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Mathematik » Schulmathematik » Was ist genau eine Primzahl?
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Kein bestimmter Bereich Was ist genau eine Primzahl?
ziad38
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2020-03-30


Schwierige frage;

Stimmt da?

wie nehmen an Beispiel dass,die größte primzahl =

2*3*5*7*11.=2310 . jetzt nehmen wir an dass diese 11( um einfacher zu machen) ist die größte Primzahl, jetzt addieren wir (+1) dann haben wir als Produkt 2310+1=2311. nach unsere Annahme , sollte die (11) die größte Zahl, da die 11 durch keine andere Primzahlen(2,3,5,7,) nicht Teilbar.aber wir stellen fest jetzt das die (2311) auch eine neue größere Primzahl als die (11), und diese (2311) ist auch durch keine andere Primzahl teilbar ist.

wenn wir so weiter mach 2*3*5*7*11*2311=5338410

5338410+1=5338411 das ist wider eine größere Primzahl , und sie ist durch keine ander Primzahl( 2,3,5,7,11,2311.) restlos teilbar. stimmt so?Wenn ja

jetzt versuche ich mit eigenen worten wiederzugeben.

1) Erste Frage : wie lang darf diese eigenen Wörter sein? oder wie viel zeilen kann ich schrieben ? 30 , 50 ,70 Wörte?


dann gehe weiter

AUfgae 1

Aufgabe 1 Lösung (Produkt von Primzahlen ergibt nicht immer primzahl)
Hast heißt p1 *p2 *p3...bis *pk , muss nicht unbedingt Primzahl raus gehen
aber kann, jen nachdem, wie man hier sieht mit bespiel.Also Ohne Zahlen woher soll man wissen dass es SICHER primzahl raus kommt? vielleiciht auch nicht.





Aufgabe 5






.



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Diophant
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2020-03-30


Hallo Ziad,

hier musst du deine Frage noch sorgfältiger gestalten.

- Laut Titel möchtest du wissen, was eine Primzahl ist?

- Die Aufgabe auf dem Bild läuft auf genau die Überlegung hinaus, die du selbst schon angestellt hast. Was ist dir denn genau unklar?

Nochmal zum Begriff der Primzahl: es kursieren in den Schulbüchern zwei unterschiedliche Definitionen, die aber äquivalent sind (also das gleiche bedeuten).

1). Eine Primzahl ist eine Zahl mit genau zwei Teilern.

Dazu muss man wissen, dass dann die 1 und die Zahl selbst als Teiler gelten.

2). Eine Primzahl ist eine Zahl, die man nur durch 1 und durch sich selbst teilen kann.

Wie gesagt, es läuft auf das gleiche hinaus. Die ersten Primzahlen hast du ja selbst schon aufgezählt: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, ...

Um was geht es? Um einen Beweis aus der Antike (also einen Beweis, der vermutlich ca. 2300 Jahre alt ist).

Es soll, wie in der Aufgabe steht, bewiesen werden, dass es unendlich viele Primzahlen gibt. Dazu nimmt man zunächst das Gegenteil an. Also dass es nur eine endliche Anzahl an Primzahlen gibt.

Für diesen Fall gibt es eine größte Primzahl.

Und diese Annahme führt man nun zum Widerspruch, so wie das in deiner Rechnung angedeutet wurde.

Fangen wir aber einmal langsam an. Hast du verstanden, was eine Primzahl ist?


Gruß, Diophant


 


[Verschoben aus Forum 'Mathematik' in Forum 'Schulmathematik' von Diophant]



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ziad38
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2020-03-30


gut geklärt, ja ich habe gestern viel in youtube geschaut
also
zuerst jede natürliche Zahl lässt sich als Produkt von Primzahl zerlegen
Bsp: 9: 3*3=9
24:2*2*2*3=24
aber eine Zahl ist Prim, wenn sie durch keine Primzahl  teilbar ist
Beispiel 31( 2,3,5,7,13.... usw)
oder auch eine Primzahl lässt sich NUR durch sich und 1 teilen,
das weiß ich.
und ich habe gestern gelesen und youtube von Christian Spannagel

aber auch habe etwas gelesen. sie sagen  es gibt keine größte Primzahl
um das zu beweisen, wir nehmen an es gibt eine größte Primzahl(n)
n=p1 *p2 *P2....*pk
jetzt wenn wir (+1) dazu addiere,dann kommt wider eine GRÖßERE Primzahl
,die größe als (n) und das wederspricht die Annahme ,dass (n) die größte Primzahl ist

Ich nehmen an Beispiel dass,die größte primzahl =

2*3*5*7*11.=2310 . jetzt nehmen wir an dass diese 11( um einfacher zu machen) ist die größte Primzahl, jetzt addieren wir (+1) dann haben wir als Produkt 2310+1=2311. nach unsere Annahme , sollte die (11) die größte Zahl, da die 11 durch keine andere Primzahlen(2,3,5,7,) nicht Teilbar.aber wir stellen fest jetzt das die (2311) auch eine neue größere Primzahl als die (11), und diese (2311) ist auch durch keine andere Primzahl teilbar ist.

wenn wir so weiter mach 2*3*5*7*11*2311=5338410

5338410+1=5338411 das ist wider eine größere Primzahl , und sie ist durch keine ander Primzahl( 2,3,5,7,11,2311.) restlos teilbar. stimmt so
 wenn  ja dann kommen noch Fragen.



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Diophant
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2020-03-30

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\on}{\operatorname}\)
Hallo Ziad,

2020-03-30 16:04 - ziad38 in Beitrag No. 2 schreibt:
gut geklärt, ja ich habe gestern viel in youtube geschaut
also
zuerst jede natürliche Zahl lässt sich als Produkt von Primzahl zerlegen
Bsp: 9: 3*3=9
24:2*2*2*3=24
aber eine Zahl ist Prim, wenn sie durch keine Primzahl  teilbar ist
Beispiel 31( 2,3,5,7,13.... usw)
oder auch eine Primzahl lässt sich NUR durch sich und 1 teilen,
das weiß ich.
und ich habe gestern gelesen und youtube von Christian Spannagel

aber auch habe etwas gelesen. sie sagen  es gibt keine größte Primzahl
um das zu beweisen, wir nehmen an es gibt eine größte Primzahl(n)
n=p1 *p2 *P2....*pk
jetzt wenn wir (+1) dazu addiere,dann kommt wider eine GRÖßERE Primzahl
,die größe als (n) und das wederspricht die Annahme ,dass (n) die größte Primzahl ist

