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Analysis » Integration » Analysis II Wegintegrale Übungsblatt
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Universität/Hochschule Analysis II Wegintegrale Übungsblatt
felixbessert
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2020-07-04


Hallo,
Ich brauche in Analysis zwei dringend den Übungsschein und muss deshalb in den letzten Blättern möglichst viele Punkte bekommen. Ich habe das unten zusehende Übungsblatt nun vollständig gelöst und wäre sehr dankbar, falls dort kurz jemand rübergucken könnte und mir sagen könnte, wo noch Fehler sind.  Danke im Voraus. LG Felix








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Kuestenkind
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2020-07-04


Huhu Felix,

es wäre vll geschickter für jede Aufgabe einen Thread zu erstellen. Nun ja - ich habe mir nun erstmal nur Aufgabe 2 angeschaut. Ich komme dort auch auf dein Ergebnis. Du solltest nur noch auf richtige Notation achten. Ist der Integrand z.B. eine Summe, gehört dort eine Klammer hin (das mögen manche anders sehen). Außerdem setzt du die Grenzen ein, \(\alpha\) ist ja die Kurve. Richtig sollte dort also stehen:

\(\displaystyle \int_0^{\frac{7\pi}{2}}\left(-3\sin^2\theta\cos^2\theta+\ldots\right)\, \dd \theta\)

Zudem steht dort was \(\dot{\alpha}(t)\), da gehört aber ein \(\theta\) hin.

Vielleicht schaue ich mir auch noch eine andere Aufgabe an, oder jemand anders schreibt vll noch was zu einer Aufgabe.

Gruß,

Küstenkind



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Kuestenkind
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, eingetragen 2020-07-04


Huhu,

nun habe ich noch Aufgabe 4 überflogen. Die Bedingung, dass die Rotation Null ist, ist m.E. nur eine notwenige Bedingung - und noch nicht hinreichend. Darüber sollte man wohl auch noch ein Wort verlieren. Ob dein Potential richtig ist, kannst du ja einfach selbst kontrollieren, indem du den Gradienten berechnest.

Gruß,

Küstenkind

PS:
2020-07-04 13:41 - felixbessert im Themenstart schreibt:
Ich brauche in Analysis zwei dringend den Übungsschein und muss deshalb in den letzten Blättern möglichst viele Punkte bekommen.

Was willst du eigentlich mit dieser Einleitung bezwecken? Ich erhebe auf meine Kontrolle hier sicherlich keine Garantie auf Richtigkeit. Und was du schließlich abgibst - dafür bist ausschließlich du alleine verantwortlich.



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felixbessert
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2020-07-05


Hallo,

Dankeschön für die Tipps. Reicht es bei 4. aus wenn ich zusätzlich noch zeige, das grad vom Potential wieder die Ausgangsfunktion ist? Ja wäre schhlauer gewesen einzelne Beiträge zu machen, weiß ich fürs nächste Mal danke.

VG Felix

 PS: Ich erwarte hier von niemanden irgendwelche Richtigkeit, jedoch hoffe ich das Personen, die mir Helfen wollen sich in gewissen Maße sicher sind in dem was sie tun. Aber sie können sich sicher sein, dass ich bei nicht bekommenen Punkten hier niemanden verantwortlich mache. Ich denke nur, dass hier viele mehr in dem Bereich wissen als ich und ich gerne von denen lernen würde.



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Kuestenkind
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, eingetragen 2020-07-05


Huhu Felix,

ja, das würde gehen. Oder siehe dort:



Quelle: (Seite 8)

Dein \(\bf{v}\) ist ja auf ganz \(\mathbf{R}^3\) definiert, damit ist es hinreichend.

Gruß,

Küstenkind



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Kuestenkind
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2020-07-05


Huhu Felix,

bei Aufgabe 1) komme ich auch auf deine Ergebnisse. Wieso du nun \(2\sqrt{2}\) noch als \(\sqrt{8}\) schreibst, verstehe ich nicht. Ich hätte es eher in der Umkehrung so erwartet. Kann man die Wurzel noch partiell ziehen, sollte man das tun. Bei a) würde ich auch \(3+\log 2\) als Endergebnis stehen lassen.
Bei b) brauchst du ja nicht den Betrag zu differenzieren, sondern du löst den Betrag je nach Integrationsintervall auf. Integrierst du z.B. von \(-1\) bis \(0\), ist \(t\mapsto (-t,-t+1/2,0)\), da \(|t|:=\begin{cases} t& t\geq0 \\ -t&t<0\end{cases}\).
Bei Aufgabe 2 dachte ich nur an ein Schreibfehler, aber bei Aufgabe 1) schreibst du dein Intervall wieder mit |, da gehört ein Komma hin.

