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 Restklassenringe und Integritätsbereiche |
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juergenX
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Die ursprüngliche Aufgabe von felix0429 war aus :
 Körpererweiterung
2020-12-02 20:51 - felix0429 im Themenstart schreibt:
Wie sieht die Abbildungmatrix von m_y aus? was bedeutet hier die Basis(1,x,x^2)??? kann jemand mir helfen? Danke im Voraus.
Ich mach mal einen eigene Frage daraus. Man kann sagen, dass die Basis $\begin{pmatrix}
1 \\
x \\
x^2
\end{pmatrix}$ ein Erzeugendensystem aller(!) Polynome ueber $\mathbb Q$ 2. Grades ist.
$f_2(x) = ax^2+bx+c, a,b,c \in Q$ oder als Vektor dargestellt:
$\vec f_2 = \begin{pmatrix}
c \\
b \\
a
\end{pmatrix}$.
Das Polynom $x^3-3x+1$ ist irreduzibel in Q.
Also $(x^3-3x+1)$ ist ein maximales und Primideal in $F[x]$. $F[x]/(x^3-3x+1)$ ist ein Restklassenring nach einem Primideal, und damt Integritätsbereich, nullteilerfrei und ein Körper (aus v. Waerden).
Wenn man den Quotientenring $F[x]/(x^3-3x+1)$ bildet, ist es so als wenn man alle Vielfachen von $x^3-3x+1$ auf 0 setzt.
Etwa $x^3 = 3x-1$ (!)
$3x^3 = (3x^3-9x+3)+(9x-3) = 9x-3$.
$x^4 = x*(x^3-3x+1)+(3x^2-x) = 3x^2-x$, denn wir können in kommutativen Ringen multiplizieren.
An der Stelle komme ich grade etwas in Verlegenheit.
Wenn alle vorigen Überleungen richtig sind, was ist das Inverse eines Polynoms aus $F[x]/(x^3-3x+1)$?
Etwa das Inverse von $g=2x+3$ oder allgemein das multplikative Inverse von $f(x)=ax^2+bx+c$?
Diese müssen invertierbar sein, aber wie? Mithilfe des Euklidschen Algorithmus?
Thx
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juergenX
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|      Beitrag No.1, vom Themenstarter, eingetragen 2020-12-04
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Die Frage ist ganz einfach:
Wie dividiert man in $Q[x]/(p)$?
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Red_
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 | Beitrag No.2, eingetragen 2020-12-05
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Sei $K$ ein Körper, dann sind Primideale ungleich 0 in $K[X]$ von der Form $(f)$, wobei $f\neq 0$ ein irreduzibles Polynom ist. Ich schreibe mal alles etwas formaler auf.
Sei $g+(f)\in K[X]/(f)$ ein Element ungleich 0 im Restklassenring (welcher ein Körper ist hier), d.h. $g$ ist nicht durch $f$ teilbar (in $K[X]$). Da $K[X]$ ein euklidischer Ring ist (und damit Hauptidealring und faktorieller Ring) sind $f$ und $g$ sogar teilerfremd in $K[X]$. Somit existieren Polynome $a,b\in K[X]$ mit $af+bg=1$. Betrachte die Restklasse mod $(f)$, so ist $b+(f)$ unser Inverses zu $g+(f)$. Dieses Element findet man mit Hilfe des deuklidschen Algorithmus (wie genau müsstest du nachschlagen).
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juergenX
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| Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2020-12-11
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2020-12-05 01:09 - Red_ in Beitrag No. 2 schreibt:
Sei $K$ ein Körper, dann sind Primideale ungleich 0 in $K[X]$ von der Form $(f)$, wobei $f\neq 0$ ein irreduzibles Polynom ist. Ich schreibe mal alles etwas formaler auf.
Sei $g+(f)\in K[X]/(f)$ ein Element ungleich 0 im Restklassenring (welcher ein Körper ist hier), d.h. $g$ ist nicht durch $f$ teilbar (in $K[X]$). Da $K[X]$ ein euklidischer Ring ist (und damit Hauptidealring und faktorieller Ring) sind $f$ und $g$ sogar teilerfremd in $K[X]$. Somit existieren Polynome $a,b\in K[X]$ mit $af+bg=1$. Betrachte die Restklasse mod $(f)$, so ist $b+(f)$ unser Inverses zu $g+(f)$. Dieses Element findet man mit Hilfe des deuklidschen Algorithmus (wie genau müsstest du nachschlagen).
Danke!
Nochmal zu (meiner) Erinnerung, da ich gut lerne, wenn ich was niederschreibe.
Ein Integritätsring ist ein Euklidischer Ring, falls eine Bewertungsfunktion $\displaystyle g\colon R\setminus \{0\}\to \mathbb {N}_{0}$ mit folgenden Eigenschaften existiert:
Für alle $\displaystyle x,y\in R$ mit $y\neq 0$ existieren Elemente
$\displaystyle q,r\in R$ mit $\displaystyle x=qy+r$ (Division mit Rest),
wobei entweder $\displaystyle r=0$ oder $\displaystyle g(r)<g(y)$ ist,
und für $\displaystyle x,y\in R\setminus \{0\}$ gilt stets $\displaystyle g(xy)\geq g(x)$.
Die minimale Bewertungsfunktion eines Polynoms ist der Grad.