Ich nehmen an Beispiel dass,die größte primzahl =

2*3*5*7*11.=2310 . jetzt nehmen wir an dass diese 11( um einfacher zu machen) ist die größte Primzahl, jetzt addieren wir (+1) dann haben wir als Produkt 2310+1=2311. nach unsere Annahme , sollte die (11) die größte Zahl, da die 11 durch keine andere Primzahlen(2,3,5,7,) nicht Teilbar.aber wir stellen fest jetzt das die (2311) auch eine neue größere Primzahl als die (11), und diese (2311) ist auch durch keine andere Primzahl teilbar ist.

wenn wir so weiter mach 2*3*5*7*11*2311=5338410

5338410+1=5338411 das ist wider eine größere Primzahl , und sie ist durch keine ander Primzahl( 2,3,5,7,11,2311.) restlos teilbar. stimmt so
 wenn  ja dann kommen noch Fragen.

es stimmt noch nicht so ganz.

Also: wir nehmen an, es gibt eine größte Primzahl \(p_n\). Jetzt multiplizieren wir alle Primzahlen und addieren 1:

\[z=p_1\cdot p_2\cdot \dotsc\cdot p_n+1\]
Diese neue Zahl \(z\) kann man durch keine der Primzahlen bis \(p_n\) teilen. Wenn es also nur endlich viele Primzahlen geben würde, dann wäre \(z\) ebenfalls eine Primzahl, aber größer als \(p_n\), die ja eigentlich unsere größte Primzahl ist.

Dies ist ein Widerspruch. Also ist die Annahme, dass es endlich viele Primzahlen gibt, falsch.

Dann bleibt aber nur noch eine Möglichkeit: es gibt unendlich viele Primzahlen.

Und jetzt kommt der Haken: da es unendlich viele Primzahlen gibt, muss auch der obige Term \(p_1\cdot p_2\cdot \dotsc\cdot p_n+1\) i.a. keine Primzahl sein. Daher solltest du hier nicht mit Zahlenbeispielen rechnen, sondern mit Variablen.

Ich weiß jetzt nicht auswendig, wie groß man \(p_n\) wählen müsste, damit \(p_1\cdot p_2\cdot \dotsc\cdot p_n+1\) keine Primzahl ist (das wäre jetzt eine Frage an die Primzahlexperten hier).

Den Grundgedanken hast du jedenfalls richtig verstanden. 👍


Gruß, Diophant
\(\endgroup\)


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weird
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, eingetragen 2020-03-30

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\on}{\operatorname}\)
2020-03-30 16:13 - Diophant in Beitrag No. 3 schreibt:
Ich weiß jetzt nicht auswendig, wie groß man \(p_n\) wählen müsste, damit \(p_1\cdot p_2\cdot \dotsc\cdot p_n+1\) keine Primzahl ist (das wäre jetzt eine Frage an die Primzahlexperten hier).

$2·3·5·7·11·13 + 1 = 59·509$ 😎
\(\endgroup\)


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viertel
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2020-03-30

  1  2 +1                                            3
  2  2·3 +1                                          7
  3  2·3·5 +1                                        31
  4  2·3·5·7 +1                                      211
  5  2·3·5·7·11 +1                                   2311
  6  2·3·5·7·11·13 +1                                59·509
  7  2·3·5·7·11·13·17 +1                             19·97·277
  8  2·3·5·7·11·13·17·19 +1                          347·27953
  9  2·3·5·7·11·13·17·19·23 +1                       317·703763
 10  2·3·5·7·11·13·17·19·23·29 +1                    331·571·34231
 11  2·3·5·7·11·13·17·19·23·29·31 +1                 200560490131
 12  2·3·5·7·11·13·17·19·23·29·31·37 +1              181·60611·676421
 13  2·3·5·7·11·13·17·19·23·29·31·37·41 +1           61·450451·11072701
 14  2·3·5·7·11·13·17·19·23·29·31·37·41·43 +1        167·78339888213593
 15  2·3·5·7·11·13·17·19·23·29·31·37·41·43·47 +1     953·46727·13808181181
 16  2·3·5·7·11·13·17·19·23·29·31·37·41·43·47·53 +1  73·139·173·18564761860301



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Bild



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Kitaktus
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, eingetragen 2020-03-30


Die folgenden Ausführungen gehen wahrscheinlich über das Schulniveau hinaus. Ich möchte sie aber für interessierte Leser wiedergeben.


Das bisherige Argument ist nicht ganz sauber:

Angenommen, es gäbe nur endlich viele Primzahlen $p_1\leq\cdots\leq p_n$.
Wir bilden das Produkt aller dieser Zahlen und addieren 1, also $q:=p_1\cdot \ldots\cdot p_n +1$. Nun ist $q$ sicher größer als $p_n$.
Hier gibt es verschiedene Varianten, um den Widerspruch herzustellen.

Variante a): $q$ ist nach Konstruktion durch keine andere der Primzahlen $p_1,...,p_n$ teilbar (da jeweils der Rest 1 bleibt), es muss also selbst eine Primzahl sein, im Widerspruch zur Annahme dass es nur endlich viele Primzahlen gibt und $p_n$ die größte ist.

Variante b): Da $q$ größer als die größte Primzahl ist, muss $q$ zusammengesetzt sein, also eine der Zahlen $p_1,...,p_n$ als Primteiler besitzen. Dies steht im Widerspruch zur Tatsache, dass $q$ bei Division durch $p_1,...,p_n$ jeweils den Rest 1 lässt.

Auf den ersten Blick scheinen sich beide Beweisideen gegenseitig zu widersprchen. In der einen Idee wird behauptet, $q$ selbst müsste prim sein, während in der anderen Idee behauptet wird, $q$ wäre nicht prim.

Tatsächlich sind beide Fälle (in einem gewissen Sinn) möglich:
$2\cdot 3\cdot 5\cdot 7\cdot 11+1$ ist eine Primzahl, nämlich $2311$.
Dagegen ist $2\cdot 3\cdot 5\cdot 7\cdot 11\cdot 13+1 = 30031 = 59\cdot 509$, also zusammengesetzt.

Multipliziert man einige Primzahlen und addiert 1, so kann das Ergebnis eine neue Primzahl sein, es kann sich aber auch eine zusammengesetzte Zahl ergeben, die dann aber lauter "neue" Primfaktoren hat, also solche, die nicht in der Liste der "bekannten" Primzahlen vorkam.

