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Mathematik » Geometrie » Dreiecksberechnung mit Innenkreisradius, Umkreisradius und einer Mittelsenkrechten
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Schule Dreiecksberechnung mit Innenkreisradius, Umkreisradius und einer Mittelsenkrechten
ebikerni
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2021-06-08


Hallo,
wieder
für eine erneute Berechnung der restlichen 19 Dreieckelemente sind die
3 Dreieckelemente
    Innenkreisradius    ri  =   3
    Umkreisradius       ru  =  12  und die
    Mittelsenkrechte    mc  =   9 gegeben.
Die Berechnung ist für mich auch wieder nicht realisierbar.
Ich benötige  nur die ersten Lösungen und evtl. Ergebnisse.
Alle restlichen Berechnungen kann ich auch selbst durchführen.
(Wie gegeben mit ri, ru, sc   und   ri, ru, wb)
Nochmals auch besten Dank an MontyPythagoras und haegar90.

Für alle Mitteilungen besten Dank !
Gruß ebikerni



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easymathematics
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2021-06-09


Das ist eine spannende Geschichte.

Du kannst mit d = sqrt( r_u ( r_u - r_i ) ) den Abstand der beiden Kreismittelpunkte bestimmen.

Legt man dann z. B. U in den Ursprung und I (d / 0) auf die x-Achse, so könnte folgendes zum Ziel führen.

Gebe Dir A auf U beliebig vor. A ( 12cos(t), 12sin(t) ).

Damit bestimmst Du abhängig von A die Punkte B und C mit der Eigenschaft I zu tangieren.

Nun stellst Dir die Forderung, dass die Gerade BC ebenfalls I tangiert und kannst so Rückschlüsse auf A ziehen.

Das gibt im Bestenfall eine Familie von Lösungen.

Mit der Angabe der Mittelsenrechten erhälst Du "das" Dreieck, von dem Du nun alle 3 Koordinaten kennst.

Inwiefern die trigonometrischen Gleichungen simpel zu lösen sind... das weiß ich nicht.

Eventuell gibt es einen eleganteren Weg. :)



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ebikerni
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2021-06-09


Hallo easymathematics,

danke für die Mitteilung. Ich habe aber große Probleme die Mitteilung
zu interpretieren.
In meinem Beispiel ist  
    Innenkreisradius    ri  =   3
    Umkreisradius       ru  =  12  und die
    Mittelsenkrechte    mc  =   9

"Du kannst mit d = sqrt( r_u ( r_u - r_i ) ) den Abstand der beiden Kreismittelpunkte bestimmen."

Die Berechnung ergibt d = sqrt( ru * ( ru - ri )) = 10.392305 .
Diese  graph. Darstellung ergibt aber ca.8.5 .
In vielen meinen graph, Darstelungen der Dreieckberechnungen gibt es
Differenzen zu den mathem. Berechnungen.
Wo ist hier das Problem ?

Gruss  ebikerni



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haegar90
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2021-06-09


Hallo ebikerni,

du erhältst mit der richtigen Euler- Gleichung $d^2=r_u\cdot(r_u-2\cdot r_i)$ $$d=\sqrt{12\cdot(12-2\cdot 3)}=\sqrt{72}\approx 8,485$$ das erwartete Ergebnis.
So wie es aussieht, hilft das aber noch nicht großartig weiter.


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Gruß haegar



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easymathematics
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, eingetragen 2021-06-10


Ah sorry... ich habe den Faktor 2 vergessen.



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ebikerni
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2021-06-11


Hallo easymathematics und haegar90,

herzlichen Dank für die Hinweise.

1.Meine am Beginn gemachte graph. Messung und Berechnung von d ergab
  eine Differenz. Danke haegar90 für die korrigierte Formel.
2.Mit korrigiertem d = 8.5  habe ich nun mit sehr vielen notwendigen
  Überlegungen von mir und Deinen natürlich schriftlichen Hinweisen die
  graphische Darstellung praktiziert.
3.Sicherlich muss die geglückte graphische Darstellung auch eine
  rechentechnische Lösung bringen. Aber wie ?

  ri = 3   ru = 12  mc = 9

  Kreis ru = 12 darstellen, Mittelpunke = U
  Punkt A auf Kreisbogen festlegen
  Kreis mc = 9 in U darstellen
  geplante Gearde  c  vo A an den Kreis mc = 9 tangieren
  Entfernung  von A  zu diesem Fußpunkt mc --> 0.5 c
  c/2^2 = ru^2 - mc^2
  c schneidet wieder Kreis ru = 12 --> B
  u.s.w.
 
