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Universität/Hochschule J Dirac-Notation
Phoensie
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2021-03-02

\(\begingroup\)\(\newcommand{\N}{\mathbb{N}}             % Natürliche Zahlen \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}             % Ganze Zahlen \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}             % Rationale Zahlen \newcommand{\R}{\mathbb{R}}             % Reelle Zahlen \newcommand{\C}{\mathbb{C}}             % Komplexe Zahlen \newcommand{\ord}{\mathrm{ord}}         % Gruppenordnung \newcommand{\indep}{\perp \!\!\! \perp} % Stochastische Unabhängigkeit (Symbol) \renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}}   % Realteil \renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}}   % Imaginärteil \renewcommand{\d}{\operatorname{d}}     % Differential-d \)
Hallo miteinander

Ich versuche erneut, einen Beweis in Diracnotation umzusetzen.

Aussage.
Eigenvektoren zu verschiedenen Eigenwerten eines hermiteschen Operators stehen senkrecht aufeinander.

Beweis.
Seien $|\phi\rangle,|\psi\rangle \in V$ Eigenvektoren des hermiteschen Operators $\hat{A}$. Der Eigenwert von $|\phi\rangle$ sei $\lambda$ und der Eigenwert zu $|\psi\rangle$ sei $\mu$. Dann gilt:
\[
    \begin{align*}
        (\lambda - \mu) \langle \phi | \psi \rangle
        = \lambda \langle \phi | \psi \rangle - \mu \langle \phi | \psi \rangle
        = \langle \phi |\hat{A}| \psi \rangle - \langle \phi |\hat{A}| \psi \rangle
        = 0.
    \end{align*}
\] Für $\lambda \neq \mu$ folgt hieraus $\langle \phi | \psi \rangle = 0$.

[Die zweitletzte Gleichheit zweifle ich an... wie rechtfertigt man das in Diracnotation?]

Gleicher Beweis, in Notation der linearen Algebra.
Seien $v,w \in V$ Eigenvektoren der hermiteschen Matrix $A$. Der Eigenwert von $v$ sei $\lambda$ und der Eigenwert zu $w$ sei $\mu$. Dann gilt:
\[
    \begin{align*}
        (\lambda - \mu)\langle v,w \rangle
        &= \lambda \langle v, w \rangle - \mu \langle v, w \rangle \\
        &= \langle \lambda v, w \rangle - \langle v, \overline{\mu} w \rangle \\
        &= \langle \lambda v, w \rangle - \langle v, \mu w \rangle \\
        &= \langle A v, w \rangle - \langle v, A w \rangle \\
        &= \langle v, A w \rangle - \langle v, A w \rangle \\
        &= 0
    \end{align*}
\] Für $\lambda \neq \mu$ folgt hieraus $\langle v,w \rangle = 0$.

Danke im Voraus für Anmerkungen. LG Phoensie 😄
\(\endgroup\)


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PhysikRabe
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2021-03-02


Hallo Phoensie,

es ist wichtig zu erkennen, dass beide Beweise ident sind, und sich nur extrem geringfügig in der Notation unterscheiden (nämlich $|\phi\rangle\equiv v$, $|\psi\rangle \equiv w$, und $|$ statt $,$ im Skalarprodukt).

\(\endgroup\)
\(\begingroup\)\(\newcommand{\N}{\mathbb{N}}             % Natürliche Zahlen \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}             % Ganze Zahlen \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}             % Rationale Zahlen \newcommand{\R}{\mathbb{R}}             % Reelle Zahlen \newcommand{\C}{\mathbb{C}}             % Komplexe Zahlen \newcommand{\ord}{\mathrm{ord}}         % Gruppenordnung \newcommand{\indep}{\perp \!\!\! \perp} % Stochastische Unabhängigkeit (Symbol) \renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}}   % Realteil \renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}}   % Imaginärteil \renewcommand{\d}{\operatorname{d}}     % Differential-d \)2021-03-02 08:33 - Phoensie im Themenstart schreibt:
[Die zweitletzte Gleichheit zweifle ich an... wie rechtfertigt man das in Diracnotation?]
\(\endgroup\)

Warum? Die ausführliche Begründung hast du im anderen Beweis aufgeschrieben (wie gesagt, nur die Symbole sind anders), nämlich genau dieser Teil:

