borel-messbar ist, dann wären wir fertig, denn die Komposition messbarer Abbildungen ist messbar. Es bleibt dir also noch zu zeigen, dass $f$ messbar ist. Dazu könntest du dir zunächst überlegen (falls es dir noch nicht klar ist), dass $$ \mathcal Q:=\left\lbrace \prod_{j=1}^m I_j \subseteq \mathbb R^m\mid I_k\subseteq \mathbb R \text{ Intervall}\right\rbrace $$ ein Erzeugendensystem für die Borel-Algebra auf $\mathbb R^m$ ist (man könnte sich sogar auf offene Intervalle mit rationalen Intervallgrenzen beschränken!). Weiter kannst du dir überlegen, dass es reicht die Messbarkeit für ein Erzeugendensystem nachzuweisen (das hattest du ja schon erwähnt; sonst: Prinzip des guten Mengensystems.). Ist nun $Q=I_1\times\dots\times I_m\in \mathcal Q$ solch ein Quader, dann zeige, dass $$ f^{-1}(Q)=\bigcap_{j=1}^m \underbrace{f^{-1}_j(I_j)}_{\in \, \mathcal B(\mathbb R^n)} $$ gilt. Damit folgt die Messbarkeit von $f$ aus der von $f_1,\dots,f_m$. Übrigens gilt auch die umgekehrte Richtung; ist $f$ messbar, so auch $f_1,\dots,f_m$. Einen Beweis dafür findest du sicher selbst :) LG Nico Nächstes mal wäre es schön, wenn du dir die Mühe machen würdest $\LaTeX$ oder zumindest den Formeleditor zu verwenden. Das sieht erstens schöner aus und lässt sich zweitens viel besser und schneller lesen. [Verschoben aus Forum 'Analysis' in Forum 'Maßtheorie' von nzimme10]\(\endgroup\)


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dendi
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  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2021-10-21

Hallo Nico, nur schnell wegen Latex, wo lernt man das am besten? Ich denke je früher ich mir das aneigne, desto besser oder ? Und danke für deine ausführliche Erklärung! Ich denke so sollte ich das hinbekommen und versuche gleich auch den Rückweg zu zeigen! LG Dendi


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nzimme10
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  Beitrag No.3, eingetragen 2021-10-21

\(\begingroup\)\(\renewcommand{\i}{\mathrm{i}} \renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}} \renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}} \newcommand{\e}{\mathrm{e}} \renewcommand{\d}{\ \mathrm{d}} \newcommand{\ddz}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}} \newcommand{\ddw}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}w}} \newcommand{\ddt}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}} \newcommand{\opn}{\operatorname}\) Hallo, $\LaTeX$ lohnt sich definitiv. Früher oder später wirst du sicherlich auch mal eine Seminararbeit oder Bachelorarbeit schreiben und dafür (zumindest in der Mathematik) sicher $\LaTeX$ verwenden. Und auch um auf dem Matheplaneten zu kommunizieren lohnt es sich😉 Du kannst ja hier mal deine Argumentation zeigen und wir können schauen ob alles passt. LG Nico\(\endgroup\)


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