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  Holomorphe Funktion und Homöomorphismus |
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Guten Morgen
Sei $A,B \subset \Bbb C$ und sei $f: A \to B$ ein Homöomorphismus. Wenn $f$ eine holomorphe Funktion ist, dann gilt $f'(z) \neq 0 \;\; \forall z \in A$.
Für den Beweis, dachte ich an einen Widerspruch. Sei also $f'(z_0)=0$ für ein $z_0 \in A$. Ich betrachte die Funktion $g(z):= f(z)-f(z_0)$. Dann hat $g$ eine Nullstelle der Ordnung $k$ in $z_0$. In einer Umgebung von $z_0$ kann man $g$ repräsentieren als $g(z)=(h(z))^k$ für eine holomorphe Funktion $h$ mit einer einfachen Nullstelle in $z_0$. Nun weiss ich aber nicht, wie weiter... Kann mir jemand weiterhelfen?
Vielen Dank!
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shipwater
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|      Beitrag No.1, eingetragen 2021-01-12
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Hallo,
aus technischen Gründen würde ich lieber mit $g(z):=f(z+z_0)-f(z_0)$ arbeiten. Dann ist $g(0)=g'(0)=0$ und du hast wieder $g(z)=(h(z))^k$ mit einer holomorphen Funktion $h$. Versuche nun zu zeigen, dass es ein $\delta >0$ und $z_1 \neq z_2$ mit $h(z_1)=\delta$ und $h(z_2)=\delta \exp\big(\frac{2\pi i}{k}\big)$ gibt. Das impliziert dann $g(z_1)=g(z_2)$ also hast du einen Widerspruch zur Injektivität.
Gruß Shipwater
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| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2021-01-12
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Vielen Dank für deine Antwort. Tatsächlich sehe ich ein, weshalb wir $g$ definieren sollten wie du es machst. Aber ich sehe nicht, wie ich dies zeigen kann. Wir wissen nicht gerade sehr viel über $h$ ausser, dass es eine holomorphe Funktion ist...
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shipwater
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| Beitrag No.3, eingetragen 2021-01-12
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Betrachte einen offenen Ball $B_{\varepsilon}(0)$ mit hinreichend kleinem Radius. Was kannst du über das Bild $h(B_{\varepsilon}(0))$ aussagen? Suche mal nach passenden Sätzen.
Gruß Shipwater
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| Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2021-01-12
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Okay ich habe mir mal in unserem Skript schlau gemacht und folgendes gefunden. Im Beweis diese Theorem über die Existenz dieser Funktion $g(z)$ haben wir gesehen, dass $h(z):=z \cdot \psi(l(z))$ holomorphe ist, wobei $\psi(w)=w^{1/k}$. Sprich $g$ ist nichts anderes als eine holomorphe Funktion hoch $k$. Aber nun stehe ich wieder vor einem Fragezeichen wie weiter?
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shipwater
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| Beitrag No.5, eingetragen 2021-01-13
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Du brauchst keine weiteren Informationen als $h(0)=0$ und dass $h$ holomorph auf $B_{\varepsilon}(0)$ ist. Das hilft dir weiter, um etwas über das Bild $h(B_{\varepsilon}(0))$ aussagen zu können.
Gruß Shipwater
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| Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2021-01-13
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Also ich denke unser Ziel ist es zu sagen, dass $h(B_{\epsilon}(0))$ offen ist. Aber ich sehe nicht, wie uns $h(0)=0$ da weiterhilft?
Wenn wir zeigen könnten, dass $h$ surjektiv ist in $B_{\epsilon}(0)$ ist, dann könnten wir einfach sagen dass es sicher $z_1,z_2$ in $B_{\delta}(0)\subset B_{\epsilon}(0)$ gibt s.d. $h(z_1)= \delta$ und $h(z_2)=\delta exp(\frac{2 \pi i}{k})$ aber ich übersehe etwas...
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shipwater
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| Beitrag No.7, eingetragen 2021-01-13
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$h(B_{\varepsilon}(0))$ ist offen, da $h$ holomorph ist und $B_{\varepsilon}(0)$ ein Gebiet ist (nach Klick). Wegen $h(0)=0$ gilt außerdem $0 \in h(B_{\varepsilon}(0))$. Kannst du das nun zu Ende denken?
Gruß Shipwater
PS: Wir können natürlich o.B.d.A. annehmen, dass $h$ nicht konstant ist. Denn sonst wäre auch $f$ konstant auf $B_{\varepsilon}(z_0)$ was direkt einen Widerspruch erzeugt.