Wer sich nicht gut mit Widerspruchsbeweisen auskennt, wird sich fragen, warum man in den Varianten a) und b) überhaupt zur Aussage kommt, $q$ wäre auf jeden Fall prim (Variante a) bzw. zusammengesetzt (Variante b), wenn doch offenbar beide Fälle möglich sind.
Hier ist zu beachten, dass ein Widerspruchsbeweis immer auf einer bestimmten Annahme(!) beruht. Hier ist die Annahme, dass es nur endlich viele Primzahlen gibt. Aus einer falschen Annahme kann man beliebige Schlüsse ziehen, wahre, falsch und insbesondere sich gegenseitig widersprechende. Genau dadurch wird die falsch Annahme enttarnt!
_Wenn_ es nur endlich viele Primzahlen $p_1,...,p_n$ gäbe, _dann_ müsste $q$ prim sein, weil es durch keine andere Primzahl teilbar ist.
_Wenn_ es nur endlich viele Primzahlen $p_1,...,p_n$ gäbe, _dann_ müsste $q$ zusammengesetzt sein, weil mit keiner der Zahlen $p_1,...,p_n$ übereinstimmt und das ja _alle_ Primzahl sein sollen.
Beides zusammen geht aber nicht. Daher muss die Voraussetzung "Es gibt nur endlich viele Primzahlen." falsch sein.

Ich habe das bisher vorgebrachte Argument als "nicht ganz sauber" bezeichnet. Hier wird $q$ berechnet und einfach behauptet $q$ wäre eine neue Primzahl. Im Beispiel mit den "bekannten" Primzahlen 2,3,5,7 und 11 war das der Fall, aber im Allgemeinen ist das nicht immer so.
Entweder nimmt man im Beweis die Annahme mit hinzu und argumentiert wie in Variante a) -- $q$ müsse eine Primzahl sein, weil es durch keine kleinere Primzahl $p_1,...,p_n$ teilbar ist, wobei man ja ausdrücklich verwendet, dass die Zahlen $p_1,...,p_n$ _alle_ Primzahlen umfassen.
Eine Alternative wäre die
Variante c)
Entweder ist $q$ selbst eine Primzahl (in diesem Fall setzen wir $q':=q$), oder $q$ besitzt einen Primteiler $q'$.
Da $q'$ ein Teiler von $q$ ist, während keine der Zahlen $p_1,...,p_n$ ein Teiler von $q$ ist, ist $q'$ daher eine Primzahl, die nicht in der Liste der bekannten Primzahlen $p_1,...,p_n$ enthalten ist.
Dies zeigt, dass die Liste $p_1,...,p_n$ eben nicht _alle_ Primzahlen enthält.


[Die Antwort wurde nach Beitrag No.2 begonnen.]



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ziad38
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, vom Themenstarter, eingetragen 2020-03-30


es stimmt noch nicht so ganz.

Aha meinst du dieser Felher( n SOLL PK?)?
n=p1 *p2 *P2....*pk
jetzt wenn wir (+1) dazu addiere,dann kommt wider eine GRÖßERE Primzahl
,die größe als (n) und das wederspricht die Annahme ,dass (n, FALSCH ICH MEINE AUCH PK) die größte Primzahl ist.
WENN Ja dann frage weiter




[Die Antwort wurde nach Beitrag No.3 begonnen.]



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Diophant
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, eingetragen 2020-03-30

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\on}{\operatorname}\)
Hallo Ziad,

2020-03-30 17:46 - ziad38 in Beitrag No. 7 schreibt:
es stimmt noch nicht so ganz.

In der Hauptsache meinte ich damit, dass du mit Zahlenbeispielen gearbeitet hast.

2020-03-30 17:46 - ziad38 in Beitrag No. 7 schreibt:
Aha meinst du dieser Felher( n SOLL PK?)?
n=p1 *p2 *P2....*pk
jetzt wenn wir (+1) dazu addiere,dann kommt wider eine GRÖßERE Primzahl
,die größe als (n)

Nein, die neue Primzahl ist größer als \(p_k\). Und \(p_k\) war ja unsere größte Primzahl. Das ist doch ein Widerspruch. Erkennst du ihn?

Aber man muss es ausführlicher formulieren. Ich fasse es dir nochmal zusammen.

  • Wir nehmen also an, dass es nur endlich viele Primzahlen gibt und die größte Primzahl sei \(p_k\)

  • Jetzt bilden wir das Produkt \(p_1\cdot p_2\cdot\dotsc\cdot p_k\) und addieren \(1\):

    \[n=p_1\cdot p_2\cdot\dotsc\cdot p_k+1\]
  • Jetzt untersuchen wir die Zahl \(n\). Kann man sie durch eine Primzahl teilen? Nein, denn jede unserer Primzahlen würde genau den Rest \(1\) lassen, wenn man \(n\) durch sie dividiert. Eine Zahl, die man durch keine Primzahl teilen kann, ist aber selbst eine Primzahl. Außerdem ist \(n\) größer als \(p_k\), was ja unsere größte Primzahl ist.

  • Das ist aber ein Widerspruch: also gibt es unendlich viele Primzahlen.


    Gruß, Diophant\(\endgroup\)


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    DerEinfaeltige
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    Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.9, eingetragen 2020-03-30


    Die Zusatzinformation mit der "größten" Primzahl ist mMn. unnötig.

    Es reicht völlig aus, zu zeigen, dass man aus jeder endlichen Menge Primzahlen das Produkt bilden und $1$ addieren kann.
    Als Resultat erhält man eine Zahl, die nichttriviale Teiler besitzt und bzgl. jeder Primzahl der Menge den Rest $1$ lässt.
    Diese Zahl besitzt also Primteiler, die nicht in der ursprünglichen Menge enthalten waren.

    Aus jeder endlichen Menge Primzahlen kann ich also eine oder mehrere neue gewinnen. (die neu gewonnen Primzahlen sind dabei nicht notwendigerweise größer)

    Also kann die Gesamtzahl aller Primzahlen nicht endlich sein.
    Also gibt es unendlich viele und damit auch beliebig große Primzahlen.


    Ein Beispiel für solche Primzahlkonstruktionen ist die Folge A126263 in der OEIS.


