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Universität/Hochschule J Ecken eines Tetraeders
JonasR
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2020-07-04


Hallo😄

Ich habe eine kurze Frage zu folgender Aufgabe:


Ein gleichseitiger homogener Tetraeder, dessen Ecken mit $1,2,3,4$ bezeichnet sind, wird einmal geworfen.
Für $i , j \in  \{ 1, 2 , 3, 4 \}$ mit $i < j $ setze $A_{ij} :=$ "Ecke $i$ und Ecke $j$ liegen unten".
Zeige, dass die drei Ereignisse $A_{ij}, 1 \le i < j \le 3$, paarweise unabhängig, aber nicht (vollständig) unabhängig sind.


Ich habe auch schon die Lösung zu dieser Aufgabe:


Wähle $\Omega = \{  1,2,3,4\}$, $\mathcal{F} = \mathcal{P}(\Omega)$ und $P = Unif(\Omega)$.
Definiere die Menge $I:= \{ (i, j) \in \Omega^{2} \; \vert \; 1 \le i < j \le 3 \}$ und die Ereignisse

$A_{ij} :=$ "Ecke $i$ und $j$ liegen unten".
$A_{12} = \{3, 4 \}$, $A_{13} = \{2, 4 \}$, $A_{23} = \{1, 4 \}$
Daraus folgt $P(A_{ij}) = \frac{1}{2}\quad \forall (i, j) \in I$.
$A_{12} \cap A_{13} = \{ 4 \}$.
$P(A_{ij} \cap A_{kl}) = P(\{ 4 \}) = \frac{1}{4} = \left ( \frac{1}{2} \right )^{2} = P(A_{ij}) \cdot P(A_{kl})\quad \forall (i, j), (k,l) \in I$.
Daraus folgt, dass $A_{ij}, (ij) \in I$, paarweise unabhängig sind.
Aber sie sind nicht vollständig, denn $P(A_{12} \cap A_{13} \cap A_{23}) = \frac{1}{4} \neq \left ( \frac{1}{2} \right )^{3}= P(A_{12}) \cdot P(A_{13}) \cdot P(A_{23}) $.

Daraus folgt, dass $A_{ij}, (ij) \in I$, nicht vollständig unabhängig  sind.


Was ich nicht wirklich verstehe:

Warum definiert man die Menge $I$ und wieso besteht z.B. das Ereignis $A_{12}$ aus den Elementen $3$ und $4$ ? Welche Intuition steckt dahinter ?

Dass $P(A_{ij}) = \frac{1}{2}\quad \forall (i, j)$ gilt, habe ich mir zeichnerisch klar gemacht. Aber nicht wie in der Lösung.

Bedanke mich schon mal im Voraus!



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zippy
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2020-07-05


2020-07-04 23:59 - JonasR im Themenstart schreibt:
Warum definiert man die Menge $I$

Die Elemente der Menge $I$ kommen doch schon in der Aufgabenstellung vor, man gibt dem Ganzen hier nur einen Namen.

2020-07-04 23:59 - JonasR im Themenstart schreibt:
und wieso besteht z.B. das Ereignis $A_{12}$ aus den Elementen $3$ und $4$ ?

Die Elemente von $\Omega$ bezeichnen offenbar die eindeutige oben liegende Ecke des geworfenen Tetraeders. Das Ereignis $A_{12}$ tritt nun genau dann ein, wenn entweder die Ecke $3$ oder die Ecke $4$ oben liegt. Daher ist $A_{12}=\{3,4\}$.

--zippy



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JonasR
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2020-07-05


Oh, das ist vollkommen logisch. Jetzt ist mir alles klar!
Da war ich gestern einfach zu müde... Vielen Dank für deine Hilfe!

Wünsche dir einen schönen Tag,

Jonas



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JonasR hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
JonasR hat selbst das Ok-Häkchen gesetzt.
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