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Mathematik » Analysis » Kurvenintegral über Vektorfeld
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Universität/Hochschule Kurvenintegral über Vektorfeld
student77
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  Themenstart: 2021-10-14

Hallo Leute, ich habe eine Aufgabe bei der nicht weiß ob mein Ansatz so richtig ist. Aufgabe: Berechne \( U (\vec y) = \int_\gamma \frac{1} {| \vec y - \vec x |} ds \: \: \:\: ,\:\: \:\: \vec y \in \mathbb{R}^3 \backslash \gamma \: \: \:\: ,\:\: \:\: \vec x = \gamma (t) = \left( \begin{array}{c} t \\ 0 \\ 0 \\ \end{array} \right) \: \: ,\:\: - \frac{L} {2} \le t \le \frac{L} {2} \) Meine Überlegung war nun: \( \frac{1} {| \vec y - \vec x |} = \frac{1} { | \left( \begin{array}{c} y_1 \\ y_2 \\ y_3 \\ \end{array} \right) - \left( \begin{array}{c} t \\ 0 \\ 0 \\ \end{array} \right)|} = \frac{1} {|\left( \begin{array}{c} y_1 -t \\ y_2 \\ y_3 \\ \end{array} \right)| } \) und \( ds = \left( \begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ 0 \\ \end{array} \right) dt \) und somit \( U (\vec y) = \int \limits_{-\frac{L} {2} }^{ \frac{L} {2}} \frac{1} {| \left( \begin{array}{c} y_1 -t \\ y_2 \\ y_3 \\ \end{array} \right) | } \left( \begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ 0 \\ \end{array} \right) dt = \int \limits_{-\frac{L} {2} }^{ \frac{L} {2}} \frac{1} { \sqrt{ (y_1 -t)^2 + y_2^2+ y_3^2} } dt \) wäre das so weit richtig?


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Kuestenkind
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  Beitrag No.1, eingetragen 2021-10-15

Huhu student77, ich bin kein Fachmann auf diesen Gebiet, aber ist \(\frac{1} {| \vec y - \vec x |}\) nicht eher ein Skalarfeld? Bei deinem Integranden multiplizierst du doch auch eine Zahl mit einem Vektor - damit hättest du immer noch einen Vektor als Integrand. Es handelt sich hier also eher um ein Wegintegral erster Art (irgendwie so hast du ja anscheinend zum Schluss auch gerechnet). Gruß, Küstenkind


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student77
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  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2021-10-20

Hallo Kuestenkind, so wie ich das verstanden habe soll es ein Vektorfeld sein. Grüße Student77


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Kuestenkind
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  Beitrag No.3, eingetragen 2021-10-20

Hmm - verstehe ich nicht. Wie hast du denn multipliziert? Also wie bist du auf \(\frac{1}{\left|\begin{pmatrix} y_1-t \\ y_2 \\ y_3 \end{pmatrix} \right|}\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \stackrel{?}{=}\frac{1}{\sqrt{(y_1-t)^2+y_2^2+y_3^2}}\) gekommen? Links wird doch der Betrag eines Vektors (=Zahl) mit einem Vektor multipliziert. Wieso steht rechts denn kein Vektor mehr? Gruß, Küstenkind


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capstrovor
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  Beitrag No.4, eingetragen 2021-10-20

Das was hinter dem letzten Gleichheitszeichen steht ist korrekt, nur lautet die allgemeine Form für ein Pfadintegral einer skalaren Funktion \(f: \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}\) \(\int_\gamma f(\vec{y})ds = \int_{t_0}^{t_1}f(\gamma(t))\cdot |\dot{\gamma}(t)|dt\) mit \(\gamma: [t_0,t_1]\rightarrow \mathbb{R}^n\) ein Pfad in \(\mathbb{R}^n\). D.h. du hast im Integrand ein \(ds = |\begin{pmatrix}1\\ 0\\ 0 \end{pmatrix}|dt = dt\). LG PS: Küstenkind hat schon recht, du integrierst eine skalare Funktion. Nur parametrisierst du das Integral noch mit dem Vektor \(\vec{y}\) und bekommst somit wieder ein SKALAR-feld als Ergebnis (aber immer noch kein Vektorfeld).


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