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Funktionentheorie » Holomorphie » Isolierte Singularitäten bestimmen
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Universität/Hochschule Isolierte Singularitäten bestimmen
Gent123
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2021-01-05



Hallo wisst ihr, wie man hier diese isolierten Singularitäten und deren Typ (hebbar, Pol oder wesentlich) der folgenden Funktionen bestimmt? Zudem muss ich das noch begründen.
(a) \( f_{1}(z)=\frac{\cos z}{z} \)
(b) \( f_{2}(z)=e^{-\frac{1}{x^{2}}} \)
(c) \( f_{3}(z)=\frac{1}{z^{2}+1} \)
(d) \( f_{4}(z)=\frac{1}{1-e^{z}} \).



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haerter
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2021-01-05


Hallo,

was hast Du Dir denn schon dazu überlegt?

Hast Du bei den einzelnen Funktionen jeweils einen Verdacht, welcher Typ Singularität es sein könnte?

In vielen Fällen sind Reihenentwicklungen hilfreich.

Viele Grüße,
haerter


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"The best way to have a good idea is to have lots of ideas."
 - Linus Pauling



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janewill
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, eingetragen 2021-01-05


$f_1$ hat einen Pol in $0$, da $zf_1$ dort eine hebbare Singularität ($\neq 0$) hat.

$f_2$ hat in $0$ eine wesentliche Singularität, da sich zwei verschieden Folgen $(a_n),(b_n)$ finden lassen, so dass $\lim a_n=\lim b_n =0$ und $\lim f(a_n)\neq \lim f(b_n)$. Die Exponentialfunktion ist $2\pi i$-periodisch. Daher wähle $a_n,b_n$, so dass $-\frac{1}{a_n^2}$ sich um Vielfache von $2\pi i$ unterscheiden.

$f_3$ hat nach Partialbruchzerlegung einfache Pole bei $\pm i$.

$f_4$ hat einen einfachen Pol bei $z=0$, da $\frac{1}{f_4} =1-e^z$ dort eine einfache Nullstelle hat.



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haerter
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2021-01-05


Hallo janewill,

willkommen hier im Forum.

Im Normalfall (wenn es um Übungsaufgaben und nicht um irgendwelche praktischen Probleme oder weitergehende Fragen geht) soll es eigentlich darum gehen, jemandem zu helfen, die Lösung so weit wie möglich selbst zu finden. Eine mit ein, zwei Tipps selbst erarbeitete Lösung bringt für weitere Aufgaben mehr als eine fertige Lösung.

Auch wenn Deine Hinweise noch keine fertige Lösung sind, ist es doch nicht mehr weit davon weg und der Kick, sich zu überlegen, was man sich genau überlegen muss, ist dadurch weg.

Viele Grüße,
haerter



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Gent123
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2021-01-12


Jane, vielen Dank für deine Hilfe!

Hearter, wer hat mit dir geredet haha



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