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Funktionentheorie » Integration » Komplexes Wegintegral, Singularität auf dem Rand
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Universität/Hochschule J Komplexes Wegintegral, Singularität auf dem Rand
ChangesCome
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2021-03-05


Guten Tag,

vielen Dank, dass es dieses Forum gibt, Ich habe hier schon einige Lösungen gefunden die mir sehr geholfen haben!

Jetzt stehe ich aber vor einem Problem, bei dem ich nicht weiterkomme und im Internet noch keine Lösung gefunden habe.

Die Aufgabe lautet wie folgt:

Sei fed-Code einblenden
fed-Code einblenden
die halbe Kreisscheibe mit Radius 2, deren Rand eine positive Orientierung besitzt. Bestimmen Sie

fed-Code einblenden

Da die Singularität in z=0 auf dem Rand liegt, kann ich den Residuensatz doch nicht anwenden oder? Ich habe versucht das Integral über die Cauchy Wegintegralformel zu lösen (darf ich das überhaupt?), kam jedoch zu keinem lösbaren Ergebniss.

Hat irgendjemand einen Tipp wie man das Integral lösen kann?

Vielen Dank!





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sonnenschein96
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2021-03-05


Hallo ChangesCome,

bevor Du anfängst zu rechnen, wäre es sinnvoll erstmal zu klären, was unter diesem Integral überhaupt zu verstehen ist. Als klassisches Kurvenintegral existiert dies nämlich nicht. Du würdest beim Integral über den Anteil auf der imaginären Achse auf ein Integral der Form \[\int_{-2}^2\frac{e^{\frac{-it}{2}}}{t}\,dt\] stoßen, was weder als ein uneigentliches Riemann-Integral noch als ein Lebesgue-Integral existiert.

Ist dort eine Art Cauchyscher-Hauptwert gemeint? Siehe
en.wikipedia.org/wiki/Cauchy_principal_value#Formulation



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ChangesCome
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2021-03-05


2021-03-05 15:55 - sonnenschein96 in Beitrag No. 1 schreibt:
Hallo ChangesCome,

bevor Du anfängst zu rechnen, wäre es sinnvoll erstmal zu klären, was unter diesem Integral überhaupt zu verstehen ist. Als klassisches Kurvenintegral existiert dies nämlich nicht. Du würdest beim Integral über den Anteil auf der imaginären Achse auf ein Integral der Form \[\int_{-2}^2\frac{e^{\frac{-it}{2}}}{t}\,dt\] stoßen, was weder als ein uneigentliches Riemann-Integral noch als ein Lebesgue-Integral existiert.

Ist dort eine Art Cauchyscher-Hauptwert gemeint? Siehe
en.wikipedia.org/wiki/Cauchy_principal_value#Formulation

Vielen Dank für die Antwort!

Beim Lösen bin ich auch im Internet über den Cauchy Hauptwert gestolpert, allerdings wird dieser bei uns in der Vorlesung nicht behandelt (Elektrotechnik Studium). Diese Aufgabe wurde in einer Probeklausur als Aufgabe zu Komplexen Wegintegralen gestellt.

Dies wundert mich, da bei uns in den Übungen keine komplexen Integrale mit Singularitäten auf dem Rand behandelt wurden.

Deswegen dachte ich, dass es vielleicht eine mögliche gibt, dieses Integral "auf einfache Weise" mit der Cauchy Integralformel oder dem Residuensatz zu berechnen, dies ist aber nach meinen Erkenntnissen nicht möglich, da diese doch nur definiert sind wenn die Singularität in oder außerhalb des Gebietes liegt(?).

Es ist also nicht möglich das Integral auf eine der beiden oben genannten Möglichkeiten zu berechnen, oder?




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Wally
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2021-03-05

\(\begingroup\)\(\newcommand{\D}{\displaystyle}\)
Nein, das geht nicht.

Entweder das gehört zu anderem Vorlesungsstoff, oder jemand hat sich beim Stellen der Frage vertan, z.b. könnte im Nenner \( z-1\) gemeint sein.

Viele Grüße

Wally
\(\endgroup\)


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sonnenschein96
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, eingetragen 2021-03-05


Was oft gemacht wird ist, dass man über einen ähnlichen Weg integriert, der aber die Singularität in einem kleinen Halbkreis umgeht. Das Integral ist dann nach dem Cauchyschen Integralsatz gleich \(0\). Dann lässt man den Radius des kleinen Halbkreises gegen \(0\) und den Radius des großen Halbkreises gegen \(\infty\) gehen. Damit kann man beispielsweise den Cauchyschen Hauptwert \(\operatorname{CHW}\int_{-\infty}^\infty\frac{e^{ix}}{x}\,dx\) berechnen, siehe z.B.
link.springer.com/content/pdf/10.1007%2F978-3-642-98066-4_2.pdf
Seite 277 oder auch
en.wikipedia.org/wiki/Dirichlet_integral#Complex_integration
(dort wurde statt des Weges der Integrand etwas verändert)

Ich denke aber, dass entweder in der VL etwas zu Cauchyschen Hauptwerten behandelt wurde, oder es sich einfach um einen Fehler handelt. Aber auch wenn es sich um einen Fehler handeln sollte, hast Du ja jetzt trotzdem etwas dazugelernt :)



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ChangesCome
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2021-03-05


Vielen Dank für die beiden Antworten!

Ich denke mal, dass es sich bei der Aufgabenstellung vielleicht echt ein Fehler eingeschlichen hat. Aber ja, trotzdem hat es mir etwas gebracht, ich habe mir den Cauchy Hauptwert nochmal etwas näher angeschaut.



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