\(\endgroup\)
\(\begingroup\)\(\newcommand{\N}{\mathbb{N}}             % Natürliche Zahlen \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}             % Ganze Zahlen \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}             % Rationale Zahlen \newcommand{\R}{\mathbb{R}}             % Reelle Zahlen \newcommand{\C}{\mathbb{C}}             % Komplexe Zahlen \newcommand{\ord}{\mathrm{ord}}         % Gruppenordnung \newcommand{\indep}{\perp \!\!\! \perp} % Stochastische Unabhängigkeit (Symbol) \renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}}   % Realteil \renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}}   % Imaginärteil \renewcommand{\d}{\operatorname{d}}     % Differential-d \)2021-03-02 08:33 - Phoensie im Themenstart schreibt:
\[
    \begin{align*}
        \, \ldots
        &= \lambda \langle v, w \rangle - \mu \langle v, w \rangle \\
        &= \langle \lambda v, w \rangle - \langle v, \overline{\mu} w \rangle \\
        &= \langle \lambda v, w \rangle - \langle v, \mu w \rangle \\
        &= \langle A v, w \rangle - \langle v, A w \rangle \\
        &= \langle v, A w \rangle - \langle v, A w \rangle
    \end{align*}
\]
\(\endgroup\)

Grüße,
PhysikRabe


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"Non est ad astra mollis e terris via" - Seneca
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zippy
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, eingetragen 2021-03-02


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\(\begingroup\)\(\newcommand{\N}{\mathbb{N}}             % Natürliche Zahlen \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}             % Ganze Zahlen \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}             % Rationale Zahlen \newcommand{\R}{\mathbb{R}}             % Reelle Zahlen \newcommand{\C}{\mathbb{C}}             % Komplexe Zahlen \newcommand{\ord}{\mathrm{ord}}         % Gruppenordnung \newcommand{\indep}{\perp \!\!\! \perp} % Stochastische Unabhängigkeit (Symbol) \renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}}   % Realteil \renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}}   % Imaginärteil \renewcommand{\d}{\operatorname{d}}     % Differential-d \)2021-03-02 08:33 - Phoensie im Themenstart schreibt:
[Die zweitletzte Gleichheit zweifle ich an... wie rechtfertigt man das in Diracnotation?]
\(\endgroup\)

Es lohnt sich, sich zunächst einmal allgemein$$ K\,|\alpha\rangle = \alpha\,|\alpha\rangle \quad\implies\quad
\langle\alpha|\,K^* = \langle\alpha|\,\bar\alpha
$$zu überlegen: $\langle\alpha|\,K^*$ ist eine Linearform mit $
\langle\alpha|\,K^*|\chi\rangle =
\overline{\langle\chi|\,K|\alpha\rangle}=
\overline{\alpha\,\langle\chi|\alpha\rangle}=
\bar\alpha\,\langle\alpha|\chi\rangle$. Da das für beliebige $|\chi\rangle$ gilt, ist $\langle\alpha|\,K^* =
\bar\alpha\,\langle\alpha|$.

Für einen hermiteschen Operator $A=A^*$ folgt daraus speziell, das man ihn "sowohl nach links wie auch nach rechts" wirken lassen kann:$$ \langle\phi|A|\psi\rangle = \lambda\,\langle\phi|\psi\rangle
= \mu\,\langle\phi|\psi\rangle
$$Und damit sieht man die zweite Gleichheit sofort.

--zippy

[Die Antwort wurde vor Beitrag No.1 begonnen.]



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Phoensie
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2021-03-02