    -----------------
    Why waste time learning when ignorance is instantaneous?
    - Bill Watterson -



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    MartinN
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    Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.10, eingetragen 2020-03-30


    Warum beweist man das immer mit einem Widerspruch?
    Geht es nicht auch direkt?:

    Wie bilden die Folge...
    \(a_1 = z \in \IN\\
    a_{n+1} = 1 + \prod_{i=1}^n a_i = a_n^2 - a_n + 1\)

    Offensichtlich kann diese Folge bis ins unendliche fortgesetzt werden, alle ihre Folgeglieder sind ganzzahlig und sie ist streng monoton steigend.
    \(a_{n+1} > a_n, a_{n+1} \in \IN\)

    Nun ist jedes Folgeglied offensichtlich auch teilerfremd zu jedem Vorgänger:
    \(ggT(a_{n+1}, a_i) = 1 \forall i \leq n \)

    Somit ist entweder \(a_{n+1}\) selbst eine neue Primzahl oder besitzt als einen Teiler mindestens eine neue Primzahl. Somit enthält die Folge bis zum n-ten Glied mindestens n verschiedene Primzahlen als Teiler ihrer Glieder (wenn z > 1 xD). Da die Folge unendlich fortgesetzt werden kann gibt es somit auch unendlich viele verschiedene Primzahlen.

    Oder überseh ich bei dem direkten Beweis was?



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    ziad38
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    Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.11, vom Themenstarter, eingetragen 2020-03-30


    ich verstehe. Weil ich unterschiedliche webseite und youtube gesehen, war ich teilweise durcheinander
    ich weiss was du meinst
    wir nehmen an es gibt endlich Aanzahl von primzahl
    p1,p2.....pk . unsere größte Primzahl ist pk
     jetzt wenn wir diese alles endliche Primzahlen miteinander multiplizieren
    und danach dazu 1 addieren, bekommen wird wieder eine neue größer Primzahl(n) also
    n=p1 *p2....pk+1.
    diese neue primzahlen(n) ist größer als pk. und siese(n) lässte sich nicht durch eine primzahl in deise Reihe teieln( p1,p2 ,p3 ,pk restlos). und das ist ein widerspruch zu der Annahme ,dass es endliche primzahlen gibt ,und dass (pk) die größte primzahl ist. und wenn wir diese (n) wieder mit anderen Primzahlen multiplizieren und 1 addieren haben wir wider neue größere Primzahl(g)
    g=p1*p2*p3.pk......*n
     stimmt so?



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    MartinN
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    Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.12, eingetragen 2020-03-30


    @ziad38
    Das Produkt der Primzahlen plus 1 muss keine Primzahl sein! Es ist irgendeine Zahl, welche aber durch keine deiner endlichen Primzahlen p1 bis pk teilbar ist. Demnach muss sie andere Primzahlen als Primteiler besitzen bzw durch andere Primzahlen teilbar sein. Somit war deine ursprüngliche Liste "aller" Primzahlen doch nicht nicht vollständig.... Sie kann niemals vollständig sein. Es gibt also unendlich viele.



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    weird
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    Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.13, eingetragen 2020-03-30


    2020-03-30 19:22 - MartinN in Beitrag No. 10 schreibt:
    Warum beweist man das immer mit einem Widerspruch?
    Geht es nicht auch direkt?:

    Wie bilden die Folge...
    \(a_1 = z \in \IN\\
    a_{n+1} = 1 + \prod_{i=1}^n a_i = a_n^2 - a_n + 1\)

    Du könntest hier auch einfach eine schon bekannte Folge wie die Fermatzahlen
    \[F_n=2^{2^n}+1\quad (n\in\mathbb N)\] hernehmen, welche wegen
    \[F_n=\prod\limits_{k=0}^{n-1}F_k+2\quad (n\in\mathbb N)\] ja auch auch die hier wichtigen Eigenschaften besitzen, dass die Folgenglieder paarweise teilerfremd und >1 sind, sodass dann z.B. die Menge der minimalen Primteiler aller Folgenglieder jedenfalls unendlich sein muss. Und ja, das ist eine in diesem Zusammenhang durchaus richtige und auch bekannte Beweisidee. 😎



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    Diophant
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    Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.14, eingetragen 2020-03-30


    Hallo Ziad,

    2020-03-30 20:29 - ziad38 in Beitrag No. 11 schreibt:
    ich verstehe. Weil ich unterschiedliche webseite und youtube gesehen, war ich teilweise durcheinander
    ich weiss was du meinst
    wir nehmen an es gibt endlich Aanzahl von primzahl
    p1,p2.....pk . unsere größte Primzahl ist pk
     jetzt wenn wir diese alles endliche Primzahlen miteinander multiplizieren
    und danach dazu 1 addieren, bekommen wird wieder eine neue größer Primzahl(n) also
    n=p1 *p2....pk+1.
    diese neue primzahlen(n) ist größer als pk. und siese(n) lässte sich nicht durch eine primzahl in deise Reihe teieln( p1,p2 ,p3 ,pk restlos). und das ist ein widerspruch zu der Annahme ,dass es endliche primzahlen gibt...

    hier bist du fertig und jetzt ist es richtig. Sehr gut gemacht! 👍


    Gruß, Diophant

    [Die Antwort wurde nach Beitrag No.12 begonnen.]



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    MartinN
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    Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.15, eingetragen 2020-03-30


    Ja... Auch eine gute Idee @weird
    Generell ginge also:
    \(a_1 = z\\
    a_{n+1} = \prod_{i=1}^n a_i + d\\
    ggT(z, d) = 1; z, d \in \IN\)



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    Kitaktus
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    Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.16, eingetragen 2020-03-30


    2020-03-30 21:39 - MartinN in Beitrag No. 15 schreibt:
    Ja... Auch eine gute Idee @weird
    Generell ginge also:
    \(a_1 = z\\
    a_{n+1} = \prod_{i=1}^n a_i + d\\
    ggT(z, d) = 1; z, d \in \IN\)
    Mit der Einschränkung : $z\geq 2$. ;-)

    Dafür dürfte man negative $d$ zulassen, wenn sie betragsmäßig kleiner $z-1$ sind.



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    MartinN
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    Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.17, eingetragen 2020-03-30


    Mir z = 1 sollte das doch auch gehen, nur dass dann die minimale anzahl an verschiedenen Primfaktoren bis a_n nur (n-1) ist, weil a_1 keinen dazu beiträgt. Oder übersehe ich da was xD

    Aber negative d gegen auch, wobei wenn man auch eine alternierende Reihe erlaubt bzw negative Folgeglieder, dann darf d auch noch negativer werden... Auch negative Zahlen haben ja eine eindeutige Primfaktorzerlegung. Darf nur nie 0 herauskommen.



