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Beruf J Extremwerte einer impliziten Funktion
Andreas88
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  Themenstart: 2021-09-13

Hallo 🙂 Ich habe ein Gleichungssystem, für eine Variable (z.B \(M\)) möchte ich berechnen können, welche maximale Werte die Variable \(M\) erreichen kann. Mich interessiert beides: wie ich das schriftlich und wie ich das mit Mathematica bewältigen kann. \[\left\{\frac{c_1+m M}{\sqrt{\left(m^2+1\right) \left(M^2+1\right)}}=\cos \left(\alpha _1\right),\frac{-c_2 \sin (\gamma )-c_1 \cos (\gamma )+m M}{\sqrt{\left(m^2+1\right) \left(M^2+1\right)}}=\cos \left(\alpha _2\right),c_1^2+c_2^2=1\right\}\] gesucht sind \(c_1,c_2,M\) dadurch ist das Gleichungssystem eindeutig lösbar die anderen sind Konstanten, allerdings, in den Bereichen wählbar: \(0<\gamma <2 \pi ,\frac{\pi }{2}<\alpha _i<\pi ,m>0\) Hier ist keine Funktion in expliziter Form, könnte mir hier implizite Differentiation helfen? Oder gibt es einfachere Methode (weil man die Gleichung hier sonst trotzdem nach \(M\) auflösen müsste)? Ich habe bei diesem Gleichungssystem durch geometrische Überlegungen sogar \(M_{\max }\) und \(M_{\min }\) bestimmt, aber mich würde eben universelle Methode interessieren. Ich danke für Eure Hilfe Mit freundlichen Grüßen Andreas


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Diophant
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  Beitrag No.1, eingetragen 2021-09-13

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bvm}{\begin{vmatrix}} \newcommand{\evm}{\end{vmatrix}} \newcommand{\mb}[1]{\mathbb{#1}} \newcommand{\mc}[1]{\mathcal{#1}} \newcommand{\mf}[1]{\mathfrak{#1}} \newcommand{\ms}[1]{\mathscr{#1}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle}\) Hallo, hm, das ist alles ein wenig unpräzise meiner Meinung nach. Was würdest du hier denn unter einem Maximum bzw. einem Minimum verstehen? Müssen die Werte simultan in allen drei Gleichungen ein Extremum annehmen oder betrachtest du die drei Gleichungen für sich? So wie es dasteht ist das ersteinmal eine Teilmenge des \(\IR^3\), so dass Begriffe wie Minimum und Maximum einer der Variablen hier ohne weitere Angaben keinen rechten Sinn ergeben. Oder kann es sein, dass du die jeweiligen Definitionsbereiche für die Variablen \(c_1\), \(c_2\) und \(M\) suchst? Gruß, Diophant \(\endgroup\)


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Andreas88
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  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2021-09-13

ich wollte noch \(M_{\max }\) und \(M_{\min }\) angeben, die ich aber eben nur aus geometrischen Überlegungen herleiten konnte: \(M_{\min }=\frac{\left| m \cos (\alpha )-\sin (\alpha )\right| }{\cos (\alpha )+m \sin (\alpha )}\) für \(m<-\frac{1}{\tan \left(\frac{1}{2} \left(\alpha _1+\alpha _2\right)\right)}\) und \(\alpha \text{:=}\max \left(\alpha _1,\alpha _2\right)\). Ansonsten \(\alpha \text{:=}\min \left(\alpha _1,\alpha _2\right)\) für \(m>-\frac{1}{\tan \left(\frac{1}{2} \left(\alpha _1+\alpha _2\right)\right)}\) \(M_{\max }=\frac{\sin (\alpha )+m \cos (\alpha )}{m \sin (\alpha )-\cos (\alpha )}\) für \(\alpha \text{:=}\max \left(\alpha _1,\alpha _2\right)\). Deswegen, für mich jetzt der Weg ist das Ziel 🙃 [Die Antwort wurde vor Beitrag No.1 begonnen.]


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Andreas88
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  Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2021-09-13

\quoteon(2021-09-13 15:50 - Diophant in Beitrag No. 1) Hallo, ... Oder kann es sein, dass du die jeweiligen Definitionsbereiche für die Variablen \(c_1\), \(c_2\) und \(M\) suchst? Gruß, Diophant \quoteoff Ja. Kann man so stehen lassen. Indem ich die Konstanten in den angegebenen Bereichen variiere, welchen maximalen / minimalen Wert die Variablen \(c_1\), \(c_2\) und \(M\) erreichen können? Wobei, \(c_1\) und \(c_2\) sind mir uninteressant.