Bsp.:
$y = (x^2+1)$.
$x = (2x^2+x+3)$.
$x = qy+r =2(x^2+1)+r = (2x^2+2) +3-x$.
Dann ist der $\deg (2x^2+x+3) = 2$, also die höchste Potenz ist der Wert.
und $\deg (x^2+1) = 2$.
Also $\displaystyle g(r)<g(y), 1 < 2$.
Ich nehme als Beispiel o.a. Restklassenkörper und im weiteren
$f(x) = x^3-3x+1$
$\large L=Q[x]/(f(x))$ wobei $f(x)$ irreduzibel in $\mathbb L$ ist.
Aufgabe 1: Finde das Inverse von $f(x)=2x+1 \in \mathbb L$.
Sei g = 1, $ggt(g,f) = 1$.
$g$ ist jedoch durch $f$ teilbar im Körper $\mathbb L$.
Dann ist $g+(f) = x^3-3x+2 \equiv 1$,
oder auch $g+n(f) = nx^3 - 3nx + n+1 \equiv 1$
So war mein Ansatz erstmal ohne Satz von Beziers und erweiterten Algorithums wie folgt:
$(2x+1)(ax^2-bx+c)= n \cdot f(x)+1 = nx^3 - 3nx + n+1$
Gibt es a,b,c,n aus $N$ ?
Das rechne ich nachher müssste aber passen :)
Frage: Wie genau wird denn ein Element aus Q in $\displaystyle L=Q[x]/(f(x))$ homomorph abgebildet?
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juergenX
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| Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2020-12-13
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2020-12-11 09:41 - juergenX in Beitrag No. 3 schreibt:
Das rechne ich nachher müssste aber passen :)
Frage: Wie genau wird denn ein Element aus Q in $\displaystyle L=Q[x]/(f(x))$ homomorph abgebildet?
Natürlich koennen wir einfach $Q \mapsto \mathbb L$ definieren als Monomorphismus $q \in Q\mapsto [l] \in \mathbb L: q \mapsto [q]$. einen Polynom vom Grad 0.
RechenAufgabe 1:
Finde das Inverse von $2x+1 \in \mathbb L = Q[x]/(f(x))$ wobei $f(x)$ irreduzibel in $\mathbb L$ ist.
Sei g = 1, $ggt(g,f) = 1$.
Dann ist $g+(f) = x^3-3x+2 \equiv 1$,
oder auch $g+q(f) = nx^3 - 3qx + q+1 \equiv 1$.
So war mein Ansatz erstmal ohne Satz von Beziers und erweiterten Algorithums wie folgt:
$(2x+1)(ax^2+bx+c)= q \cdot f(x)+1 = qx^3 - 3qx + q+1$.
$2ax^3+2bx^2+ax^2+bx+2cx+c = qx^3 - 3qx + q +1$.
$2ax^3+(2b+a)x^2+(b+2c)x+c = qx^3 - 3qx + q +1$.
gesucht sind:
$0 = 2a - q$.
$0 = b + 2c + 3q$.
$0 = 2b + a$.
$1 = c - q$.
$\left(
\begin{matrix}
2 & 0 & 0 & 1\\
1 & 2 & 0 & 0\\
0 & 1 & 2 & 3\\
0 & 0 & 1 & -1
\end{matrix}
\left|
\begin{matrix}
0\\
0\\
0\\
1
\end{matrix}
\right.
\right)$.
$a = -\frac{4}{19}$.
$b = \frac{2}{19}$.
$c = \frac{11}{19}$.
$q = -\frac{8}{19}$.
finally:
$\displaystyle (2x+1)(ax^2+bx+c)= q \cdot f(x)+1 = qx^3 - 3qx + q+1$.
$\displaystyle (2x+1)\cdot\frac{-4x^2+2x+11}{19} = \frac{-8x^3+24x -8 +19}{19}$.
$\displaystyle (2x+1)\cdot(-4x^2+2x+11) = [-8x^3+24x +11]\equiv [1]$.
Würde mich freuen wenn das jemand verifizieren /nachrechnen kann :)
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juergenX
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| Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2020-12-15
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2020-12-05 01:09 - Red_ in Beitrag No. 2 schreibt:
Sei $g+(f)\in K[X]/(f)$ ein Element ungleich 0 im Restklassenring (welcher ein Körper ist hier), d.h. $g$ ist nicht durch $f$ teilbar (in $K[X]$). Da $K[X]$ ein euklidischer Ring ist (und damit Hauptidealring und faktorieller Ring) sind $f$ und $g$ sogar teilerfremd in $K[X]$.
Kann man in Körpern überhaupt von Teilerfremdheit reden?
Seien a,b Zahlen aus $Q$.
Es koennte g =2 und $f(x)=x^2+1$ sein, was ist denn g+(f)=2 oder = $x^2+3 \in K[X]/(f)$?
Sind in einem Körper entweder alle oder keine a,b teilerfremd?
Ist der Begriff teilerfremd überhaupt sinnvoll in Körpern? $\forall a,b \in Q \exists \frac {a}{b}\in Q$. Also alle a teilen alle b oder?
Sind nicht Alle Polynome k(x) und l(x) aus $Q[x]/x^2+1$ durcheinander teilbar? Wie passt der ggt da rein?
Blöde Frage oder ich werfe halt was durcheinader...? ;) pardon kann mal vorkommen gg
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