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Mathematik » Stochastik und Statistik » Orthogonalprojektion im Hilbertraum
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Beruf Orthogonalprojektion im Hilbertraum
sulky
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2020-12-05


Hallo Zusammen,

Hier ist offensichtlich ein Fehler in unserem Skript.
Ein Skalarprodukt alleine ist ja noch keine Aussage. Da ist bestimmt eine Gleichung oder eine Ungleichung gemeint.

Wenn ich die Stichwörter "Orthogonalprojektion" und "Hilbertraum" bei Google eingebe, da kommt so vieles dass ich die gesuchte Antwort nicht finde.

Bestimmt wissen fast alle MP Mitglieder was im Zusammenhang von bedingter Erwartung und Orthogonalprojektionen in Hilberträumen gemeint ist.

Wie heisst (ii) richtig?




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StefanVogel
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2020-12-05


Hallo sulky,
in der gleichen Zeile steht noch eine Gleichung. Vielleicht wird diese nur umgeformt, so dass am Zeilenanfang "gleich Null" gemeint ist.

Viele Grüẞe,
  Stefan




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sulky
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2020-12-05


Hallo Stefan,

Vielen Dank für deine schnelle Antwort.

Ja, das habe ich mir auch überlegt.
Aber da Skalarprodukte definitionsgemäss bilinear sein müssen finde ich
$<x,z>-<y,z>=0\rightarrow <x-y,z>=0 $ unnötig aufzuschreiben. Daher dachte ich an etwas anderes.


Aber noch eine Frage: Ich habe leider den versteckten Tipp noch nicht ganz verstanden. Was haben bedingte Erwartungen mit orthogonalprojektionen in Hilberträumen zu tun?



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zippy
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2020-12-05


2020-12-05 08:26 - sulky in Beitrag No. 2 schreibt:
Was haben bedingte Erwartungen mit orthogonalprojektionen in Hilberträumen zu tun?

Du hast in diesem Fall den Hilbertraum $H$ der $\mathcal A$-messbaren quadratintegrablen Funktionen und einen Unterraum $F$ der $\mathcal B$-messbaren Funktionen, wobei $\mathcal B$ eine Unteralgebra der $\sigma$-Algebra $\mathcal A$ ist.

Für $X\in H$ ist die bedingte Erwartung $Y=E(X\mid \mathcal B)\in F$ durch $E(X\,Z)=E(Y\,Z)$ für alle $Y\in F$ definiert und diese Gleichung bedeutet ja nichts anderes als $\langle X-Y,Z\rangle=0$.

--zippy



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sulky
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2020-12-05


Hallo Zippy,

Also ich nehme von nun an an, dass $=0$ vergessen ging.

Geht es hier also um den Hilbertraum $L^2(\mathcal{A})$? Das dies ist ein Vektorraum ist, wurde in anderen Kursen bereits erklärt.
Aber ein Hilbertraum verlang ja auch noch ein Skalarprodukt.

Ich erinnere mich dass wir mal mit dem Skalarprodukt $<f,g>:=\int_\Omega f\cdot \overline{g} \; d\mathbb{P}$, für $f,g \in L^2(\mathcal{A})$.

Aber ich weiss jetzt nicht, ob ich dieses Skalarprodukt einfach so verwenden darf. Ausserdem bin ich gar nicht sicher ob der Vektorraum bezüglich der Norm $\sqrt{<,>}$ komplett ist.




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zippy
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2020-12-05


2020-12-05 17:04 - sulky in Beitrag No. 4 schreibt:
Geht es hier also um den Hilbertraum $L^2(\mathcal{A})$?

Die Funktionen, um die es geht, leben auf der Grundmenge von $\mathcal A$, die du weiter unten $\Omega$ nennst. Außerdem geht in die Definition der Quadratintegrabilität auch das Maß $P$ ein. Daher schreibt man üblicherweise $L^2(\Omega,P)$.

2020-12-05 17:04 - sulky in Beitrag No. 4 schreibt:
Aber ich weiss jetzt nicht, ob ich dieses Skalarprodukt einfach so verwenden darf.

Warum solltest du es nicht verwenden dürfen? Hilbert ist schon so lange tot, dass bei der Verwendung eines Hilbertraum-Skalarproduktes keine Tantiemen mehr fällig werden.

2020-12-05 17:04 - sulky in Beitrag No. 4 schreibt:
Ausserdem bin ich gar nicht sicher ob der Vektorraum bezüglich der Norm $\sqrt{<,>}$ komplett ist.

Dann solltest du das nachlesen. Entweder in deinem Buch/Skript oder z.B. hier.



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