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Universität/Hochschule J Quantenzahlen, Mehrelektronenatom
TobiM
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2021-01-12


Hallo Zusammen,

ich habe ein Problem beim Verständnis mit der Magnetische Quantenzahl des Bahndrehimpulses $m_l$ bei Atomen mit mehreren Elektronen:

Allgemein gilt ja $m_l$= -l, -l+1,...,l bzw. $m_L$= -L, -L+1,...,L

Beispiel:

Elektronenkonfiguration $(2p^2)$: Es gilt $l_1$ = $l_2$ = 1 $\Rightarrow$ L = 0,1,2 und S = 0,1.

Soweit habe ich keine Probleme. Was für werte kann jetzt aber konkret $m_l$ annehmen, das ist doch abhängig davon was ich jetzt betrachte:

Bei S=1, L=0 ist der Zustand $^3S_1$ verboten, da die Wellenfunktion nach Pauli asymmetrisch sein muss:

Zustand erstes Elektron:  (n,1,1/2,$m_{l1}$)
Zustand zweites Elektron: (n,1,1/2,$m_{l2}$)

Welche Werte können $m_{l1}$ und $m_{l2}$ jetzt annehmen ?

Nur 0 da L = 0 ???
Könnten sie 1 und -1 annehmen müsste der Zustand ja erlaubt sein ?

Ist klar was mein Problem ist ?
Ich freue mich sehr über eine Antwort 😄.


Liebe Grüße

Tobias



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Rathalos
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2021-01-12


Hallo Tobim,

Es gibt viele erlaubte Zustände daher denke ich, dass du den Grundzustand suchst nach den Hundschen Regeln, da du den Spin maximierst.


Dann musst du \(m_l = -1, 0\) wählen. Die dritte Hundsche Regel besagt einerseits, dass der Drehimpuls $L$ maximiert wird. Andererseits sagt die 4 hundsche Regel das $J=|L-S|$ sein muss.



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TobiM
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2021-01-12


Vielen Dank für deine Antwort!

Mir geht es nicht um die Bildung des Grundzustandes sondern allgemein um mögliche Zustände bzw. warum bestimmte Kombinationen nicht möglich sind.

Mir ist nicht ganz klar wie ich $m_l$ wählen kann/muss.

Wie im Beispiel mit $np^2$:
S=1, L=0 mit $^3S_1$

Zustand erstes Elektron:  (n,1,1/2,$m_{l1}$)
Zustand zweites Elektron: (n,1,1/2,$m_{l2}$)

die Zahlen $m_{li}$ müssen unterschiedlich gewählt werden. Aber warum ist die Wahl $m_{l1}$ = 1 und $m_{l2}$ = -1 nicht erlaubt ??
Mir ist klar warum $m_{l1}$ = 0 und $m_{l2}$ = 0 nicht erlaubt ist, da wäre die Gesamtwellenfunktion symmetrisch.



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Rathalos
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2021-01-13


Die Wahl $(n, 1 ,0.5,1)$ $(n, 1 ,0.5,-1)$ ist erlaubt. Du kannst alle Zustände wählen die nicht die selben Quantenzahlen besitzen (Pauli Prinzip).



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TobiM
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2021-01-13


Das habe ich auch gedacht, laut Literatur (Demtröder) ist aber bei der Elektronenkonfiguration $(np^2)$ der Zustand $^3S_1$ nur erlaubt wenn $n_1 \neq n_2$ gilt.

Das ist genau mein Problem, dass ich nicht verstehe warum dieser Zustand trotzdem verboten sein soll.



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Rathalos
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2021-01-13


Hallo TobiM,

Der angegebene Zustand beschreibt nicht \(^3S_1\). Dieser Zustand kommt auch nicht vor. Jedoch kann die Elektronenkonfiguration $(n,1,0.5,1)$, $(n,1,0.5,-1)$ sein. Der Gesamtdrehimpuls dieses Zustandes kann $0,1,2$ sein. $0$ ist es in diesen Fall aber nicht.



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TobiM
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2021-01-14


Vielen Dank, dass hilft mir weiter!