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Diophant
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  Beitrag No.4, eingetragen 2021-09-13

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bvm}{\begin{vmatrix}} \newcommand{\evm}{\end{vmatrix}} \newcommand{\mb}[1]{\mathbb{#1}} \newcommand{\mc}[1]{\mathcal{#1}} \newcommand{\mf}[1]{\mathfrak{#1}} \newcommand{\ms}[1]{\mathscr{#1}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle}\) Hallo, \quoteon(2021-09-13 16:35 - Andreas88 in Beitrag No. 3) \quoteon(2021-09-13 15:50 - Diophant in Beitrag No. 1) Oder kann es sein, dass du die jeweiligen Definitionsbereiche für die Variablen \(c_1\), \(c_2\) und \(M\) suchst? \quoteoff Ja. Kann man so stehen lassen. Indem ich die Konstanten in den angegebenen Bereichen variiere, welchen maximalen / minimalen Wert die Variablen \(c_1\), \(c_2\) und \(M\) erreichen können? Wobei, \(c_1\) und \(c_2\) sind mir uninteressant. \quoteoff \(c_1\) und \(c_2\) sind aber keinesfalls uninteressant. Für beide gibt die dritte Gleichung nämlich Werte aus \([-1,1]\) vor. Jetzt ist die nächste Frage: unter einer Definitionsmenge würde man hier auch wieder eine Teilmenge des \(\IR^3\) verstehen (denn so wie ich es verstehe, ist es eine Funktion \(f:\ D\subset\IR^3\to\IR^3\)). Meinst du das so? Scheint aber, du suchst nur die maximal möglichen Bereiche für die einzelnen Variablen und lässt insbesondere den Zusammenhang zwischen diesen unter den Tisch fallen? Deine bisherigen Bemühungen legen diese Betrachtungsweise jedenfalls nahe. Es sei nur der Form halber darauf hingewiesen, dass selbst wenn man da für alle drei Variablen eine Menge ermittelt, diese dann mit der Definitionsmenge der Funktion aus dem Themenstart nichts zu tun hat. Deine Resultate kann ich nicht nachvollziehen. Wenn man die beiden ersten Gleichungen aber als Gleichung einer Unbekannten \(M\) auffasst, dann führen diese Gleichungen doch mittels zweier elementarer Umforungen auf je eine quadratische Gleichung in \(M\). Dazu multipliziert man jeweils mit dem Nenner und quadriert anschließend. Deren Lösungen könntest du bestimmen und schauen, wie sich diese Lösungen jeweils abhängig von den anderen Parametern verhalten werden. Dabei kann man dann ja auch noch die Tatsache einfließen lassen, dass \(-1\le \cos(\alpha)\le 1\) gilt. Wie schon gesagt kann ich aber nach wie vor nicht nachvollziehen, wozu das alles gut sein sollte. Gruß, Diophant [Verschoben aus Forum 'Schulmathematik' in Forum 'Funktionen' von Diophant]\(\endgroup\)


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Andreas88
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  Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2021-09-13

ich habe jetzt \(\alpha _1=\frac{3 \pi }{4}\), \(\alpha _2=\frac{5 \pi }{6}\) und \(m=\frac{1}{5}\) gesetzt, die erste und zweite Gleichung in die dritte eingesetzt (und ein bisschen versucht zu vereinfachen). Es ergibt sich diese Gleichung (implizite Kurve \(F(M,\gamma )\)): \(\frac{1}{100} \left(\frac{\left(2 \left(\sqrt{13} \sqrt{M^2+1}+M\right) \cos (\gamma )+\sqrt{78} \sqrt{M^2+1}+2 M\right)^2}{\sin ^2(\gamma )}+4 \left(\sqrt{13} \sqrt{M^2+1}+M\right)^2\right)=1\) Diese Funktion kann man nun in 2d plotten https://matheplanet.de/matheplanet/nuke/html/uploads/b/49843_1_plot2.jpg die eingekreisten Stellen symbolisieren Extrempunkte mit \(M_{\max }\) und \(M_{\min }\). Diese Extrempunkte möchte ich berechnen können.


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Diophant
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  Beitrag No.6, eingetragen 2021-09-13

Hallo, ein Problem ist hier ehrlich gesagt, dass sich deine Frage von Beitrag zu Beitrag verwandelt... Zur letzten Frage kann man ersteinmal überhaupt nichts aussagen, so lange nicht klar ist, welchen Variablen die Achsen zugeordnet sind. Gruß, Diophant


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Andreas88
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  Beitrag No.7, vom Themenstarter, eingetragen 2021-09-13

Hallo, ich bin immer noch der Meinung, dass auch mein letzter Beitrag (#5) dem ersten Beitrag nicht widerspricht. Ich wollte nur der Klarheit halber Paar Konstanten festsetzen, um die Funktion in 2d plotten zu können. \(M\) ist die horizontale Achse (x-Achse), \(\gamma\) ist die vertikale Achse (y-Achse) Vielleicht war es doch falsch zu sagen, dass ich die Definitionsbereiche für die \(c_1,c_2\) und \(M\) suche. Ich meinte: wenn ich das Gleichungssystem nach \(c_1,c_2\) und \(M\) lösen würde, zwischen welchen Werten würden sich die Variablen \(c_1,c_2\) und \(M\) bewegen? Ich habe deswegen \(c_1,c_2\) als nicht interessant bezeichnet, weil es tatsächlich sofort sichtbar ist, dass \(c_1,c_2\in [-1,1]\) sind. Mit freundlichen Grüßen Andreas


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Diophant
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  Beitrag No.8, eingetragen 2021-09-14

