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Strukturen und Algebra » Darstellungstheorie » Satz von Maschke
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Beruf Satz von Maschke
sulky
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2020-08-02


Hallo Zusammen,

Ich versuche gerade den Satz von Maschke zu verstehen.
Ganz interessant ist dabei das Unterschieden wird zwischen modularen und nichtmodularen Darstellungen unterschieden wird.

Es gibt eine Wikipediaseite, aber die ist völlig unvollständig und daher nicht zu gebrauchen.

In unserem Lehrmittel geht dem Satz ein Lemma voraus. Wenn das Lemma einmal bewiesen ist, dann ist der eigentliche Satz ganz einfach. Aber eben, dieses Lemma gilt es erst zu verstehen.

Lemma:
Man setze voraus, dass die Charakteritik des Körppers $K$ die Ordnung der Gruppe $G$ nicht teilt.
Sei $(V,\rho)$ eine Darstellung endlicher Dimension von $G$ und $W$ eine Unterdarstellung von $V$.
Dann gibt es in $V$ ein Komplement zu $W$ welches ebenfalls eine Unterdarstellung von $G$ ist.




Beweis:
Sei $W'$ ein Komplement zu $W$ in $V$ und $p$ die Projektion auf $W$ paralell zu $W'$.

Man betrachte nun folgenden Endomorphismus auf $V$:

$p':= \sum_{g \in G} g\cdot p$



Hier ist Endstation für mich. Wie kann $"\cdot"$ auf $p$ agieren?
$\cdot:G\times V\to V$ wird zwar "Aktion" genannt, ist aber dennoch eine Mathematische Funktion mit definiertem Definitionsbereich.

Weshalb darf hier $"\cdot"$ auf $G\times \mathcal{L}(V,V)$ angewendet werden? Ist hier nicht der Definitionbereich der Aktion verletzt?



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zippy
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2020-08-02


2020-08-02 10:23 - sulky im Themenstart schreibt:
Hier ist Endstation für mich. Wie kann $"\cdot"$ auf $p$ agieren?

Das wurde dir doch bereits in diesem Thread ausführlich erklärt:

2020-07-30 22:22 - yann in Beitrag No. 13 schreibt:
Es gilt $g\cdot p=\rho(g) \circ p \circ \rho(g)^{-1}$ per Definition.

--zippy



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sulky
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2020-08-02


Hallo Zippy,

In unserem Lehrmittel steht:

$p':= \sum_{g \in G} g\cdot p=\sum_{g \in G} \rho(g)\circ p \circ \rho(g)^{-1} $

Warum dass  $g\cdot p=\rho(g) \circ p \circ \rho(g)^{-1}$ gilt, wäre dann meine nächste Frage gewesen.


Ich schaue mir nun mal den Anfang unseres Lehrmittels an ob dies irgendwo definiert wurde



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Triceratops
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2020-08-04


Das ist einfach die Definition der Wirkung* von $G$ auf $\mathcal{L}(V,V)$. Da gibt es also abgesehen vom Nachweis, dass es wirklich eine Wirkung ist, nichts zu verstehen.

*Action ist das englische Wort.



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