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Analysis » Folgen und Reihen » Produkt beschränkter Folge und Nullfolge
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Autor
Universität/Hochschule J Produkt beschränkter Folge und Nullfolge
greemy
Neu Letzter Besuch: im letzten Quartal
Dabei seit: 20.02.2020
Mitteilungen: 4
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2020-02-20


Hallo und guten Morgen,

ich hab eine kleine Frage, in einer Übungsaufgabe wurde folgende Aufgabe gestellt.

Zeigen Sie, dass Das Produkt einer konvergenten Folge a_n mit a = 0 und einer beschränkte Folge b_n  0 ergibt.

Jetzt muss ich sagen bin ich am bisschen am Hängen mit dem Beweis.

Laut unserer Definition für Beschränktheit ex. ein K aus IR f.a. n aus IN : Ia_nI =< K

so weit so gut, jetzt war mein Gedanke, dass ich eine Fall Unterscheidung mache mit der oberen Schranke und dann mit der unteren Schranke, dann eben eine Majorante/Minorante habe und b_n nach oben/unten abschätzen und dann wiefolgt zeige.

lim(a_n*b_n)=lim a_n * lim b_n >< lim a_n * K = 0 * K = 0

Frage: muss ich beide Fälle betrachten oder reicht nur einer? ich bin mir bei so Beweisaufgabe nie wirklich sicher.

wäre nett wenn da mal kurz jmd drüberschaut und mich ggf auf meine Fehler aufmerksam macht.



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Vercassivelaunos
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 28.02.2019
Mitteilungen: 808
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2020-02-20

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Hallo greemy,

$b_n$ ist ja nicht zwingend konvergent, entsprechend kannst du $\lim b_n$ auch nicht einbauen. Ich würde hier stattdessen die $\varepsilon$-Definition der Konvergenz verwenden, auch wenn die wehtut. Dafür würde ich $\vert a_nb_n-0\vert=\vert b_n(a_n-0)\vert$ versuchen, nach oben abzuschätzen.

Viele Grüße
Vercassivelaunos
\(\endgroup\)


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greemy
Neu Letzter Besuch: im letzten Quartal
Dabei seit: 20.02.2020
Mitteilungen: 4
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2020-02-20


Okay das ergibt Sinn.

f.a. eps_1 ex n0 aus IN f.a. n>=n0 : la_n*b_n -0l < eps_1
b_n(a_n -0) < eps_1

es gilt aber ebenfalls

f.a. eps_2 ex k0 aus IN f.a. k >= k0 : la_n - 0l < eps_2

lb_n(a_n -0)l < lb_n * eps_2l < l K * eps_2l < eps_1


ich muss echt Latex lernen, sorry für die hässliche Schrift, aber ungefähr so?

also ich hab deinen Gedanken genommen und beide Konvergenzbedingungen eingebaut und mich dann nochmal der Schranke bedient, was jetzt angenehmer ist, weil man ja die Beträge hat oder?



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Kitaktus
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 11.09.2008
Mitteilungen: 6280
Aus: Niedersachsen
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2020-02-20


Du hast die passenden Stücke beisammen, musst die aber noch korrekt zusammenbauen.
Ein Rahmen könnte in etwa so aussehen:

Zu zeigen ist, dass ...
Sei also $\varepsilon_1>0$ beliebig gegeben.
Wir wählen nun $\varepsilon_2=...$. Da $a_n$ gegen 0 konvergiert, gibt es ein $k_0\in\IN$ mit ...
Dann gilt für alle ... $|a_n\cdot b_n|=|a_n|\cdot|b_n| \leq ...$
Es gibt also für alle $\varepsilon_1>0$ ein $k_0\in\IN$ mit der Eigenschaft ...
Damit ist die Behauptung bewiesen.



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greemy
Neu Letzter Besuch: im letzten Quartal
Dabei seit: 20.02.2020
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2020-02-20


Träumchen. Vielen lieben Dank euch :D



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greemy hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
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