Hallo, das macht es nicht besser. Einmal ist es eine Funktion, wobei völlig unklar bleibt, wie diese Funktion definiert ist, dann ist es wieder ein (nichtlineares) Gleichungssystem. Es bleibt also beides ein Rätsel: um was es geht, und was du damit vorhast. \quoteon(2021-09-13 23:38 - Andreas88 in Beitrag No. 7) Hallo, ich bin immer noch der Meinung, dass auch mein letzter Beitrag (#5) dem ersten Beitrag nicht widerspricht. \quoteoff Beispielsweise hängt diese Funktion jedesmal wieder von einer unterschiedlichen Auswahl an Variablen ab. Ich bitte um Verständnis, aber diese Art im Nebel zu stochern ist hier nicht mein Anliegen. Ich bin also hier erst einmal raus... Gruß, Diophant


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Andreas88
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  Beitrag No.9, vom Themenstarter, eingetragen 2021-09-14

\quoteon(2021-09-13 15:35 - Andreas88 im Themenstart) Hallo 🙂 Ich habe ein Gleichungssystem, für eine Variable (z.B \(M\)) möchte ich berechnen können, welche maximale Werte die Variable \(M\) erreichen kann. Mich interessiert beides: wie ich das schriftlich und wie ich das mit Mathematica bewältigen kann. \[\left\{\frac{c_1+m M}{\sqrt{\left(m^2+1\right) \left(M^2+1\right)}}=\cos \left(\alpha _1\right),\frac{-c_2 \sin (\gamma )-c_1 \cos (\gamma )+m M}{\sqrt{\left(m^2+1\right) \left(M^2+1\right)}}=\cos \left(\alpha _2\right),c_1^2+c_2^2=1\right\}\] gesucht sind \(c_1,c_2,M\) dadurch ist das Gleichungssystem eindeutig lösbar die anderen sind Konstanten, allerdings, in den Bereichen wählbar: \(0<\gamma <2 \pi ,\frac{\pi }{2}<\alpha _i<\pi ,m>0\) \quoteoff Ich gehe noch einmal meinen Beitrag durch. Ich werde noch mehr Beispiele angeben. Was ich möchte: ein mathematisches Verfahren kennenlernen, um für jede Lösungsvariable die obere und untere Schranke bestimmen zu können, die nicht überschritten werden können. \quoteon die anderen sind Konstanten, allerdings, in den Bereichen wählbar: \(0<\gamma <2 \pi ,\frac{\pi }{2}<\alpha _i<\pi ,m>0\)\quoteoff Im Beitrag #5 habe ich paar Konstanten schon vorbestimmt (außer \(\gamma\), damit die Funktion ein bisschen noch spannend bleibt). Egal, welche \(\gamma\) ich noch wähle, an dem Graph erkennt man, dass \(M\) den Wert \(-0.87883\) nicht mehr erreichen wird, genauso der Wert \(2.47227139\) nicht mehr erreicht wird (das "erkennt" man z.B durch Berechnen). Es ist also: \(-0.878830\)). Wendet man die Formeln aus dem Beitrag #2 an, so kommt man zu demselben Ergebnis (\(\frac{1}{37} \left(-13 \sqrt{3}-10\right)\leq M\leq \frac{1}{37} \left(13 \sqrt{3}-10\right)\), natürlich nur für den Spezialfall \(\alpha _1=\frac{3 \pi }{4}\), \(\alpha _2=\frac{5 \pi }{6}\) und \(m=\frac{1}{5}\))


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Andreas88
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  Beitrag No.10, vom Themenstarter, eingetragen 2021-09-14

\quoteon(2021-09-13 15:35 - Andreas88 im Themenstart) Hallo 🙂 ... Es ist also: \(-0.87883


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Andreas88
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  Beitrag No.11, vom Themenstarter, eingetragen 2021-09-17

Hallo, nur der Vollständigkeit halber wollte ich mich zufriedenstellende Antwort hinzufügen. \quoteon(2021-09-13 15:35 - Andreas88 im Themenstart) Hallo 🙂 Ich habe ein Gleichungssystem, für eine Variable (z.B \(M\)) möchte ich berechnen können, welche maximale Werte die Variable \(M\) erreichen kann. Hier ist keine Funktion in expliziter Form, könnte mir hier implizite Differentiation helfen? Oder gibt es einfachere Methode (weil man die Gleichung hier sonst trotzdem nach \(M\) auflösen müsste)? \quoteoff \quoteon(2021-09-14 16:57 - Andreas88 in Beitrag No. 9) Was ich möchte: ein mathematisches Verfahren kennenlernen, um für jede Lösungsvariable die obere und untere Schranke bestimmen zu können, die nicht überschritten werden können. \quoteoff \quoteon(2021-09-14 17:10 - Andreas88 in Beitrag No. 10) ... Dieses Verfahren gefällt mir noch nicht so richtig, da ich ein Gleichungssystem auf nur eine Gleichung reduzieren soll, und das ist doch nicht immer möglich? \quoteoff Und dieses Verfahren heißt "Methode der Lagrange-Multiplikatoren". Mit freundlichen Grüßen 🙃


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