Gruß,

Küstenkind



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Kuestenkind
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, eingetragen 2020-07-05


Huhu Felix,

zu Aufgabe 3: Wenn das Integral wegunabhängig ist, muss das Feld konservativ sein. Es ist auch \(\operatorname{curl}\mathbf{F}=\bf{0}\) und \(\mathbf{R}^3\setminus\{\bf{0}\}\) einfach-zusammenhängend. Die Potentialfunktion kann man schon durch scharfes Hinsehen aufschreiben: \(f(x,y,z)=\frac{1}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}\). Damit ist man doch eigentlich fertig. Das Integral zwischen den Punkten \((x_1,y_1,z_1)\) und \((x_2,y_2,z_2)\) berechnet sich also zu \(I=f(x_2,y_2,z_2)-f(x_1,y_1,z_1)=\frac{1}{R_2}-\frac{1}{R_1}\).

Gruß (und einen schönen Sonntag wünscht),

Küstenkind

PS: Solche Sätze, wie mein erster Satz hier, würde ich auch in einer Lösung erwarten. Deine Lösungen bestehen nur aus Zeichen - und nicht ein erklärender Satz als Begleitung. Wie das dein Korrektor sieht, musst du aber wissen.



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endy
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, eingetragen 2020-07-05


Hallo.

Also in Aufgabe 4 ist das Potential korrekt berechnet worden.

Siehe Klick mich 1

und den Thread dazu,siehe Klick mich 2
mathematica
(* In *)
 
(* felixbessert *)
vectorfield = {{y*Exp[x*y] Sin[z] + x + y, 
   x*Exp[x*y] Sin[z] + x + y - z, Exp[x*y] Cos[z] - y + z}, {x, y, z}}
 
potentialQ[vectorfield]
sol = potential[vectorfield]
sol1 = grad[sol, {x, y, z}];
sol2 = First @ vectorfield;
sol1 == sol2
 
(* Out *)
 
{{x + y + E^(x y) y Sin[z], 
  x + y - z + E^(x y) x Sin[z], -y + z + E^(x y) Cos[z]}, {x, y, z}}
True
x^2/2 + x y + y^2/2 - y z + z^2/2 + C[1] + E^(x y) Sin[z]
True

mma prüft also die Integrabilitätsbedingung und berechnet dann dein Potential und testet,ob das Potential auch wirklich stimmt.

Zu Beitrag Nr 4:

Zu 2)

Wenn der Raum auf dem das Vektorfeld existiert konvex,sternförmig oder 1-zusammenhängend ist,dann verschwindet die erste Fundamentalgruppe.Damit verschwindet auch die erste singuläre Homologiegruppe,denn dies ist nicht anderes als die abelisierte Fundamentalgruppe.Damit verschwindet wiederum die erste de Rham Kohomologiegruppe nach dem Satz von de Rham.

Man siehe wikipedia/De-Rham-Kohomologie

In diesem Fall sind also Integrabilitätsbedingung und Konservativ äquivalente Begriffe.

Zu 3)

Im Allgemeinen gilt dies natürlich nicht.Die Abweichung wird genau durch die erste de Rham Kohomologie gemessen und in der algebraischen Topologie untersucht man dies genauer und lernt Methoden diese Gruppen zu bestimmen.

Gruss endy



-----------------
Dean Koontz : Zwielicht

Unzählige verschlungene Nachtpfade zweigen vom Zwielicht ab.
Etwas bewegt sich inmitten der Nacht,das nicht gut und nicht richtig ist.

The Book of Counted Sorrows.




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endy
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, eingetragen 2020-07-05


Hallo.

Aufgabe 1 ist korrekt gelöst.

Zu mindestens stimmen die Ergebnisse.

Siehe Klick mich
mathematica
(* In *)
 
Clear @ bogenlaenge
bogenlaenge::usage = 
  "bogenlaenge[vectorfield,{x,a,b}] berechtet die Bogenlaenge des \
Vektorfelds vectorfield über x von a nach b.";
bogenlaenge[
  vektorfeld_List, {variable_Symbol, anfangswert_, endwert_}] :=
 Integrate[(Plus @@ (D[vektorfeld, variable]^2 )) // Simplify // 
    Sqrt, {variable, anfangswert, endwert}] // Simplify
 
? bogenlaenge
 
bogenlaenge[{2 t, t^2, Log[t]}, {t, 1, 2}]
bogenlaenge[{Abs[t], Abs[t - 1/2], 0}, {t, -1, 1}] // 
 FullSimplify  [#, Assumptions -> Element[t, Reals]] &
 
(* Out *)
 
3 + Log[2]
2 Sqrt[2]
 

endy




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