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 Holomorphe Funktion |
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Lisamayer98
Aktiv 
Dabei seit: 02.07.2020
Mitteilungen: 21
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Hallo, wisst ihr, wie man zeigt, dass jede auf ganz \( \mathbb{C} \) reellwertige holomorphe Funktion konstant ist?
Ich weiß leider nicht, wie ich das zeigen soll, wäre sehr dankbar, falls jemand mir helfen könnten!
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PrinzessinEinhorn
Senior 
Dabei seit: 23.01.2017
Mitteilungen: 2625
 |      Beitrag No.1, eingetragen 2020-11-08
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Hallo,
ich kenne mich mit Funktionentheorie nicht so aus. Ich habe vor kurzem angefangen in dem Buch von Jänich (Funktionentheorie, was sehr schmal ist, und ich stehe praktisch am Anfang) zu lesen.
Die Aufgabe wird dort auch gestellt, und es kommt ein bisschen darauf an, wie weit du bist.
Diese Aufgabe kannst du entweder lösen indem du dich auf den Satz über die Gebietstreue berufst (soweit bin ich nicht, aber vielleicht kennst du den Satz ja bereits), oder es direkt aus den Cauchy-Riemannschen Differentialgleichungen ableiten (so hatte, bzw. soll es im Buch von Jänich gemacht werden).
Vorausgesetzt ich habe die Aufgabe richtig gelöst, ist das mit den Cauchy-Riemannschen Differentialgleichungen auch recht schnell erledigt.
Probiere das vielleicht einmal.
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johndoe56
Junior
Dabei seit: 02.07.2020
Mitteilungen: 5
| Beitrag No.2, eingetragen 2020-11-08
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Link | | Folgende Antworten hat der Fragesteller vermutlich noch nicht gesehen. |
Red_
Aktiv 
Dabei seit: 28.09.2016
Mitteilungen: 850
Herkunft: Erde
 | Beitrag No.3, eingetragen 2020-11-09
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Hallo,
mit dem kleinen Satz von Picard siehe hier ist es auch lösbar.
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Kezer
Senior 
Dabei seit: 04.10.2013
Mitteilungen: 1193
 | Beitrag No.4, eingetragen 2020-11-09
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\(\begingroup\)\(\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\OO}{\mathcal{O}}
\newcommand{\Spec}{\operatorname{Spec}}\)
Auf dem ersten Blick hätte ich die Gebietstreue holomorpher Funktionen verwendet, woraus diese Aussage direkt folgt.
Mit Liouville geht es z.B. aber auch: Sei $f$ eine solche Funktion. Betrachte $e^{if}$. Nutze Liouville.
(Grundsätzlich sollte sehr viel funktionieren. Dass das Bild einer holomorphen Funktion reellwertig sein soll, ist eine extrem große Einschränkung.)
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The difference between the novice and the master is that the master has failed more times than the novice has tried. ~ Koro-Sensei\(\endgroup\)
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johndoe56
Junior
Dabei seit: 02.07.2020
Mitteilungen: 5
| Beitrag No.5, eingetragen 2020-12-16
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Oh danke für die zahlreichen Tipps, sehr hilfreich!
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