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| Autor |
 Terme faktorisieren |
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kurvendiskutierer
Junior 
Dabei seit: 17.09.2021
Mitteilungen: 6
 |  Themenstart: 2021-09-17
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Hallo liebes Forum,
bei der Vorbereitung auf meine Analysis2-Prüfung bin ich beim Integralrechnen auf folgendes gestoßen: Der Term x^4 + x^2 + 1 wurde zu (x^2+x+1)*(x^2-x+1) faktorisiert.
Jetzt stellt sich mir die Frage, ob ich irgendetwas verpasst habe und ob es gewisse Tricks gibt, wie man solche Terme allgemein faktorisieren kann. (abgesehen von Nullstellen berechnen)
Oder braucht es einfach Zeit und Erfahrung, bis man auf so etwas kommt?
LG
Euer Kurvendiskutierer
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Red_
Aktiv 
Dabei seit: 28.09.2016
Mitteilungen: 1002
 | Beitrag No.1, eingetragen 2021-09-17
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Willkommen auf dem Matheplaneten!
Also abhängig von der Aufgabe müsste man sich überlegen, ob eine Faktorisierung hilfreich ist (was aber oft der Fall ist, um das Problem in kleinere Probleme aufzuteilen).
Also auf den ersten Blick kam mir folgendes in den Sinn:
Das Ding ist eine biquadratischer Term.
\(z:=x^2\) -----> \(z^2+z+1\)
Geometrische Reihe: \(z^2+z+1=\dfrac{z^3-1}{z-1}\)
Jetzt rücksubstitutionieren und bisschen binomische Formel anwenden.
Und ja, alles hat mit Übung, Zeit und Erfahrung zu tun, egal was.
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Diophant
Senior 
Dabei seit: 18.01.2019
Mitteilungen: 9527
Wohnort: Rosenfeld, BW
 | Beitrag No.2, eingetragen 2021-09-17
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\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}}
\newcommand{\ea}{\end{aligned}}
\newcommand{\bc}{\begin{cases}}
\newcommand{\ec}{\end{cases}}
\newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}}
\newcommand{\epm}{\end{pmatrix}}
\newcommand{\bvm}{\begin{vmatrix}}
\newcommand{\evm}{\end{vmatrix}}
\newcommand{\mb}[1]{\mathbb{#1}}
\newcommand{\mc}[1]{\mathcal{#1}}
\newcommand{\mf}[1]{\mathfrak{#1}}
\newcommand{\ms}[1]{\mathscr{#1}}
\newcommand{\on}{\operatorname}
\newcommand{\ds}{\displaystyle}\)
Hallo und willkommen hier im Forum!
Um das nicht einfach mit 'scharfem Hinsehen' zu bekommen, sodern gezielt herzuleiten, braucht es wohl den Umweg über die komplexen Zahlen.
Man könte also etwa folgendes machen:
\[x^4+x^2+1=x^4+x^2+\frac{1}{4}+\frac{3}{4}=\left(x^2+\frac{1}{2}\right)^2+\frac{3}{4}\]
Damit bekommt man dann in diesem Fall relativ leicht die vier komplexen Nullstellen des Polynoms. Wenn man da die jeweiligen Linearfaktoren mit den zueinander konjugiert-komplexen Nullstellen miteinander multipliziert, erhält man das gewünschte.
Gruß, Diophant
[Die Antwort wurde vor Beitrag No.1 begonnen.]
[Verschoben aus Forum 'Mathematik' in Forum 'Analysis' von Diophant]\(\endgroup\)
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kurvendiskutierer
Junior 
Dabei seit: 17.09.2021
Mitteilungen: 6
| Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2021-09-17
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Hallo Red__ und Diophant,
danke für eure raschen Antworten.
Dann bin ich schon einmal beruhigt und hoffe, dass ich bei der Prüfung auch das Quäntchen Glück hab und einen guten Einfall habe.
LG
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Kuestenkind
Senior
Dabei seit: 12.04.2016
Mitteilungen: 2430
| Beitrag No.4, eingetragen 2021-09-17
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Huhu kurvendiskutierer,
ich habe neulich auf YouTube einen schönen Satz von Steven Miller gehört. Sinngemäß ging er irgendwie so: "One of the most powerful tools in math is to do nothing." Und es gibt zwei Wege nichts zu tun - Multiplikation mit 1 und Addition von 0. Hier addiert man eine geschickte 0:
\(x^4+x^2+1=x^4+2x^2+1-x^2=(x^2+1)^2-x^2\)
Und das ist einfach die dritte binomische Formel.
Ich stimme aber auch Red_ zu:
\quoteon(2021-09-17 15:46 - Red_ in Beitrag No. 1)
Und ja, alles hat mit Übung, Zeit und Erfahrung zu tun, egal was.
\quoteoff
Gruß,
Küstenkind
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Diophant
Senior
Dabei seit: 18.01.2019
Mitteilungen: 9527
Wohnort: Rosenfeld, BW
| Beitrag No.5, eingetragen 2021-09-17
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Hallo nochmal,
man sollte sich da eine möglichst umfangreiche 'Trickkiste' zulegen. Und einen Blick für das Machbare bzw. das Gegenteil. Denn wenn das generell so einfach wäre, dann würde es ja letztendlich das Fach Algebra überhaupt nicht geben, da beliebige Polynomgleichungen ratz-fatz mit einer schönen Faktorisierung gelöst würden...
EDIT:
In Sachen Trickkiste ist der Hinweis von Kuestenkind sozusagen der brasilianische Übersteiger... 😉
Gruß, Diophant
[Die Antwort wurde nach Beitrag No.3 begonnen.]
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