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| Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2021-01-13
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Okay $0 \in h(B_{\varepsilon}(0))$ folgt, dass das Bild von $h$ wieder eine zusammenhägende Menge im $0$ ist. Aber es fehlt immer noch der Aspekt, dass $h$ Surjektiv sein sollte, nicht?
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shipwater
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| Beitrag No.9, eingetragen 2021-01-13
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Surjektiv bezüglich welcher Zielmenge? $h:B_{\varepsilon}(0) \to h(B_{\varepsilon}(0))$ ist natürlich surjektiv. Das ändert aber nichts daran, dass du mehr über $h(B_{\varepsilon}(0))$ wissen musst. Also nochmal: Wir haben $0 \in h(B_{\varepsilon}(0))$ und wir wissen, dass $h(B_{\varepsilon}(0))$ offen ist. Warum garantiert uns das schon die Existenz einer Kugel $B_r(0)$ mit $B_r(0) \subseteq h(B_{\varepsilon}(0))$? Wenn du dir das überlegt hast, bist du fertig, denn du kannst $\delta:=\frac{r}{2}$ setzen.
Gruß Shipwater
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| Beitrag No.10, vom Themenstarter, eingetragen 2021-01-13
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Tut mir leid, ich stehe voll auf dem Schlauch. Aber an dieser Stelle schon mal, vielen vielen Dank für deine Zeit und Geduld!
Also ich wir haben, dass $0 \in h(B_{\epsilon}(0)$ und $h(B_{\epsilon}(0)$ ist offen. Sprich es existiert per Definition von offen eine offenen Kugel um $0(\in h(B_{\epsilon}(0))$ mit Radius sagen wir $r$ s.d. $B_r(0) \subseteq h(B_{\epsilon}(0))$ gilt.
Aber weshalb bin ich nun fertig? Da blicke ich noch nicht durch. Folgt dies aus dem Fakt, dass $h:B_{\varepsilon}(0) \to h(B_{\varepsilon}(0))$ surjektiv ist?
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shipwater
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| Beitrag No.11, eingetragen 2021-01-13
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Mit $\delta:=\frac{r}{2}$ gilt doch nun $ \delta, \delta \exp\big(\frac{2\pi i}{k}\big) \in B_r(0) \subseteq h(B_{\varepsilon}(0))$. Also gibt es $z_1, z_2 \in B_{\varepsilon}(0)$ mit $h(z_1)=\delta$ und $h(z_2)= \delta \exp\big(\frac{2\pi i}{k}\big)$. Jetzt klar?
Gruß Shipwater
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| Beitrag No.12, vom Themenstarter, eingetragen 2021-01-13
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Genau, aufgrund der Surjektivität! Gut, nun habe ich es endlich vestanden! Vielen Dank für die Mühe shipwater. 😃
Viele Grüsse
Math_user
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shipwater
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| Beitrag No.13, eingetragen 2021-01-13
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Surjektivität spielt hier keine Rolle. Wie gesagt: Die Surjektivität von $h:B_{\varepsilon}(0)\to h(B_{\varepsilon}(0))$ ist trivial und völlig irrelevant. Wichtig ist die Aussage $B_r(0) \subseteq h(B_{\varepsilon}(0))$. Die hat aber nichts mit Surjektivität zu tun.
Gruß Shipwater
Edit: Vielleicht weiß ich jetzt was du meinst. Du willst die Surjektivität von $h:B_{\varepsilon}(0)\to h(B_{\varepsilon}(0))$ nutzen, um zu zeigen, dass es für jedes $y \in h(B_{\varepsilon}(0))$ ein $z \in B_{\varepsilon}(0)$ mit $h(z)=y$ gibt. Das ist zwar nicht falsch, aber absolut unnötig, denn du brauchst hier nur die Definition des Bildes $h(B_{\varepsilon}(0))=\{h(z):z \in B_{\varepsilon}(0)\}$.
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| Beitrag No.14, vom Themenstarter, eingetragen 2021-01-17
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Guten Abend shipwater
Exakt, dein Edit erklärt, weshalb ich mit der Surjektivität argumentieren wollte aber ich du hast natürlich recht, dass dies eigentlich ein kleiner Mehraufwand ist, da wir dies nicht benötigen!
Nochmals danke für deine Hilfe und einen guten Abend!
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