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    ziad38
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    Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.18, vom Themenstarter, eingetragen 2020-03-31


    hallo, MartinN
    ich muss Schritt für Schritt alles lesen damit ich sicher bin ,das ich alles verstanden habe, Also
    Zitat(Das Produkt der Primzahlen plus 1 muss keine Primzahl sein! Es ist irgendeine Zahl, welche aber durch keine deiner endlichen Primzahlen p1 bis pk teilbar ist.) ... Meinst du mit diesem Satz Bsp(nur Beispiel 13 ist unsere größte Primzahl) jetzt multiplizieren wir alles Primzahlen miteinander
    2*3*5*7*11*13+1=30031
    diese Zahl lässte  nich NICHT durch eine der primzahlen (p1=2,p2=3,p3=5.. bis..pk=13) restlos teilen. 30031/2=15015,5 ; usw.... bis 30031/13=2310,07 auch mit Rest. Hier denkt man JA das ist schon primzahl ,aber stimmt nicht diesem 30031
    ist ein Produkt von 59*509 . Also diese Zahl ist KEIN Primzahl. Jetzt,aber es stimmt das diese 30031 durch keine der Primzahlen(p1....bis pk) teilbar.
    Jetzt meine Frage . Diese Behauptung mit alle Primzahlen multiplizieren +1 , kommt IMMER neu größere Primzahl stimmt NICHT. dann wie so soll man das nutzen denn?
    Aber auch JA vielleicht wenn man von Primzahl 2 bis Keine Ahnung bis beiseil 887
    miteinander multiplizieren vielleicht kommt wirklich eine primzahl, wenn das so ist dann würde auch gehen. ich meine  es reicht wenn irgendwann NUR EINMAL neu größer Primzahl vorkommt , und das bedeutet es gibt unendliche Primzahlen, weil wenn man immer diese Zahlen einschließlich die neue vorkommende primzahlen multiplizieren und dann +1 addiert , kommt irgendwann wieder neu größere Primzahl. Stimmt so?.Es ist mir wichtig diese zu verstehe bevor ich irgend was weier lese. Man muss zahlen setzen. wenn man ein Gesetz macht , muss das für beliebige Zahlen gelten. es reicht nicht nur variablen, denke ich



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    Diophant
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    Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.19, eingetragen 2020-03-31

    \(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\on}{\operatorname}\)
    Hallo Ziad,

    da ist ein bisschen etwas durcheinandergekommen, da wir auf der einen Seite deine Fragen und auf der anderen Seite eine Experten-Diskussion haben.

    2020-03-31 07:39 - ziad38 in Beitrag No. 18 schreibt:
    hallo, MartinN
    ich muss Schritt für Schritt alles lesen damit ich sicher bin ,das ich alles verstanden habe, Also
    Zitat(Das Produkt der Primzahlen plus 1 muss keine Primzahl sein! Es ist irgendeine Zahl, welche aber durch keine deiner endlichen Primzahlen p1 bis pk teilbar ist.) ... Meinst du mit diesem Satz Bsp(nur Beispiel 13 ist unsere größte Primzahl) jetzt multiplizieren wir alles Primzahlen miteinander
    2*3*5*7*11*13+1=30031

    Das hat doch weird in Beitrag #4 schon vorgerechnet:

    \[2\cdot 3\cdot 5\cdot 7\cdot 11\cdot 13+1=30031=59\cdot 509\]
    Also keine Primzahl.

    Diese Zahl \(n=p_1\cdot p_2\cdot\dotsc\cdot p_k+1\) wäre nur für den Fall sicher eine Primzahl, wenn es

    - tatsächlich endlich viele Primzahlen gäbe
    - \(p_k\) die größte Primzahl wäre
    - und das Produkt \(p_1\cdot p_2\cdot\dotsc\cdot p_k\) aus allen Primzahlen bestünde.

    2020-03-31 07:39 - ziad38 in Beitrag No. 18 schreibt:
    diese Zahl lässte  nich NICHT durch eine der primzahlen (p1=2,p2=3,p3=5.. bis..pk=13) restlos teilen. 30031/2=15015,5 ; usw.... bis 30031/13=2310,07 auch mit Rest. Hier denkt man JA das ist schon primzahl ,aber stimmt nicht diesem 30031
    ist ein Produkt von 59*509 . Also diese Zahl ist KEIN Primzahl. Jetzt,aber es stimmt das diese 30031 durch keine der Primzahlen(p1....bis pk) teilbar.

    Genau, und gut erkannt! 👍

    2020-03-31 07:39 - ziad38 in Beitrag No. 18 schreibt:
    Jetzt meine Frage . Diese Behauptung mit alle Primzahlen multiplizieren +1 , kommt IMMER neu größere Primzahl stimmt NICHT. dann wie so soll man das nutzen denn?

    Wie gesagt: sie stimmt ja nur so lange, so lange wir fälschlicherweise annehmen, dass es endlich viele Primzahlen gibt. Da das nicht stimmt, stimmt auch diese Schlussfolgerung nicht.

    Es gibt immer wieder Leute, die das Prinzip nutzen möchten, um neue Primzahlen zu finden. Aber dass dies nicht geht, hast du ja selbst erkannt.

    2020-03-31 07:39 - ziad38 in Beitrag No. 18 schreibt:
    Aber auch JA vielleicht wenn man von Primzahl 2 bis Keine Ahnung bis beiseil 887 miteinander multiplizieren vielleicht kommt wirklich eine primzahl, wenn das so ist dann würde auch gehen. ich meine  es reicht wenn irgendwann NUR EINMAL neu größer Primzahl vorkommt , und das bedeutet es gibt unendliche Primzahlen, weil wenn man immer diese Zahlen einschließlich die neue vorkommende primzahlen multiplizieren und dann +1 addiert , kommt irgendwann wieder neu größere Primzahl. Stimmt so?.Es ist mir wichtig diese zu verstehe bevor ich irgend was weier lese. Man muss zahlen setzen. wenn man ein Gesetz macht , muss das für beliebige Zahlen gelten. es reicht nicht nur variablen, denke ich

    Nochmal zu deiner Aufgabe: nein, da kann man nicht mit Zahlenbeispielen argumentieren. Ich hatte dir schon einmal geschrieben (Beitrag #14), wo du mit dem Beweis fertig bist und dann auch über das Ziel hinausschießt.