Ich dachte das Termsymbol bildet man folgender weise:

$^{2S+1}L_J$ mit $S = s_1 \pm s_2 \pm ...$, $L = l_1 \pm l_2 \pm ...$ und $J=L+S$ mit $M_L = m_{l1} + m_{l2} +... = L$.
Ich habe dann noch nicht ganz verstanden was ich mit den $m_l$ anfange.



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Rathalos
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, eingetragen 2021-01-14


Hallo Tobim,

Falls du Drehimpulse mit $(l_1, m_1)$ und $(l_2, m_2)$ hast, dann gilt für den Gesamtdrehimpus \(|l_1 - l_2| \leq L \leq l_1 + l_2\) und \(M = m_1 + m_2\).

Anschaulich kannst du dir das so vor stellen. Sind die Drehimpulse entgegengesetzt, dann subtrahieren sie sich zum Gesamtdrehimpuls. Sind sie senkrecht, dann ändert sich der Betrag des Des Gesamtdrehimpulses nicht usw.
Da wir immer nur den Betrag angeben mit $l$ werden die Vektoreigenschaften der Drehimpulse vernachlässigt. Deshalb reicht auch einfache Addition von $l$ nicht aus.
  Da $m$ den Betrag des Drehimpulses in der Z Richtung darstellt, können wir diese bedenkenlos addieren.

Die Quantenzahlen $m_l$ haben für den Gesamtdrehimpuls nur eine Bedeutung um $M$ auszurechnen. Der neue Zustand ist komplett gegeben durch die Quantenzahlen. $|J, M, l_1, l_2 \rangle$

Falls du dir dies mathematisch ansehen willst, findest du was unter Clebsch-Gordan-Koeffizienten.

Ergänzung: Achte auch darauf Operatoren und Quantenzahlen zu unterscheiden. Der Operator \( \hat{\vec J} = \hat{\vec L} + \hat{\vec S} \) Die Quantenzahlen \( |l-s| \leq J \leq l+s\)



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TobiM
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2021-01-14


Vielen Dank das hilft mir sehr weiter !

Man entscheidet also anhand von $M$ wie sich $L$ aus $l_1$ und $l_2$ zusammensetzt ?!

Für $m_{l1} = 1$ und $m_{l2} = -1$ erhält man dann $M = 0$ also ergibt sich L = 1 bzw. P??
Bei $M= \pm 1$ addiere/subtrahiere man die Zahlen $l_i$ ?!
Was passiert bei $|M|>1$ ?



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Rathalos
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.9, eingetragen 2021-01-14


Hallo TobiM,

Leider kann man $L$ solange man keinen Zustand hat nicht so einfach bestimmen. (Oder ich kenne diese Formel/Verfahren nicht).

Seien also $m_1 = 1$ und $m_2 = -1$, $l_1,l_2 = 1$. Dann haben wir $ |1-1| \leq L \leq 1+1 $ und \(M_L = 0\). Die Möglichen Kombinatinen sind dann $(L=2, M_L = 0)$, $(L=1, M_L = 0)$ und $(L=0, M_L=0)$.
Wäre $M_L = 2$, dann wüssten wir $L = 2$, da ja immer $L \geq M_L$ sein muss. Leider hier ist das nicht der Fall.

Wie man Termsymbole konstruieren kann, ist in chem.libretexts.org/Courses/Pacific_Union_College/Quantum_Chemistry/08%3A_Multielectron_Atoms/8.08%3A_Term_Symbols_Gives_a_Detailed_Description_of_an_Electron_Configuration "Constructing Term Symbols" ausführlich geschildert.





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Rathalos
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Hallo Tobim,

Nachtrag:

In diesen Fall geht es einfacher. Wir haben \(M_s = 1\) also $S=1$. Weiterhin haben wir $L=0, 1, 2$. Da die WFN antisymetrisch sein muss und der Spinteil \(|S=1 \rangle \), und die Funktionen $|L=0,2\rangle$, symmetrisch sind kann es hier nur $| L = 1 \rangle$ sein. Wäre aber $M_s = 0$ wüssten wir nicht ob $S=0,1$ wäre und hätten das gleiche Problem.

Daher ist wohl immernoch "am zuverlässigsten" alle Zustände niederzschreiben und sich durchzuarbeiten.



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