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 Isolierte Singularitäten bestimmen |
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Gent123
Junior 
Dabei seit: 02.07.2020
Mitteilungen: 8
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Hallo wisst ihr, wie man hier diese isolierten Singularitäten und deren Typ (hebbar, Pol oder wesentlich) der folgenden Funktionen bestimmt? Zudem muss ich das noch begründen.
(a) \( f_{1}(z)=\frac{\cos z}{z} \)
(b) \( f_{2}(z)=e^{-\frac{1}{x^{2}}} \)
(c) \( f_{3}(z)=\frac{1}{z^{2}+1} \)
(d) \( f_{4}(z)=\frac{1}{1-e^{z}} \).
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haerter
Senior 
Dabei seit: 07.11.2008
Mitteilungen: 1667
Herkunft: Bochum
|      Beitrag No.1, eingetragen 2021-01-05
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Hallo,
was hast Du Dir denn schon dazu überlegt?
Hast Du bei den einzelnen Funktionen jeweils einen Verdacht, welcher Typ Singularität es sein könnte?
In vielen Fällen sind Reihenentwicklungen hilfreich.
Viele Grüße,
haerter
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"The best way to have a good idea is to have lots of ideas."
- Linus Pauling
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janewill
Junior
Dabei seit: 05.01.2021
Mitteilungen: 16
| Beitrag No.2, eingetragen 2021-01-05
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$f_1$ hat einen Pol in $0$, da $zf_1$ dort eine hebbare Singularität ($\neq 0$) hat.
$f_2$ hat in $0$ eine wesentliche Singularität, da sich zwei verschieden Folgen $(a_n),(b_n)$ finden lassen, so dass $\lim a_n=\lim b_n =0$ und $\lim f(a_n)\neq \lim f(b_n)$. Die Exponentialfunktion ist $2\pi i$-periodisch. Daher wähle $a_n,b_n$, so dass $-\frac{1}{a_n^2}$ sich um Vielfache von $2\pi i$ unterscheiden.
$f_3$ hat nach Partialbruchzerlegung einfache Pole bei $\pm i$.
$f_4$ hat einen einfachen Pol bei $z=0$, da $\frac{1}{f_4} =1-e^z$ dort eine einfache Nullstelle hat.
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haerter
Senior
Dabei seit: 07.11.2008
Mitteilungen: 1667
Herkunft: Bochum
| Beitrag No.3, eingetragen 2021-01-05
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Hallo janewill,
willkommen hier im Forum.
Im Normalfall (wenn es um Übungsaufgaben und nicht um irgendwelche praktischen Probleme oder weitergehende Fragen geht) soll es eigentlich darum gehen, jemandem zu helfen, die Lösung so weit wie möglich selbst zu finden. Eine mit ein, zwei Tipps selbst erarbeitete Lösung bringt für weitere Aufgaben mehr als eine fertige Lösung.
Auch wenn Deine Hinweise noch keine fertige Lösung sind, ist es doch nicht mehr weit davon weg und der Kick, sich zu überlegen, was man sich genau überlegen muss, ist dadurch weg.
Viele Grüße,
haerter
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Gent123
Junior
Dabei seit: 02.07.2020
Mitteilungen: 8
| Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2021-01-12
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Jane, vielen Dank für deine Hilfe!
Hearter, wer hat mit dir geredet haha
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Themenstart: 2021-01-05