    Vielleicht sollten wir hier nochmal theoretisch umreißen, was hier gemacht wird. Man nennt das einen Beweis durch Widerspruch oder kurz: Widerspruchsbeweis. Wir wissen hier eigentlich bereits (bzw. in der Antike wurde es vermutet), dass es unendlich viele Primzahlen gibt. Jetzt nehmen wir etwas falsches an, nämlich das Gegenteil: wir sagen, es gibt nur endlich viele Primzahlen! Das versuchen wir nun zu beweisen und dieser Beweis misslingt, er scheitert an einem Widerspruch! Daraus können wir dann die Schlussfolgerung ziehen, dass unsere Annahme (es gäbe endlich viele Primzahlen) falsch war, also bleibt nur die Wahrheit übrig: es gibt unendlich viele Primzahlen.


    Gruß, Diophant
    \(\endgroup\)


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    ziad38
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    Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.20, vom Themenstarter, eingetragen 2020-03-31


    zuerst t warum kann man nicht mit Zahlen machen?



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    Diophant
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    Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.21, eingetragen 2020-03-31

    \(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\on}{\operatorname}\)
    Hallo,

    2020-03-31 09:15 - ziad38 in Beitrag No. 20 schreibt:
    zuerst t warum kann man nicht mit Zahlen machen?

    Weil man etwas beweisen möchte. Ein mathematischer Beweis muss allgemeingültig sein.

    Man weiß ja in der Annahme auch gar nicht, wie viele Primzahlen es gibt und wie die größte Primzahl lautet. Wenn man das wüsste, könte man es mit dieser Primzahl machen. Dann hätte man aber nur bewiesen, dass es mehr Primzahlen gibt als bisher angenommen. Und damit geben wir uns hier nicht zufrieden: wir wollen ja zeigen, dass es unendliche viele sind.

    Nochmals: man nimmt hier etwas falsches an und erzeugt einen Widerspruch. Der Widerspruch besteht darin, dass \(n=p_1\cdot p_2\cdot\dotsc\cdot p_k+1\) eine Primzahl ist, die größer ist als die größte Primzahl \(p_k\) in unserer Annahme. Und du hast es doch jetzt selbst gesehen: wenn man das mit Zahlen macht, dann kommt manchmal eine Primzahl heraus und manchmal eine zusammengesetzte Zahl. Was willst du damit anfangen?


    Gruß, Diophant
    \(\endgroup\)


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    ziad38
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    Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.22, vom Themenstarter, eingetragen 2020-03-31


    ok ich nutze keine Zahl NUR variable
    woher weißt du wenn wir
    alle primzahlen von p1*p1.....bi pk
    miteinander multiplizieren und dann +1 addieren. woher weißt man dass es SCIHER eine neu Primzhal vor kommt? wenn er NUR mit variablen arbeitet?
    auf welches Basis´geht man daov aus und sagt JA sicher kommt Prim?vielleicht auch nicht!!



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    Diophant
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    Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.23, eingetragen 2020-03-31

    \(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\on}{\operatorname}\)
    Hallo Ziad,

    weil wir doch annehmen, dass es nur die Primzahlen \(p_1,\ p_2,\ \dotsc,\ p_k\) gibt. Dann kann man aber die Zahl \(n=p_1\cdot p_2\cdot\dotsc\cdot p_k+1\) durch keine dieser Primzahlen und damit (nach Annahme) durch überhaupt keine Primzahl ohne Rest teilen, denn jede der obigen Primzahlen (von denen wir gerade annhemen, dass es alle sind, die es gibt) lässt einen Rest von 1, wenn man \(n\) durch sie dividiert.

    Eine Zahl, die man durch keine (andere) Primzahl teilen kann, ist per Definition eine Primzahl. Also ist (immer noch angenommen, \(p_k\) wäre die größte Primzahl) \(n\) ebenfalls eine Primzahl, die aber offensichtlich größer als \(p_k\) ist.

    Ich glaube, dir ist die Sache mit dem Widerspruchsbeweis noch nicht so ganz klar? Versuche nochmal nachzuvollziehen, was ich in Beitrag #19 dazu geschrieben habe.


    Gruß, Diophant
    \(\endgroup\)


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    weird
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    Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.24, eingetragen 2020-03-31


    @Diophant

    Ich denke, es ist einfacher, so zu argumentieren:

    Sie $\mathbb P$ die Menge aller Primzahlen und diese endlich. Ich kann dann damit die Zahl
    \[n=\prod\limits_{p\in \mathbb P}p+1\] bilden. Wegen $n>1$ (beachte, dass selbst für $\mathbb P=\emptyset$ aufgrund der Definition des "leeren Produkts" $n=2>1$ ist!) hat $n$ einen Primfaktor $q$. Für diese Primzahl $q$ müsste aber nach Definition von $\mathbb P$  
    \[q|1=n-\prod\limits_{p\in \mathbb P}p\] gelten, was natürlich ein Widerspruch ist.



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    Diophant
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    Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.25, eingetragen 2020-03-31


    @weird:
    Das mag sein. Ich gehe von der Aufgabe aus dem Schulbuch aus und der Erfahrung aus 20 Jahren Mathenachhilfe...

    Vor diesem Hintergrund würde ich meine Version, die Ziad ja offensichtlich im Netz auch gefunden hat (also die Variante a) bei Kitaktus) - in diesem Rahmen hier - als üblich und zielführend ansehen.


    Gruß, Diophant



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    weird
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    Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.26, eingetragen 2020-03-31


    @Diophant

    Ja, vielleicht liest das jetzt oder irgendwann auch jemand, der durch den Threadtitel hier angelockt wurde und gerne wissen möchte, was es mit diesen berühmten und in seiner Einfachheit noch immer bestechenden Beweis wirklich auf sich hat. Mit Blick auf diesen möchte ich zu meinem obigen Kommentar noch hinzufügen, dass eine oft übersehene Schwierigkeit bei dem ganzen Beweis darin besteht (drum rolls …), dass eine natürliche Zahl $n>1$ überhaupt einen Primfaktor $q$ besitzt. Das müsste man hier also als allererstes einmal zeigen! 😎

    PS: Anscheinend habe ich deine SuMo durch meine contemporale gelöscht, ohne es zu wollen. Sorry, wenn das so sein sollte.