  Meine Frage:
  Wo oder in welcher Literatur wird die Formel   d^2 = ru`* ( ru - 2*ri)  
  gezeigt ?  
 
   Gruß ebikerni



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easymathematics
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, eingetragen 2021-06-12


Hier kannst Du die Aussage und den Beweis dazu nachlesen.

de.wikipedia.org/wiki/Satz_von_Euler_(Geometrie)



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ebikerni
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, vom Themenstarter, eingetragen 2021-06-12


Hallo easymathematics,

danke für

"Hier kannst Du die Aussage und den Beweis dazu nachlesen.

de.wikipedia.org/wiki/Satz_von_Euler_(Geometrie)"

die Mitteilung und habe sie für mich sofort ausgedruckt.

Gruß  ebikerni



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MontyPythagoras
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, eingetragen 2021-06-13


Hallo ebikerni,
im Vergleich zu den beiden letzten Fragen mit der Seiten- und der Winkelhalbierenden ist diese recht einfach - man braucht zumindest keine kubische Gleichung lösen.
Wie Du in Deinem Beitrag #5 schon richtig festgestellt hast, hat man sofort auch die dazugehörige Dreiecksseite, wenn man die Mittelsenkrechte vorgibt, denn es gilt:
$$\tfrac14c^2+m_c^2=r^2\tag1$$Also folgt
$$c=2\sqrt{r^2-m_c^2}\tag2$$(Ausgangsformeln für die nachfolgende Herleitung wie immer aus der Formelsammlung Trigonometrie auf Wikipedia.) Es gilt:
$$2s=a+b+c\tag3$$$$4\rho r s=abc\tag4$$$$ab+ac+bc=s^2+\rho^2+4\rho r\tag5$$Wir formen (5) geringfügig um:
$$ab+c(a+b)=s^2+\rho^2+4\rho r\tag6$$und setzen (3) und (4) ein:
$$\frac{4\rho rs}c+c(2s-c)=s^2+\rho^2+4\rho r\tag7$$$c$ setzen wir ja nach (2) als bekannt voraus, wir haben eine quadratische Gleichung für $s$:
$$s^2-\left(2c+\frac{4\rho r}c\right)s+c^2+\rho^2+4\rho r=0\tag8$$$$s=c+\frac{2\rho r}c\pm\sqrt{\left(c+\frac{2\rho r}c\right)^2-c^2-\rho^2-4\rho r}\tag9$$Wurzel ausmultiplizieren und vereinfachen:
$$s=c+\frac{2\rho r}c\pm\sqrt{\frac{4\rho^2 r^2}{c^2}-\rho^2}\tag{10}$$Man kann noch $\frac1c$ ausklammern:
$$s=\frac1c\left(c^2+2\rho r+\rho\sqrt{4r^2-c^2}\right)\tag{11}$$Die Minus-Lösung habe ich hier direkt gestrichen, weil sie eine Phantomlösung ist, wie man mit aufwendiger Einsetzerei zeigen kann. Nun sind $s$ und $c$ bekannt, $a$ und $b$ sind dann ein Kinderspiel mit Gleichungen (3) und (4):
$$a+\frac{4\rho r s}{ac}+c=2s\tag{12}$$$$a^2-(2s-c)a+\frac{4\rho r s}{c}=0\tag{13}$$Sei wieder o.B.d.A. angenommen, dass $a\leq b$ gilt, dann ist
$$a=s-\tfrac12c-\sqrt{\left(s-\tfrac12c\right)^2-\frac{4\rho r s}{c}}\tag{14}$$Damit folgt letztlich wie immer
$$b=2s-a-c\tag{15}$$Damit sind alle Dreiecksseiten bekannt. Gleichung (11) kann man noch modifizieren, indem man für die Wurzel Gleichung (1) verwendet. Dann gilt nämlich
$$s=\frac1c\left(c^2+2\rho (r+ m_c)\right)\tag{11.2}$$ Ein Kochrezept brauchen wir hier nicht, arbeite in Deinem Programm einfach die Gleichungen (2), (11.2), (14) und (15) nacheinander ab.

Ciao,

Thomas



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Hallo MontyPythagoras,

ich war einige Tage nicht im Forum.
Dank für die Mitteilung der Formeln zur Berechnung der Seiten a b u. c
und konnte die Werte bestätigen.
Jetzt kann ich mit den Dreieckradien ri , ru u. einen von 6 Elementen
des Dreiecks Programme erstellen.

Gruß ebikerni
 



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