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Analysis » Rationale und reelle Zahlen » Dedekindschnitte und Konstruktion von R
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Universität/Hochschule Dedekindschnitte und Konstruktion von R
Hadis19968
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2020-08-01


Hallo beisammen  !

Mein erster Beitrag hier, ich versuche mich so verständlich es geht auszudrücken. Es geht um folgendes:

Aus Q und den dazugehörigen Definitionen des Dedekindschnitts und den jeweiligen Annahmen kann man einen angeordneten Körper erstellen, soweit alles klar.
Nun aber wurde im letzten Beweisschritt auch die Vollständigkeit dieses angeordneten Körpers bewiesen (wie im Bild):


Anmerkung: B kursiv und A kursiv sind jeweils Familien von Dedekindschnitten.

Es stellen sich mir hier aber folgende Fragen:

1.Man hat theoretisch hier aus Q, dem Dedekindschnitt und zugehörigen Annahmen einen vollständig angeordneten Körper erstellt. Hat man somit R konstruiert (?), bzw. wenn ja, weshalb? Wenn ja stellt sich auch die Frage: Ist jeder Körper der vollständig angeordnet ist gleich R? Wenn dies stimmen sollte, ist das möglicherweise der Fall weil R der einzige Körper ist die vollständig angeordnet ist und somit alle vollständig angeordneten Mengen gleich R sind, aber das ist nur ein Gedankengang von mir ?

2. Q ist nicht vollständig da es "Lücken" besitzt, sprich es existieren Zahlen welche durch die Bruchdarstellung nicht abzubilden sind. Dedekindschnitte haben immer eine untere Schranke, sind aber nach oben offen. Nun wird ein Dedekindschnitt selber aber durch eine grösser Relation und einer rationalen Zahl q definiert, was mit dem Nullelement wiefolgt aussieht:



Es ist klar dass C(q) somit, wegen q element rationaler Zahlen, nie eine irrationale Zahl sein kann. q e rationaler Zahlen kann sich aber unendlich nahe an irrationalen Zahlen annäheren. Nehmen wir an mit einem Dedekindschnitt und einem q näheren wir uns beliebig einer irrationalen Zahl von links an. Ist diese dann im Dedekindschnitt enthalten? Theoretisch ja, weil Sie grösser als q e rationaler Zahlen ist, mit dem wir uns unendlich annäheren, aber befinden wir uns nicht in den rationalen Zahlen und somit sollten diese irrationalen Zahlen gar nicht beachtet werden?

Tut mir leid falls es unverständlich formuliert ist, freue mich über jegliche Unterstützung.

Vielen Dank !




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Triceratops
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2020-08-04


1. Ja genau, je zwei vollständig angeordnete Körper sind zueinander isomorph (sogar auf eindeutige Weise). Insofern kann man einen und damit jeden solchen Körper mit $\IR$ bezeichnen. Es gibt viele Konstruktionen von $\IR$, und die über Dedekindsche Schnitte ist eine davon.

Zum Beweis dieser Tatsache nimm dir zwei vollständig angeordnete Körper $K,L$, so kann man anfangen: Die entsprechenden zu $\IQ$ isomorphen Unterkörper bezeichnen wir mit $\IQ_K$ und $\IQ_L$. Wir haben also schon einmal einen Isomorphismus $f : \IQ_K \to \IQ_L$. Nun gilt für $x \in K$ die Beziehung $x = \sup_{q \in \IQ_K, \, q \leq x} q$. Es liegt also nahe, $f$ fortzusetzen zu einem Isomorphismus $f : K \to L$ mit der Definition $f(x) := \sup_{q \in \IQ_K,\, q \leq x} f(q)$.

2. Kannst du die Frage so formulieren, dass keine Dedekindschnitte vorkommen?



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Hadis19968
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2020-08-11


Hi Triceratops,

vielen Dank für deine Antwort, zu 1. ist somit alles erledigt.

Zu 2.:

Nehmen wir ein q1, welches sich von links an eine irrationale Zahl unendlich annähert. Betrachtet man nun alle Zahlen (bzw. Elemente) grösser q1, so kommt die irrationale Zahl in dieser Menge nicht vor, da Sie nicht Element von Q (rationale Zahlen) ist.
Aber Dedekindschnitte tun eben genau das, also bilden eine Grösser Relation mit einem beliebigen q.

Ein kleiner Gedanke:

Das Vollstädnigkeitsaxiom besagt folgendes:



Können wir also immer ein Dedekindschnitt C mit A <= C <= B, wobei A und B jeweils Mengen von Dedekinschnitten sind, finden (also A enthält C und B, B enthält C) , so wäre der Körper vollständig angeordnet.
Wählt man für A und B nun Dedekindschnitte so, welche sich von rechts und links unendlich an eine irrationale Zahl annäheren:

Nimmt man die Vereinigung von der Menge B, so erhält man den Dedekindschnitt C (wie im ersten Bild vom ersten Beitrag von mir). Dieses C ist das Infimum von der Menge B, aber der Dedekindschnitt C ist auch Element von B, da er ja aus der Vereinigung entsteht.
Somit ist C kleiner gleich B, aber gleichzeitig auch das Supremum von der Menge A, weshalb folgendes gilt:

A <= C <= B, wobei A,B Mengen mit Dedekindschnitten als Elemente sind, und C die Vereinigung von B ist.

Falls das so korrekt sein sollte stellt sich mir eine weitere Frage:
Wählt man A,B so, wie oben geschildert, also nähern sich beide Mengen von Dedekindschnitten rechts und links an eine irrationale Zahl an.
Nimmt nun die Vereinigung C wie oben definiert, so ist diese immer in B enthalten, ist auch das Supremum zu der Menge A. Jedoch liegt dieser Dedekindschnitt C nie in A, ist das so korrekt?

Vielen Dank 🤔
Hadis



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