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    ziad38
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    Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.27, vom Themenstarter, eingetragen 2020-03-31


    ich lasse  diese n Beweis und mache andere Aufgabe, es wird nicht klappen



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    Diophant
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    \(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\on}{\operatorname}\)
    Hallo Ziad,

    2020-03-31 13:23 - ziad38 in Beitrag No. 27 schreibt:
    ich lasse  diese n Beweis und mache andere Aufgabe, es wird nicht klappen

    Wieso denn? Du hast den Beweis doch in Beitrag #11 fast geschafft. Du musst nur noch dazuschreiben, warum man \(n\) durch keine der angenommenen Primzahlen teilen kann. Warum das so ist, wurde schon mehrfach gesagt, u.a. habe ich es in Beitrag #23 aufgeschrieben.


    Gruß, Diophant
    \(\endgroup\)


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    viertel
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    Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.29, eingetragen 2020-03-31

    \(\begingroup\)\(\newcommand\d{\mathop{}\!\mathrm{d}}\)
    Warum nicht einfach so argumentieren:
    \[n=p_1\cdot p_2\cdot\dotsc\cdot p_k+1\] $n$ ist eine neue Zahl, die durch keine der Primzahlen $\mathbb{P}=\{p_1,\dots,p_k\}$ teilbar ist, da immer der Rest $1$ bleibt.
    Es gibt jetzt zwei Möglichkeiten:

    1. $n$ ist eine Primzahl, dann muß sie neu sein, denn sie gehört ja nicht zur Menge $\{p_1,\dots,p_k\}$ der bekannten Primzahlen.
    2. $n$ ist ein Produkt von Primzahlen $n=q_1 \cdot \ldots \cdot q_m$, von denen keine zu $\mathbb{P}$ gehört (alle $q_i$ sind ja Teiler von $n$, die $p_i$ hingegen nicht). Diese $q_i$ müssen nun ebenfalls neue Primzahlen sein!
      Ein Beispiel dafür ist ja bereits bekannt: $2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 \cdot 11 \cdot 13+1=30031=59 \cdot 509$, $59$ und $509$ sind neue Primzahlen. Weitere Beispiele, daß es auch mehr als 2 Primzahlen $q_i$ sein können, findest du in der Tabelle in Beitrag #5).

    In beiden Fällen „entstehen“ also neue Primzahlen. Entweder direkt wie im ersten Fall ($n$ ist Primzahl), oder als neue Menge der $q_i$.
    Diese neuen Primzahlen nimmt man jetzt zu der Menge $\mathbb{P}$ (die also doch nicht vollständig war, wie zuerst angenommen) hinzu.
    Dann beginnt das Spiel neu: bilde das Produkt aller Primzahlen aus der (erweiterten) Menge $\mathbb{P}$ und addiere wieder $1$. Wiederum entstehen neue Primzahlen.
    Das können wir dann immer wiederholen, jedes Mal gibt es neue Primzahlen.
    Die Menge $\mathbb{P}$ wird also immer größer! Es gibt kein Ende.

    [Die Antwort wurde nach Beitrag No.26 begonnen.]
    \(\endgroup\)


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    weird
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    2020-03-31 13:39 - viertel in Beitrag No. 29 schreibt:
    Es gibt jetzt zwei Möglichkeiten:

    1. $n$ ist eine Primzahl, dann muß sie neu sein, denn sie gehört ja nicht zur Menge $\{p_1,\dots,p_k\}$ der bekannten Primzahlen.
    2. $n$ ist ein Produkt von Primzahlen $n=q_1 \cdot \ldots \cdot q_m$, von denen keine zu $\mathbb{P}$ gehört (alle $q_i$ sind ja Teiler von $n$, die $p_i$ hingegen nicht). Diese $q_i$ müssen nun ebenfalls neue Primzahlen sein!

    Tatsächlich ist die erste Möglichkeit ein Spezialfall der zweiten, wobei dann das Produkt der Primzahlen nur über einen Faktor gebildet wird. Es wäre m.E. daher einfacher, so wie ich von Haus aus mit einer Primfaktor $q$ von $n$ zu argumentieren, der natürlich auch $n$ selbst sein kann.

    PS: Dies ist eigentlich die Variante (b) von Kitaktus, die ich bis dato noch nicht genügend gewürdigt hatte. Seine Variante (a), die er, wie ich annehme, aus Gründen der Vollständigkeit hier angeführt hat, war auch für mich neu, indem ich sie vorher noch nie gesehen hatte.



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    ziad38
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    versuche später noch mal



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    ziad38
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    30031 ist keine Primzahl



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    ziad38
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    Zitat: warum man n durch keine der angenommenen Primzahlen teilen kann.
    wieso nicht , ja kann manchmal durch Primzahl teilen.
    Es hängt ob das Produkt + 1 eine Primzahl erzeugt oder eine zusammengesetzte Zahl wie (30031) und solange NUR mit variable arbeite  KEINE Guarantee dass es SICHER aber KANN sein das diese auch neu größere Primzahl.



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    weird
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    2020-03-31 15:15 - ziad38 in Beitrag No. 33 schreibt:
    Zitat: warum man n durch keine der angenommenen Primzahlen teilen kann.
    wieso nicht , ja kann manchmal durch Primzahl teilen.
    Es hängt ob das Produkt + 1 eine Primzahl erzeugt oder eine zusammengesetzte Zahl wie (30031) und solange NUR mit variable arbeite  KEINE Guarantee dass es SICHER aber KANN sein das diese auch neu größere Primzahl.


    Noch einmal: Du musst nicht unterscheiden, ob für irgendeine Menge $P$ von Primzahlen, die Zahl
    \[n=(\text{Produkt aller Primzahlen }p\in P)+1\quad (*)\] prim ist oder nicht. Das ist in diesem Zusammenhang vollkommen belanglos! Wichtig ist, dass

    1. n größer als 1 ist
    2. daher einen Primfaktor $q$ besitzt (was man streng genommen beweisen müsste!)
    3. welcher unter den Primzahlen in $P$ nicht(!) vorkommt, was eine einfache Folgerung von (*) ist

    Diese Primzahl $q$ ist daher "neu" und indem ich sie zu $P$ dazugebe, kann ich $P$ echt vergrößern, egal von welchem $P$ ich ausgehe (sogar $P=\emptyset$ ist zulässig!). Insbesondere kann also die Menge aller Primzahlen nicht endlich sein, da ich ja diese Schritte beliebig oft wiederholen kann.

    Mein Rat: Versuche einfach die 3 Punkte oben nachzuvollziehen und wenn du dabei irgendwo "hängst", kann ich oder sonst jemand dir noch helfen.



