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Lineare Algebra » Determinanten » Determinante und Volumen
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Universität/Hochschule Determinante und Volumen
mappingmoe
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2021-01-18


Hey Leute,

ich sitze zur Zeit an folgender Aufgabe:
Seien \(v_1,...,v_n\in\mathbb{R}^n\) und \(A:=\{t_1v_1+...+t_nv_n|0\leq t_i \leq 1\}\) der von diesen Vektoren aufgespannte Parallelepiped. Zeigen Sie, dass das Volumen von A mit der Determinante der Matrix \(v_1,...,v_n\) übereinstimmt. Hinweis: Nutzen Sie Induktion und den Entwicklungssatz von Laplace.

Zuerst habe ich die Behauptung für \(n=1\) zeigen wollen. Da keine explizite Definition für das Volumen gegeben war, habe ich einfach folgendes geschrieben:
\(vol(A_1)=\int_0^1 v_1 dt=v_1\) und \(det(v_1)=v_1\).
Nun gilt es ja, das ganze für einen \(n+1\) dimensionalen Epiped zu zeigen.
\[det(v_1,...,v_{n+1})=\sum_{j=1}^{n+1} (-1)^{n+1+j} a_{n+1, j} det(A_{n+1, j}) \\
=\sum_{j=1}^n (-1)^{n+1+j} a_{n+1, j} det(A_{n+1, j}) + (-1)^{2n+2} a_{n+1, j} det(A_{n+1, n+1}) \\
=\sum_{j=1}^n (-1)^{n+1+j} a_{n+1, j} det(A_{n+1, j}) +  a_{n+1, j} vol(v_1,...,v_n) \\ \]
Hierbei steht die Matrix \(A_{i,j}\) für die Matrix mit der i-ten gestrichenen Zeile und der j-ten gestrichenen Spalte.
An der Stelle habe ich bereits probiert, den linken Summanden bzw. die Summe über die verschiedenen Matrizen zusammenzufassen innerhalb der Determinante (wegen Linearität) oder auch wie bereits auf der rechten Seite mit Hilfe der Induktionsannahme die Determinanten umzuschreiben, nichts hat mich allerdings auf dein vernünftiges Ergebnis gebracht.

Ich wäre dankbar für jeden Tipp und jede Hilfe!
Gruß, Moe



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Diophant
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2021-01-19

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle}\)
Hallo,

ich glaube, du machst dir hier das Leben zu schwer (oder ich verstehe die Aufgabe falsch).

Anstatt den Beweis über die Matrix \((v_1,v_2,\dotsc,v_n)\) zu führen, würde ich über die zugehörige Gram'sche Matrix gehen (und meine mich zu erinnern, dass das auch der übliche Weg ist).

Noch zwei Anmerkungen:

- den Induktionsanfang würde ich bei \(n=2\) ansetzen
- die Dinger heißen Parallelotope. "Parallelepiped" ist nach meiner Kenntnis der Name des entsprechenden Körpers aus dem \(\IR^3\).


Gruß, Diophant
\(\endgroup\)


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Triceratops
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, eingetragen 2021-01-24

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle} \newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle}\)
2021-01-19 17:18 - Diophant in Beitrag No. 1 schreibt:
- den Induktionsanfang würde ich bei \(n=2\) ansetzen

Wieso? Man kann den Induktionsanfang sogar bei $n=0$ starten. Beide Seiten sind dann $1$.

@mappingmoe: Das Volumen ist das Lebesgue-Maß. Kennst du den Transformationssatz? Daraus folgt sofort

$\lambda(A) = \det(v_1,\dotsc,v_n) \cdot \underbrace{\lambda([0,1]^n)}_{=1} = \det(v_1,\dotsc,v_n) .$

\(\endgroup\)


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mappingmoe
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2021-01-24


Wahrscheinlich macht es wirklich mehr Sinn, die Aufgabe über die Volumen-Form mit der Gramschen-Determinante anzugehen oder mit dem Transformationssatz. Leider war für die Aufgabe das Volumen nicht vernünftig als Lebeque-Maß definiert und den Transformationssatz hatten wir bis dahin glaube ich auch nicht vernünftig in der Vorlesung definiert. So wie ich es verstanden habe, war die Aufgabe etwas doof formuliert.
Trotzdem vielen Dank für eure Ideen!
Gruß,
moe



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