Matroids Matheplanet Forum Index
Moderiert von Fabi Dune ligning
Lineare Algebra » Vektorräume » Prüfung der Gleichheit von linearen Hüllen
Druckversion
Druckversion
Antworten
Antworten
Autor
Universität/Hochschule Prüfung der Gleichheit von linearen Hüllen
Spedex
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 19.03.2020
Mitteilungen: 878
Herkunft: Wien / Bayern
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2021-03-06

\(\begingroup\)\(\newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle} \newcommand{\(}{\left(} \newcommand{\)}{\right)}\)
Hallo, folgenden Aufgabenstellung:

Wobei es erstmal um a) geht:
Eine Linearkombination von den erstem Set an Vektoren wäre doch folgende:
\[a\cdot \begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}+b\cdot \begin{pmatrix}1\\0\\1\end{pmatrix}+c\cdot \begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}\] Mit \(a,b,c\in\mathbb{R}\)

Und die Linearkombination von dem zweiten Seit an Vektoren wäre:
\[x\cdot \begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}+y\cdot \begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}+z\cdot \begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}\] Mit \(x,y,z\in\mathbb{R}\)

Wie komme ich jetzt aber auf die Menge der Linearkombinationen, also die lineare Hülle?

Oder muss ich hier die Linearkombinationen gleich setzten?
\[a\cdot \begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}+b\cdot \begin{pmatrix}1\\0\\1\end{pmatrix}+c\cdot \begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}=x\cdot \begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}+y\cdot \begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}+z\cdot \begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}\] \[a+b=x\] \[a+c=y\] \[a+b=z\]
Vermutlich nicht...

Liebe Grüße
Spedex
\(\endgroup\)


Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
ochen
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 09.03.2015
Mitteilungen: 3152
Herkunft: der Nähe von Schwerin
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2021-03-06


Hallo,

doch, sie gleichzusetzen führt zum Ziel.
Die eine Frage ist: "Findest du zu jedem Tripel (a,b,c) auch ein Tripel (x,y,z), so dass die Gleichungen erfüllt sind?"
Die andere Frage ist: "Findest du zu jedem Tripel (x,y,z) auch ein Tripel (a,b,c), so dass die Gleichungen erfüllt sind?"



Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Diophant
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 18.01.2019
Mitteilungen: 6495
Herkunft: Rosenfeld, BW
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, eingetragen 2021-03-06

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle}\)
Hallo Spedex,

lassen sich mit den Vektoren \(\lbrace (1,1,1),(1.0,1),(0,1,0)\rbrace\) Vektoren mit \(x_1\neq x_3\) bilden? Wie sieht es bei der anderen Menge aus?

Für die b) benötigst du eine gewissen Identität zwischen den Quadraten der hyperbolischen Sinus- und Kosinusfunktion.


Gruß, Diophant

[Die Antwort wurde vor Beitrag No.1 begonnen.]
\(\endgroup\)


Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Spedex
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 19.03.2020
Mitteilungen: 878
Herkunft: Wien / Bayern
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2021-03-06

\(\begingroup\)\(\newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle} \newcommand{\(}{\left(} \newcommand{\)}{\right)}\)
Ok, also bei a) hätte ich mit einem Beispiel die Ungleichheit gezeigt:
\[x=y=0,z=2\] Das ergibt den Vektor:
\[\begin{pmatrix}0\\0\\2\end{pmatrix}\] Und der lässt sich nicht mit dem linken Set zusammensetzen:
\[0=a+b=2\] Andersherum lässt sich aber mit dem zweiten Set alles vom ersten Set darstellen. Trotzdem gilt jetzt vermutlich Ungleichheit, da sich zumindest eins nicht mit dem anderen darstellen lässt.
Gleichheit zu zeigen wäre vermutlich deutlich schwerer, da ein Beispiel nicht ausreichend ist.

Bei b):
Heißt "... ist xxx in der linearen Hülle von yyy...", dass man xxx mit etwas multiplizieren muss, sodass man auf yyy kommt?

Liebe Grüße
Spedex
\(\endgroup\)


Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
ochen
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 09.03.2015
Mitteilungen: 3152
Herkunft: der Nähe von Schwerin
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, eingetragen 2021-03-06


a) sieht schon mal gut aus. Bei der b) ist Ausmultiplizieren diesmal tatsächlich sinnvoll.



Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Spedex
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 19.03.2020
Mitteilungen: 878
Herkunft: Wien / Bayern
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2021-03-06

\(\begingroup\)\(\newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle} \newcommand{\(}{\left(} \newcommand{\)}{\right)}\)
Hm, was soll ich denn da großartig Multiplizieren...

Ich habe je etwas in der Form:
\[2(x+1)\cdot a=\sinh^2(x)\] usw.
Aber muss ich hier jetzt das \(a\) finden, wie schaut das aus?

Die Identität die gemeint ist, ist denke ich mal:
\[\cosh^2(x)-\sinh^2(x)=1\]
Was ich damit anstellen soll, bleibt mir ein Rätsel...