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    Diophant
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    \(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\on}{\operatorname}\)
    Hallo Ziad,

    jetzt bringst du leider wieder alles durcheinander.

    Ich schreibe es dir nochmals auf, dann kannst du es ja so übernehmen.

  • Vermutung: es gibt unendlich viele Primzahlen. Das wollen wir beweisen.

  • Dazu vermuten wir das Gegenteil. Wir sagen jetzt: es gibt nur endlich viele Primzahlen. Und so lange wir das sagen, ist das so. Punkt. Und so lange wir das vermuten, ist der Text jetzt dunkelblau.

  • Wenn es nur endlich viele Primzahlen gibt, dann gibt es eine größte Primzahl \(p_k\).

  • Wir bilden das Produkt \(p_1\cdot p_2\cdot\dotsc\cdot p_k\) aus allen Primzahlen! Das ist sicherlich keine Primzahl, denn man kann dieses Produkt durch jede Primzahl teilen (bedenke: es gibt gerade nur endlich viele davon!)

  • Zu diesem Produkt addieren wir 1 und erhalten so eine Zahl n:

    \[n=p_1\cdot p_2\cdot\dotsc\cdot p_k+1\]
  • Kann man diese Zahl \(n\) durch \(p_1\) teilen? Nein, die Rechnung lässt den Rest 1 (genau die 1, die wir dazuaddiert hatten). Kann man sie durch \(p_2\) teilen? Nein, gleiches Problem. So gehen wir die Liste aller Primzahlen bis \(p_k\) durch und stellen fest: man kann \(n\) durch keine Primzahl teilen (immer noch darauf achten: derzeit gibt es nur endlich viele Primzahlen).

  • Damit wäre jedoch \(n\) selbst auch eine Primzahl. \(n\) ist jedoch größer als die größte Primzahl \(p_k\). Das darf aber nicht sein, denn mehr als die angenommenen Primzahlen gibt es gerade nicht, und \(p_k\) ist ja die größte Primzahl, nicht \(n\).

  • Wir haben also einen Widerspruch erhalten. Und jetzt lassen wir daher unsere Vermutung wieder fallen (deshalb ist der Text jetzt wieder schwarz): es gibt also doch unendlich viele Primzahlen.

  • Und da das so ist, gibt es auch viele Terme der Form \(n=p_1\cdot p_2\cdot\dotsc\cdot p_k+1\), die keine Primzahlen sind. Aber eben nur, weil es unendlich viele gibt und nicht, so lange wir endlich viele mit der größten Primzahl \(p_k\) annehmen.

    Jetzt versuche bitte einmal, das gründlich nachzuvollziehen und zu verstehen. Die anderen Beiträge hier haben alle mathematisch gesehen viel vernünftigere Methoden für diesen Beweis aufgezeigt. Aber so wie hier dargestellt ist nunmal die übliche Vorgehensweise in der Schule, und so entspricht der Beweis auch den Quellen aus der Antike (soweit mir das bekannt ist). Ich kann heute gegen später mal noch einen gewissen Euklid befragen und mir anhören, was der dazu so meint. 😉
     


    Gruß, Diophant

    Nachtrag für die Experten: ich habe die fragliche Proposition in den Elementen gefunden (9. Buch, Prop. 20). Tatsächlich untersucht auch Euklid schon beide Fälle wie in Beitrag #6 von Kitaktus. Das hatte ich also falsch in Erinnerung.

    [Die Antwort wurde nach Beitrag No.33 begonnen.]\(\endgroup\)


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    ziad38
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    versuche später .Aber die Frage , die Im kopf bleibt. warum kann nicht passieren, wenn man ALLE Primzahlen vom kleinsten bis zum größten  miteinander multiplizieren und dazu +1 addiert , dass es KEINE  Primzahl vorkommt,also einfache eine sehr große Zusammengesetzte Zahlen wie (30031) aber viele größer, aber keine  Primzahl, und AUCH lässt sich  NICHT durch  eine der Primzahlen von p1 .....bis pk restlos teilen. Diese steht  fest im Kopf .Wenn es aber immer das Produkt von primzahlen immer Neu Primzahlen erzeugt wird  ,dann ja , aber wie ich schon im Buch gesehen habe aus 2*3*5*7*11*13+1=30031 komme keine Primzahl, obwohl  diese durch 2,3,5,7, bis 13  IMMER mit rest von 1 erzeugt . Ich lese morgen vielleicht klaptt, ich habe stunden lang auf webseite verbracht aber immer so steht diese Frage. warum oder woher weiß man aus NUR variable  sicher dass es  ´´sicher wieder eine Prim und nicht zusammengesetzte Zahl vorkommt.



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    ziad38
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    es passiert manchmal dass ich etwas schwierig erst nach 2 oder 3 Tage ganz verstehe



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    ziad38
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    es passiert manchmal dass ich etwas schwierig erst nach 2 oder 3 Tage ganz verstehe.
    Danke auf jeden Fall für Alle.



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    Diophant
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    \(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\on}{\operatorname}\)
    Hallo Ziad,

    2020-03-31 16:16 - ziad38 in Beitrag No. 36 schreibt:
    versuche später .Aber die Frage , die Im kopf bleibt. warum kann nicht passieren, wenn man ALLE Primzahlen vom kleinsten bis zum größten  miteinander multiplizieren und dazu +1 addiert , dass es KEINE  Primzahl vorkommt...

    Wenn das keine Primzahl wäre, dann hätte sie Primzahlen als Teiler. Das kann aber nicht sein, denn jede Primzahl lässt den Rest 1, wenn man die Zahl n durch sie teilt. Lies meinen obigen Beitrag #35 nochmals und achte auf die Textfarben. So lange man annimmt, dass es endlich viele Primzahlen gibt und wir aus allen das Produkt gebildet haben, kann das nicht passieren.

    In Wirklichkeit passiert es deshalb, weil die Annahme falsch war. Weil es also unendlich viele Primzahlen gibt.

    Nehmen wir die Rechnung von weird nochmal her:

    \[2\cdot 3\cdot 5\cdot 7\cdot 11\cdot 13+1=30031\]
    Dividiere das Ergebnis hintereinander durch \(2,3,5,7,11\) und \(13\). Wie groß ist jeweils der Rest bei diesen Divisionen?

    Aber lasse dir Zeit, mache gerne morgen oder die nächsten Tage hier weiter. Wir sind ja da. 🙂


    Gruß, Diophant
    \(\endgroup\)


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