\(\begingroup\)\(\newcommand{\N}{\mathbb{N}}             % Natürliche Zahlen \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}             % Ganze Zahlen \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}             % Rationale Zahlen \newcommand{\R}{\mathbb{R}}             % Reelle Zahlen \newcommand{\C}{\mathbb{C}}             % Komplexe Zahlen \newcommand{\ord}{\mathrm{ord}}         % Gruppenordnung \newcommand{\indep}{\perp \!\!\! \perp} % Stochastische Unabhängigkeit (Symbol) \renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}}   % Realteil \renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}}   % Imaginärteil \renewcommand{\d}{\operatorname{d}}     % Differential-d \)
Mein Problem bei der Aufgabe liegt wirklich rein in der Notation. Die Logik und Argumentation verstehe ich (hoffentlich ist das aus der Linalg-Version des Beweises ersichtlich). Uns wurde in der Quantenmechanik-Vorlesung nur
\[
\begin{align*}
|v\rangle &= \text{ Ket (Vektor, $\equiv v$)} \\
\langle w| &= \text{ Bra (transponierter+konjugierter Vektor, $\equiv \overline{w}^T$)} \\
\langle v|w \rangle &= \text{ Bracket (Bra $\cdot$ Ket; Skalarprodukt, Resultat $\in \C$, in Linalg-Notation $\overline{v}^Tw$)} \\
\hat{A} &= \text{ linearer Operator (Hütchen zeigt dies an, $\equiv$ Matrix $A$)} \\
\hat{A}^\dagger &= \text{ adjungierter Operator (Dagger zeigt dies an, $\equiv \overline{A}^T$)} \\
|v\rangle\langle w| &= \text{ Operator (analog zum dyadischen Produkt in Linalg)}
\end{align*}
\] [Link: dyadisches Produkt]

Wie Konstrukte der Form $\langle v | \hat{A} | w \rangle$ zu interpretieren sind, wurde in Bezug auf Eigenwerte völlig ausgelassen (ergo ist unklar, wann was nach links und nach rechts wirkt, ob auch Zahlen zwischen Bra und Ket stehen dürfen,...).

Ich hoffe, ich nerve nicht mit diesen (evtl. trivialen) Fragen, aber ich finde, man kann erst eine Theorie bearbeiten, wenn die Notation dazu sitzt (ansonsten bereitet jede Formel Kopfzerbrechen)😵

LG Phoensie

PS: Danke vielmals zippy für den konstruktiven Kommentar. Das klärt schon mal ein wenig auf.🤗
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PhysikRabe
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, eingetragen 2021-03-02


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\(\begingroup\)\(\newcommand{\N}{\mathbb{N}}             % Natürliche Zahlen \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}             % Ganze Zahlen \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}             % Rationale Zahlen \newcommand{\R}{\mathbb{R}}             % Reelle Zahlen \newcommand{\C}{\mathbb{C}}             % Komplexe Zahlen \newcommand{\ord}{\mathrm{ord}}         % Gruppenordnung \newcommand{\indep}{\perp \!\!\! \perp} % Stochastische Unabhängigkeit (Symbol) \renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}}   % Realteil \renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}}   % Imaginärteil \renewcommand{\d}{\operatorname{d}}     % Differential-d \)2021-03-02 11:39 - Phoensie in Beitrag No. 3 schreibt:
Wie Konstrukte der Form $\langle v | \hat{A} | w \rangle$ zu interpretieren sind, wurde in Bezug auf Eigenwerte völlig ausgelassen (ergo ist unklar, wann was nach links und nach rechts wirkt, ob auch Zahlen zwischen Bra und Ket stehen dürfen,...).
\(\endgroup\)

"Wann was nach links und nach rechts wirkt": Diese Frage stellt sich in dieser Notation eigentlich gar nicht.

Ein Sinn der Notation $\langle v | \hat{A} | w \rangle$ ist ja gerade, dass man $\hat{A}$ nach rechts (als $\hat{A}$) oder nach links (eigentlich als $\hat{A}^\dagger$, in deinem Fall ist das aber gleich $\hat{A}$) wirkend interpretieren kann. Wie du siehst taucht diese unterschiedliche Interpretation gerade in deiner Rechnung auf.

(In manchen Arbeiten wird die Dirac-Notation sogar immer so verwendet, unabhängig davon, ob $\hat{A}$ hermitesch ist oder nicht. Das sorgt möglicherweise für Verwirrung, wenn man das zum ersten Mal sieht, weil dann Ausdrücke wie $\langle v | \hat{A} | w \rangle$ nicht unmittelbar in der Notation in Bra- und Ket-Anteile auseinandergezogen werden können, wenn man die Wirkung nach links betrachtet.)