Liebe Grüße
Spedex
\(\endgroup\)


Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
ochen
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 09.03.2015
Mitteilungen: 3152
Herkunft: der Nähe von Schwerin
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, eingetragen 2021-03-06


\(\endgroup\)
\(\begingroup\)\(\newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle} \newcommand{\(}{\left(} \newcommand{\)}{\right)}\)2021-03-06 20:30 - Spedex in Beitrag No. 5 schreibt:
Die Identität die gemeint ist, ist denke ich mal:
\[\cosh^2(x)-\sinh^2(x)=1\]
\(\endgroup\)
Ja

Finde $a,b,c$, sodass
\[
a\cosh^2(x)+b\sinh^2(x)+cx=2(x+1)
\] für alle $x\in\mathbb R$ gilt.



Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Spedex
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 19.03.2020
Mitteilungen: 878
Herkunft: Wien / Bayern
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, vom Themenstarter, eingetragen 2021-03-06

\(\begingroup\)\(\newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle} \newcommand{\(}{\left(} \newcommand{\)}{\right)}\)
Hallo,
verstehe.

Zur Vollständigkeit:
\[a=2, b=-2,c=2\]
Vielen Dank für die Hilfe.

Liebe Grüße
Spedex
\(\endgroup\)


Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Spedex
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 19.03.2020
Mitteilungen: 878
Herkunft: Wien / Bayern
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2021-03-07


Bezüglich der ersten Teilaufgabe, also a):
Das erste Set ist in der linearen Hülle des zweiten Sets, aber das zweite Set ist nicht in der linearen Hülle des ersten Sets? Lässt sich das so beantworten?

Liebe Grüße
Spedex



Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Diophant
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 18.01.2019
Mitteilungen: 6495
Herkunft: Rosenfeld, BW
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.9, eingetragen 2021-03-07

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle}\)
Hallo,

2021-03-07 10:03 - Spedex in Beitrag No. 8 schreibt:
Bezüglich der ersten Teilaufgabe, also a):
Das erste Set ist in der linearen Hülle des zweiten Sets, aber das zweite Set ist nicht in der linearen Hülle des ersten Sets? Lässt sich das so beantworten?
\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle}\)

Nein. Man kann aber sagen, dass die lineare Hülle des ersten Sets eine Teilmenge der linearen Hülle des zweiten Sets ist. In Wirklichkeit handelt es sich ja beim zweiten Set um die kanonische Basis des \(\IR^3\) und bei der linearen Hülle des ersten Sets um einen (echten) Untervektorraum des \(\IR^3\).


Gruß, Diophant
\(\endgroup\)


Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Spedex
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 19.03.2020
Mitteilungen: 878
Herkunft: Wien / Bayern
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.10, vom Themenstarter, eingetragen 2021-03-07


Hm, das ist aber meiner Meinung nach komisch.
Bei der Aufgabe b) hat man eine Funktion und möchte überprüfen ob sie in der linearen Hülle der drei gegebenen Funktionen ist. Das mache ich, indem ich schau, ob ich die drei Funktionen so kombinieren kann, dass ich auf die zu überprüfende Funktion komme.

Jetzt übertragen wir das mal auf die Aufgabe a). Dann wäre es ja so, dass ich schaue, ob ich das zweite Set so sinnvoll kombinieren kann, dass ich auf das erste Set komme. Ist das der Fall, dann ist das erste Set Teil der linearen Hülle des zweiten Sets.

Anders herum geht es aber nicht...

Darf man das so nicht sehen?

Liebe Grüße
Spedex



Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Diophant
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 18.01.2019
Mitteilungen: 6495
Herkunft: Rosenfeld, BW
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.11, eingetragen 2021-03-07


Doch, das darf man schon. Das Problem ist wohl, dass du den Begriff Lineare Hülle falsch verstanden und deinen Beitrag #8 entsprechend falsch formuliert hast. Insbesondere das Wort 'Hülle' ist hier irreführend, wenn man es nämlich im ungangsspachlichen Sinn versteht.

Die Lineare Hülle einer gegebenen Menge von Vektoren ist einfach die Menge aller Vektoren, die sich durch Linearkombinationen dieser Vektoren darstellen lassen.

Manchmal sagt man auch Spann, Span oder auch Abschluss dazu. Insbesondere den Begriff 'Spann' finde ich an dieser Stelle einleuchtender.


Gruß, Diophant



Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Spedex hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
Spedex wird per Mail über neue Antworten informiert.
Neues Thema [Neues Thema] Antworten [Antworten]    Druckversion [Druckversion]

 


Wechsel in ein anderes Forum:
 Suchen    
 
All logos and trademarks in this site are property of their respective owner. The comments are property of their posters, all the rest © 2001-2021 by Matroids Matheplanet
This web site was originally made with PHP-Nuke, a former web portal system written in PHP that seems no longer to be maintained nor supported. PHP-Nuke is Free Software released under the GNU/GPL license.
Ich distanziere mich von rechtswidrigen oder anstößigen Inhalten, die sich trotz aufmerksamer Prüfung hinter hier verwendeten Links verbergen mögen.
Lesen Sie die Nutzungsbedingungen, die Distanzierung, die Datenschutzerklärung und das Impressum.
[Seitenanfang]