Die Übersetzung zur "Notation der linearen Algebra":

"Nach rechts wirkend": $\langle v | \hat{A} | w \rangle \equiv \langle v, \hat{A} w\rangle$

Andererseits, "nach links wirkend": $\langle v | \hat{A} | w \rangle \equiv \langle \hat{A}^\dagger v, w\rangle = \langle \hat{A} v, w\rangle$ (letzte Gleichheit nur falls $\hat{A}$ hermitesch ist)

Grüße,
PhysikRabe


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zippy
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2021-03-02


2021-03-02 11:39 - Phoensie in Beitrag No. 3 schreibt:
aber ich finde, man kann erst eine Theorie bearbeiten, wenn die Notation dazu sitzt (ansonsten bereitet jede Formel Kopfzerbrechen)😵

Da stimme ich völlig zu. Und das funktioniert erst dann wirklich gut, wenn du die Beweise direkt in der Bra-Ket-Notation führen kannst und nicht im Kopf immer noch zwischen dieser und der Innenproduktnotation hin- und herübersetzten musst.

Die Bra-Ket-Notation soll ja eine Arbeitserleichterung darstellen und keinen Zuckerguss, den man über eine Rechnung in einer anderen Notation schüttet.



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zippy
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, eingetragen 2021-03-02


2021-03-02 14:45 - PhysikRabe in Beitrag No. 4 schreibt:
(In manchen Arbeiten wird die Dirac-Notation sogar immer so verwendet, unabhängig davon, ob $\hat{A}$ hermitesch ist oder nicht. Das sorgt möglicherweise für Verwirrung, wenn man das zum ersten Mal sieht, weil dann Ausdrücke wie $\langle v | \hat{A} | w \rangle$ nicht unmittelbar in der Notation in Bra- und Ket-Anteile auseinandergezogen werden können, wenn man die Wirkung nach links betrachtet.)

Man kann sie immer auseinanderziehen, man muss nur sauber definieren, was die Wirkung nach links sein soll:

2021-02-28 17:48 - zippy in Beitrag No. 3 schreibt:
Ein Bra $\langle u|$ entspricht der Linearform $v\mapsto\langle u,v\rangle$. $\langle u|A$ ist die Anwendung des zu $A$ transponierten Operators auf diese Linearform, also entspricht $\langle u|A$ der Linearform $v\mapsto\langle u,Av\rangle$.

[Zur Erinnerung: Für eine Abbildung $A\colon V\to W$ ist die transponierte Abbildung eine Abbildung $W'\to V'$ zwischen den Dualräumen, die eine Linearform $\alpha\in W'$ auf die Linearform $v\mapsto\alpha(Av)$ aus $V'$ abbildet.]

Aus diesen beiden Punkten ergibt sich$$ \Bigl(\langle u|A\Bigr)|v\rangle =
\langle u|\Bigl(A|v\rangle\Bigr) \;,$$und man sieht, wie suggestiv diese Schreibweise gewählt ist.



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PhysikRabe
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, eingetragen 2021-03-02


2021-03-02 16:30 - zippy in Beitrag No. 6 schreibt:
2021-03-02 14:45 - PhysikRabe in Beitrag No. 4 schreibt:
(In manchen Arbeiten wird die Dirac-Notation sogar immer so verwendet, unabhängig davon, ob $\hat{A}$ hermitesch ist oder nicht. Das sorgt möglicherweise für Verwirrung, wenn man das zum ersten Mal sieht, weil dann Ausdrücke wie $\langle v | \hat{A} | w \rangle$ nicht unmittelbar in der Notation in Bra- und Ket-Anteile auseinandergezogen werden können, wenn man die Wirkung nach links betrachtet.)

Man kann sie immer auseinanderziehen, man muss nur sauber definieren, was die Wirkung nach links sein soll

Das ist mir klar, und ich habe ja nichts Gegenteiliges behauptet. Wie ich geschrieben habe, muss die Wirkung nach links mit dem Adjungierten geschehen; deshalb muss man hier vorsichtig sein, wenn der Operator nicht hermitesch ist, denn ohne die von dir genannte saubere Definition sieht das unmittelbar (d.h. ohne weitere Erklärung) möglicherweise seltsam aus. Aber das hast du ja schon genauer im anderen Thread erklärt.

Grüße,
PhysikRabe


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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2021-03-02


Danke PhysikRabe und zippy; ihr seid mir wirklich eine grosse Hilfe mit diesen Tipps!👍

Ich denke, es hat jetzt (zumindest ansatzweise) *klick* gemacht im Kopf ... drum schaue ich mir gerade noch eine Vorlesung der HU Berlin über Dirac-Notation an, um das zu festigen. In den kommenden Tagen werde ich dann prüfen können, ob das geistig verankert wurde.😁😁

Liebe Grüsse, Phoensie



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